חפיפת משולשים — מהבסיס להוכחה
מזהים צלעות וזוויות מתאימות, בוחרים משפט חפיפה וכותבים הוכחה עם טענה ונימוק.
כ־5–10 דקות לכל רעיון · אפשר לעצור ולחזור
תצוגה וקישורים נוספים
לומדים בקצב שלכם: מבינים את הרעיון, רואים דוגמה ואז מנסים לבד.
שיתוף וכלים למורה
הדפסה ושיתוף
אפשר לקבל סיכום כתמונה
- משתפים קישור ליחידה ומבקשים להשלים את התרגול המסכם.
- בסיום, התלמידים פותחים ״לסיכום התרגול״ ובוחרים ״שמירת הסיכום כתמונה״. אפשר גם לצלם את הכרטיס.
- שולחים למורה בדרך שנקבעה בכיתה, מחוץ לאתר.
בתרגול הרגיל לא צריך חשבון תלמיד. התוצאות שלו אינן נשלחות אוטומטית לאזור המורים. פעילות כיתתית נפרדת מציגה את המידע שהיא משתפת לפני ההצטרפות.
מה רואים בסיכום?
היחידה, רמת התרגול ומספר התשובות הנכונות בניסיון הראשון ללא עזרה. זהו סיכום מקומי של סבב תרגול, לא ציון מבחן או אישור לשליטה בחומר. הסיכום אינו מאמת מי פתר את התרגילים.
הכרטיס מופיע בתרגול המסכם של היחידה, לא בכל שאלה קצרה או פעילות מודרכת. אין צורך להזין שמות תלמידים באתר.
משימה ממוקדת וקצב שיעור
תכנון זמן מקומי לשיעור
0:00
בדיקת יציאה: בקשו להסביר רעיון אחד ולציין מה עדיין דורש עזרה. הטיימר אינו עוצר את התלמידים ואינו מסמן השלמה.
אין כאן רשימת תלמידים, איסוף תשובות או דוח כיתה. הבחירות והשעון נשארים בדף הזה; רק הקישור שבחרתם מועתק לשיתוף.
לומדים צעד אחר צעד
רואים דוגמה, מבינים את הרעיון ומנסים כאן. כשמוכנים, ממשיכים לרעיון הבא.
מפת הרעיונות ושיתוף — מעבר ישיר
רעיון 1 מתוך 17
חופפים פירושו מתלכדים בדיוק
רואים איך: משולש נחתך מנייר והופכים אותו לצד השני בלי למתוח. האם הצורה החדשה חופפת למקור?
העתק משוקף של אותו משולש. הניחו אותו על המקור בלי לשנות גודל.
קו רציף וקו מקווקו מסמנים שני עותקים, לא גדלים שונים.
היפוך אינו משנה אף אורך או זווית. אפשר להפוך בחזרה ולהניח את ההעתק בדיוק על המקור.
הציור מדגים העתקה קשיחה, בלי מתיחה או שינוי קנה מידה.
איך פותרים — כל השלבים
ההיפוך לא שינה אף אורך או זווית.
אפשר להפוך בחזרה ולכסות בדיוק את המקור.
לכן המשולשים חופפים.
להסבר המלא ולמושגים
שני משולשים חופפים אם אפשר להניח אחד על השני כך שכל חלקיהם יתלכדו. מותר להזיז, לסובב או להפוך, אבל אסור לשנות גודל.
לכן כל זוג צלעות מתאימות שווה וכל זוג זוויות מתאימות שווה. חפיפה מאפשרת להוכיח שוויון גם בלי מספרים.
שאלה 1 מתוך 2
מסובבים. האם מתלכד?
המשולש הסגול הוא עותק מסובב של המשולש הכחול. בחרו פעולה שתאפשר לכסות את המקור בלי לשנות צורה או גודל.
הסיבוב משנה את הכיוון. הגדלה או מתיחה משנות את המשולש.
אחרי הבדיקה הראשונה מקבלים רמז. נסו תשובה חדשה ובדקו שוב כדי לפתוח את ההסבר המלא. אפשר גם להמשיך לשאלה אחרת.
הגעתם לרעיון האחרון ביחידה. אם ניסיתם ואתם מבינים את הדרך, אפשר לסמן שסיימתם.
העמקה קצרה — נימוק והעברה
לבחירה אחרי היכרות עם הרעיון. כל כרטיס נפתח בתוך מקומו ביחידה; התשובות אינן נשמרות או מדורגות.
אפשר לעצור כאן ולחזור לרעיון הזה מדף הבית, באותו דפדפן.
איך חוזרים לכאן?
לא חייבים לסיים את כל היחידה היום. הרעיון האחרון נשמר בדפדפן ובכתובת האתר האלה — ללא סימון השלמה. אפשר לחזור אליו מדף הבית. סימניית הרעיון אינה כלולה בקוד העברת ההתקדמות.
מחברים הכול ומנסים לבד
תרגול מסכם של הרעיונות שלמדנו — ואז בדיקה קצרה של הדרך.
טוענים את כלי התרגול…
טוענים את כלי התרגול…
לפני שממשיכים
נסו להסביר בקול את הדרך בלי להציץ. אם משהו עוד לא ברור, חזרו לדוגמה הפתורה.
עוד דרכים לחזק את ההבנה
לבחירה: דוגמאות נוספות, חומר לעיון ותשובות. התרגול המסכם נמצא למעלה.
דוגמאות נוספות ופתרון מודרך
במשולש ABC נתון AB = AC. הקטע AD חוצה את זווית A ונפגש עם BC בנקודה D. הוכיחו BD = DC.
קראו שלב, עצרו ונסו לחשוב מה בא אחריו.
- משווים בין המשולשים ABD ו־ACD. ההתאמה היא A אל A, B אל C, D אל D.
עוד דרך להבין
דוגמה נוספת: מוצאים צלע וזווית אחרי חפיפה
קראו שלב, עצרו ונסו לחשוב מה בא אחריו.
- נתון △ABC ≅ △DEF, וכן BC = 11, ∠A = 50° ו־∠B = 60°.
המחשות, משחקים וסדנאות
טוענים את כלי התרגול…
טוענים את כלי התרגול…
סיכומים, הסברי פרקים, מושגים וסימנים
הסברי הפרקים לעיון
לפני החוקים — מבינים את הרעיון
למה לומדים את זה?
חפיפה אומרת ששני משולשים זהים בצורה ובגודל, גם אם אחד מסובב או משוקף. הוכחה משתמשת בנתונים שמספיקים לקבוע את המשולש.
ציור שנראה דומה אינו הוכחה, ושלושה נתונים כלשהם אינם תמיד מספיקים.
דוגמה והכוונה לפני התרגול
איך זה נראה במצב אמיתי?
שתי צלעות והזווית שביניהן קובעות משולש לפי צ.ז.צ. אם הזווית אינה בין הצלעות, אי אפשר לקרוא לזה אותו משפט. לעיתים הנתון החסר מגיע מצלע משותפת או מזוויות קודקודיות.
על מה חושבים לפני שמתחילים?
רשמו התאמה בין הקודקודים, סמנו מה באמת ידוע, ואז חפשו משפט מתאים. לכל שוויון בהוכחה צריך נימוק. אחרי החפיפה מותר להסיק שוויון של חלקים מתאימים.
לומדים בקצב שלכם. כל פרק מוסיף עוד חלק לתמונה; אפשר גם לפתוח את ההסבר המלא.
מה פירוש חופפים?
שני משולשים חופפים אם אפשר להניח אחד על השני כך שיתלכדו בדיוק. מותר להזיז, לסובב או להפוך את המשולש; אסור להגדיל אותו.
כל זוג צלעות מתאימות שווה וכל זוג זוויות מתאימות שווה. משתמשים בחפיפה כדי להוכיח שאורכים או זוויות שווים גם כשאין להם ערך מספרי נתון.
עוד רגע של הבנה
חפיפה אינה תלויה בכיוון שבו מציירים. הזזה, סיבוב ושיקוף שומרים על הצורה והגודל.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
סדר האותיות הוא מפת ההתאמה
ברישום החפיפה הקודקוד הראשון מתאים לראשון, השני לשני והשלישי לשלישי. לכן הצלע שמחברת את שני הראשונים מתאימה לצלע שמחברת את שני הראשונים במשולש השני.
אין לבחור לפי ימין ושמאל בציור: המשולש יכול להיות מסובב. כתבו תחילה את זוגות הקודקודים ורק אחר כך את החפיפה.
עוד רגע של הבנה
הסדר בהצהרת החפיפה הוא התחייבות להתאמה, לא רשימת אותיות מקרית.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
צלע–צלע–צלע: צ.צ.צ
אם שלוש הצלעות של משולש אחד שוות בהתאמה לשלוש הצלעות של השני, המשולשים חופפים. בדקו שיש שלושה זוגות שונים ושכל ההתאמות מסתדרות באותו סדר קודקודים.
לדוגמה, שני משולשים שצלעותיהם 4, 5 ו־6 ס״מ חופפים גם אם הונחו בכיוונים שונים.
עוד רגע של הבנה
לפי צ.צ.צ צריך שלושה זוגות צלעות שוות בהתאמה, ולא רק היקפים שווים.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
צלע–זווית–צלע: צ.ז.צ
נדרשים שני זוגות של צלעות שוות והזווית הכלואה ביניהן. הזווית הכלואה היא הזווית בנקודת המפגש של שתי הצלעות.
בין הצלעות AB ו־AC כלואה הזווית A. שוויון של זווית אחרת אינו מאפשר להשתמש במשפט הזה.
עוד רגע של הבנה
הזווית במשפט צ.ז.צ חייבת להיות כלואה בין שתי הצלעות הנתונות. מיקומה חשוב לא פחות מגודלה.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
זווית–צלע–זווית: ז.צ.ז
נדרשים שני זוגות של זוויות שוות והצלע שבין הזוויות. בין הזוויות A ו־B נמצאת הצלע AB.
אם נתונות שתי זוויות וצלע אחרת, אפשר לעיתים לחשב את הזווית השלישית בעזרת סכום 180° ולהתאים את המשפט. יש לכתוב את שלב החישוב ולא לדלג עליו.
עוד רגע של הבנה
במשפט ז.צ.ז הצלע נמצאת בין שתי הזוויות הנתונות. כשנתון אחר לא מתאים יש לחפש נימוק נוסף, לא לשנות את שם המשפט.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
צלע–צלע והזווית מול הצלע הגדולה
קיים גם משפט חפיפה שבו נתונות שתי צלעות שוות בהתאמה והזוויות שמול הצלע הגדולה מבין השתיים שוות. התנאי על מיקום הזווית חיוני.
במשולשים ישרי זווית אפשר להשתמש בשוויון של יתר וניצב: הזוויות הישרות שוות ונמצאות מול היתר, שהוא הצלע הגדולה. שתי צלעות וזווית כלשהי אינן מספיקות באופן כללי.
עוד רגע של הבנה
שתי צלעות וזווית שאינה ביניהן אינן מספיקות תמיד. במשפט צלע–צלע–זווית צריך שהזווית השווה תהיה מול הצלע הגדולה מבין שתי הצלעות הנתונות.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
מאיפה מוצאים את הנתון השלישי?
לפעמים ההוכחה דורשת לגלות זוג שווה נוסף: צלע משותפת שווה לעצמה; קטע שחוצה זווית נותן שתי זוויות שוות; אמצע קטע נותן שני קטעים שווים; זוויות קודקודיות שוות זו לזו.
משתמשים רק בנתון כתוב או במשפט מוכר. קווים שנראים שווים בשרטוט אינם נתון.
עוד רגע של הבנה
נתון שלישי יכול להיות קשר שלא נכתב כמספר. צלע משותפת שווה לעצמה; זוויות קודקודיות שוות בגלל מפגש הישרים.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
איך כותבים הוכחה?
רושמים שלוש התאמות, וליד כל אחת הסיבה שלה. אחר כך כותבים את המשולשים בסדר המתאים ואת משפט החפיפה.
רק לאחר שהחפיפה הוכחה מסיקים שוויון של צלעות או זוויות מתאימות נוספות. אסור להשתמש במסקנה שאותה מנסים להוכיח בתור נתון להוכחת החפיפה.
עוד רגע של הבנה
הוכחה היא שרשרת של טענות מוצדקות. את החפיפה כותבים אחרי הצגת הנתונים שמשמשים את המשפט.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
חפיפה אינה דמיון
שלוש זוויות שוות מספיקות לאותה צורה, אך לא לאותו גודל. משולשים שווי צלעות באורכים 3 ו־6 אינם חופפים.
גם היקף שווה או שטח שווה לבדם אינם מוכיחים חפיפה. בדמיון אפשר להגדיל; בחפיפה יחס האורכים הוא בדיוק 1.
עוד רגע של הבנה
שוויון זוויות קובע צורה, אבל לא גודל. לכן ז.ז מספיק לדמיון ולא לחפיפה.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
תשובות לתרגול המסכם
כל התשובות וההסברים
אחרי שמנסים לבד, בודקים גם את הדרך.
שאלה 1 — פתיחת התשובה
נתון △ABC ≅ △DEF. איזו צלע מתאימה ל־BC?
- סדר האותיות ABC ≅ DEF קובע את התאמת הקודקודים: A מול D, האות B מול E, והאות C מול F.
- כדי להתאים את BC, מחפשים את הקודקודים המתאימים ל־B ול־C.
- אלה E ו־F, ולכן BC מתאימה ל־EF. הסיבוב של השרטוט אינו משנה את ההתאמה.
התשובה: EF
שאלה 2 — פתיחת התשובה
בכל אחד משני משולשים אורכי הצלעות הם 5, 6 ו־8. איזה משפט חפיפה מתאים?
- משפט צלע־צלע־צלע דורש שוויון של שלושה זוגות צלעות מתאימות.
- בכל משולש הצלעות הן 5, 6 ו־8, ולכן מתאימים 5 אל 5, את 6 אל 6 ואת 8 אל 8.
- שלושת השוויונות מתקיימים, ולכן החפיפה היא לפי צ.צ.צ.
התשובה: צ.צ.צ
שאלה 3 — פתיחת התשובה
נתון AB = DE, AC = DF וגם ∠A = ∠D. איזה משפט חפיפה מתאים?
- נתונים שני זוגות צלעות שוות: AB = DE וגם AC = DF.
- הזווית A נמצאת בין AB ל־AC, והזווית D בין DE ל־DF. גם הזוויות האלה שוות.
- לכן מתקיים משפט צלע־זווית־צלע: צ.ז.צ. חשוב שהזווית תהיה כלואה בין הצלעות הנתונות.
התשובה: צ.ז.צ
שאלה 4 — פתיחת התשובה
נתון ∠A = ∠D, ∠B = ∠E וגם AB = DE. איזה משפט חפיפה מתאים?
- נתונות שתי זוויות מתאימות שוות: A = D וגם B = E.
- הצלע AB נמצאת בין הזוויות A ו־B, והצלע DE בין D ו־E. גם הצלעות האלה שוות.
- לכן מתקיים משפט זווית־צלע־זווית: ז.צ.ז.
התשובה: ז.צ.ז
שאלה 5 — פתיחת התשובה
שלוש הזוויות שוות בהתאמה. האם מובטחת חפיפה? כתבו כן או לא.
- שוויון של זוויות קובע את צורת המשולש, אך אינו קובע את גודלו.
- לדוגמה, משולשים שווי צלעות באורכי צלע 2 ו־4 מקיימים אותן זוויות: 60°, 60°, 60°.
- הם אינם חופפים כי צלעותיהם אינן שוות. לכן התשובה היא לא; שוויון זוויות מבטיח דמיון בלבד.
התשובה: לא
שאלה 6 — פתיחת התשובה
נתון △ABC ≅ △DEF וגם AC = 9. מה אורך DF?
- מהחפיפה ABC ≅ DEF מקבלים התאמה A מול D ו־C מול F.
- לכן AC ו־DF הן צלעות מתאימות, ובמשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות.
- מציבים AC = 9 ומקבלים DF = 9.
התשובה: 9
שאלה 7 — פתיחת התשובה
במשולשים ABD ו־ACD, מה הנימוק לשוויון AD = AD?
- הקטע AD שייך גם למשולש ABD וגם למשולש ACD.
- זהו אותו קטע עצמו, ולכן אורכו שווה לעצמו: AD = AD.
- הנימוק הוא צלע משותפת. לא צריך נתון מספרי או משפט חפיפה כדי להצדיק שוויון זה.
התשובה: צלע משותפת
שאלה 8 — פתיחת התשובה
אתגר: נתון כי △ABD ≅ △ACD, והנקודה D נמצאת על BC. אם BC = 18, מה אורך BD?
- מהחפיפה ABD ≅ ACD מקבלים BD = CD, כי אלה צלעות מתאימות.
- כיוון ש־D על BC, מתקיים BC = BD + DC.
- מציבים BC = 18 וגם DC = BD: 18 = 2 × BD.
- מחלקים בשניים: BD = 9. בדיקה: 9 + 9 = 18.
התשובה: 9
משהו לא ברור? מכינים שאלה למורה
כתבו איזו שאלה או איזה שלב בלבלו אתכם. נכין הודעה עם קישור שתוכלו לשלוח למורה.
ההודעה לא נשלחת אוטומטית ולא נשמרת באתר.