קליק · מתמטיקה

חפיפת משולשים — מהבסיס להוכחה

מזהים צלעות וזוויות מתאימות, בוחרים משפט חפיפה וכותבים הוכחה עם טענה ונימוק.

https://klikedu.app/learn/triangle-congruence

1. חופפים פירושו מתלכדים בדיוק

שני משולשים חופפים אם אפשר להניח אחד על השני כך שכל חלקיהם יתלכדו. מותר להזיז, לסובב או להפוך, אבל אסור לשנות גודל. לכן כל זוג צלעות מתאימות שווה וכל זוג זוויות מתאימות שווה. חפיפה מאפשרת להוכיח שוויון גם בלי מספרים.

ABC DEF ABC DEF
A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. רק הסימונים מציינים את הנתונים של משפט החפיפה.

דוגמה: משולש נחתך מנייר והופכים אותו לצד השני בלי למתוח. האם הצורה החדשה חופפת למקור?

  1. ההיפוך לא שינה אף אורך או זווית.
  2. אפשר להפוך בחזרה ולכסות בדיוק את המקור.
  3. לכן המשולשים חופפים.

תרגול מודרך

איזו פעולה מותרת בבדיקת חפיפה?

  • הגדלה פי 2
  • סיבוב בלבד
  • קיצור צלע אחת

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מה מובטח כאשר שני משולשים חופפים?

  • רק הזוויות שוות
  • רק השטחים שווים
  • כל הצלעות והזוויות המתאימות שוות

תשובה: __________________________________________________

2. סדר הקודקודים הוא מפת התאמה

הסימן △ מציין משולש, והסימן ≅ פירושו ״חופף ל־״. בסימון △ABC ≅ △DEF הקודקוד הראשון מתאים לראשון, השני לשני והשלישי לשלישי. צלע מתאימה מחברת את הקודקודים המתאימים. לא קובעים התאמה לפי מקום בציור, כי משולש עשוי להיות מסובב או משוקף. כדאי לרשום את זוגות הקודקודים לפני מסקנות.

ABC DEF ABC DEF
A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. רק הסימונים מציינים את הנתונים של משפט החפיפה.

דוגמה: נתון △ABC ≅ △DEF. מצאו את הצלע המתאימה ל־AC.

  1. הסדר נותן A ↔ D וגם C ↔ F.
  2. לכן AC מתאימה ל־DF.
  3. מכוח החפיפה אפשר לכתוב AC = DF.

תרגול מודרך

נתון △ABC ≅ △DEF. איזו צלע מתאימה ל־BC?

  • EF
  • DE
  • DF

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

נתון שהמשולשים חופפים, וההתאמה היא A ↔ P, B ↔ R, C ↔ Q. איזה רישום חפיפה נכון?

  • △ABC ≅ △PQR
  • △ABC ≅ △PRQ
  • △ABC ≅ △RPQ

תשובה: __________________________________________________

3. צלע–צלע–צלע קובע גודל וצורה

משפט צלע–צלע–צלע, צ.צ.צ, מאפשר להוכיח חפיפה משלושה זוגות צלעות מתאימות שוות. נדרשים שלושה זוגות שונים, עם סדר קודקודים עקבי. שוויון של שתי צלעות בלבד אינו מספיק, מפני שאפשר לשנות את הזווית ביניהן ולקבל צלע שלישית אחרת.

ABC DEF ABC DEF
A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. רק הסימונים מציינים את הנתונים של משפט החפיפה.

דוגמה: AB = DE = 4, BC = EF = 5, AC = DF = 6. הוכיחו חפיפה.

  1. שלושת זוגות הצלעות שווים לפי הנתונים.
  2. ההתאמה היא A אל D, B אל E, C אל F.
  3. לכן △ABC ≅ △DEF לפי צ.צ.צ.

תרגול מודרך

ב־ABC ו־DEF נתון AB = DE וגם AC = DF. איזה נתון משלים צ.צ.צ?

  • ∠A = ∠D
  • AB = DE שוב
  • BC = EF

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

לשני משולשים צלעות 4, 5, 6. אחד מצויר מסובב. האם הם חופפים?

  • כן, לפי שלוש הצלעות המתאימות
  • לא, כי הכיוונים שונים
  • אין דרך לדעת בלי זווית

תשובה: __________________________________________________

4. צלע–זווית–צלע דורש זווית כלואה

במשפט צלע–זווית–צלע, צ.ז.צ, שתי צלעות והזווית שביניהן קובעות את המשולש. הזווית הכלואה נמצאת בקודקוד המשותף לשתי הצלעות. שוויון של זווית אחרת אינו עומד בדרישת המשפט, גם אם רשומים בסך הכול שלושה נתונים.

ABC DEF ABC DEF
A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. רק הסימונים מציינים את הנתונים של משפט החפיפה.

דוגמה: AB = DE, AC = DF ו־∠A = ∠D. נמקו חפיפה.

  1. AB ו־AC נפגשות ב־A; DE ו־DF נפגשות ב־D.
  2. לכן הזוויות השוות כלואות בין הצלעות השוות.
  3. △ABC ≅ △DEF לפי צ.ז.צ.

תרגול מודרך

במשולש ABC, איזו זווית כלואה בין AB ל־AC?

  • ∠C
  • ∠A
  • ∠B

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

ב־PQR ו־STU נתון PQ = ST ו־QR = TU. איזה שוויון משלים צ.ז.צ?

  • ∠P = ∠S
  • ∠R = ∠U
  • ∠Q = ∠T

תשובה: __________________________________________________

5. זווית–צלע–זווית דורש צלע כלואה

משפט זווית–צלע–זווית, ז.צ.ז, דורש שני זוגות זוויות שוות והצלע שביניהן שווה. הצלע הכלואה מחברת את שני קודקודי הזוויות. הזוויות קובעות את הצורה, והצלע מוסיפה גודל מסוים, ולכן יחד אפשר להוכיח חפיפה.

ABC DEF ABC DEF
A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. רק הסימונים מציינים את הנתונים של משפט החפיפה.

דוגמה: ∠A = ∠D, ∠B = ∠E וגם AB = DE. הוכיחו חפיפה.

  1. AB מחברת את A ו־B ולכן כלואה ביניהן.
  2. DE כלואה בין D ל־E.
  3. △ABC ≅ △DEF לפי ז.צ.ז.

תרגול מודרך

במשולש ABC, איזו צלע כלואה בין ∠A ל־∠B?

  • AB
  • AC
  • BC

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

ב־PQR ו־STU נתון ∠Q = ∠T ו־∠R = ∠U. מה ישלים ז.צ.ז?

  • PQ = ST
  • QR = TU
  • PR = SU

תשובה: __________________________________________________

6. לפעמים מחשבים זווית לפני המשפט

אם ידועות שתי זוויות וצלע שאינה ביניהן, אפשר לחשב זווית שלישית כדי להתאים את ז.צ.ז. סכום זוויות במשולש 180°, ולכן זוויות שלישיות שוות כאשר שתי האחרות שוות בהתאמה. את השוויון הנוסף צריך לנמק לפני שמכריזים על חפיפה.

דוגמה: ב־ABC וב־DEF נתון ∠A = ∠D = 50°, ∠B = ∠E = 60° וגם AC = DF. הוכיחו חפיפה.

  1. ∠C = 180° − 50° − 60° = 70°.
  2. גם ∠F = 70°, ולכן ∠C = ∠F.
  3. AC ו־DF כלואות בין A,C ובין D,F.
  4. לכן △ABC ≅ △DEF לפי ז.צ.ז.

תרגול מודרך

במשולש זוויות A = 40° ו־B = 75°. מהי C?

  • 105°
  • 140°
  • 65°

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

ב־ABC ו־DEF נתון ∠A = ∠D, ∠B = ∠E וגם AC = DF. איזה שלב משלים ז.צ.ז?

  • להוכיח ∠C = ∠F מסכום 180°
  • להניח AB = DE לפי המראה
  • לחלק את AC בשתיים

תשובה: __________________________________________________

7. שתי צלעות וזווית: התנאי המיוחד

קיים משפט חפיפה לשתי צלעות שוות בהתאמה וזוויות שוות שמול הגדולה מבין שתי הצלעות הנתונות. מיקום הזווית חיוני: שתי צלעות וזווית כלשהי אינן מספיקות תמיד. זווית מול הצלע הקטנה יכולה להתאים ליותר ממשולש אחד, ולכן אין להשמיט את התנאי.

דוגמה: בכל אחד משני משולשים נתונות צלעות מתאימות 5 ו־8, והזוויות שמול הצלע 8 שוות. מה אפשר להסיק?

  1. הצלע 8 גדולה מהצלע 5.
  2. הזוויות השוות נמצאות מול הגדולה מבין השתיים.
  3. התנאים מתקיימים, ולכן המשולשים חופפים לפי צלע–צלע והזווית שמול הגדולה.

תרגול מודרך

מתי שתי צלעות וזווית שאינה כלואה מאפשרות את משפט החפיפה הנלמד?

  • כשכל זווית שווה
  • כשהזווית מול הגדולה מבין שתי הצלעות הנתונות
  • כשאחת הצלעות אופקית

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

בכל אחד משני משולשים צלעות מתאימות 6 ו־10. שוות הזוויות שמול 6 בלבד. האם זה בהכרח מספיק למשפט צלע–צלע–זווית?

  • כן, שלושה נתונים תמיד מספיקים
  • כן, כי 6 קצרה מ־10
  • לא, הזווית נתונה מול הצלע הקטנה

תשובה: __________________________________________________

8. בישרי זווית מספיקים יתר וניצב

במשולש ישר זווית היתר הוא הצלע שמול 90° והוא ארוך מכל ניצב. לכן בשני משולשים ישרי זווית, יתר שווה וניצב שווה מקיימים את המשפט המיוחד: הזוויות הישרות שוות ונמצאות מול הצלע הגדולה, היתר. אין צורך לדרוש גם שוויון של הניצב השני כנתון.

שני משולשים ישרי זווית. היתר והניצב המסומנים שווים בהתאמה, ולכן המשולשים חופפים.

דוגמה: שני משולשים ישרי זווית בעלי יתר 13 וניצב מתאים 5. הוכיחו חפיפה.

  1. היתרים שווים ל־13 והניצבים המתאימים שווים ל־5.
  2. הזוויות שמול היתר הן 90° בשני המשולשים.
  3. היתר גדול מהניצב, ולכן חפיפה לפי יתר וניצב, המקרה הישר־זוויתי של המשפט.

תרגול מודרך

בשני משולשים ישרי זווית היתר שווה. איזה נתון נוסף מספיק לחפיפה?

  • ניצב מתאים שווה
  • רק שהציורים באותו כיוון
  • רק זווית ישרה נוספת

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

לשני משולשים ישרי זווית יתר 10, אך לא ניתנו ניצבים. האם הם בהכרח חופפים?

  • כן, היתר קובע הכול
  • לא, נדרש מידע נוסף כגון ניצב מתאים שווה
  • כן, כי כל ישרי הזווית חופפים

תשובה: __________________________________________________

9. צלע משותפת שווה לעצמה

לפעמים הנתון השלישי אינו מספר אלא קטע ששני המשולשים חולקים. זהו אותו קטע ממש, ולכן אפשר לכתוב שהוא שווה לעצמו, בנימוק צלע משותפת. אין צורך בחפיפה כדי להצדיק זאת, אבל צלע משותפת לבדה עדיין אינה מוכיחה חפיפה.

ABCD
AD משותפת למשולשים ABD ו־ACD, ולכן AD = AD. לבדה אינה מספיקה להוכחת חפיפה.

דוגמה: המשולשים ABD ו־ACD חולקים את AD. איזה שוויון מותר לכתוב?

  1. AD היא צלע בשני המשולשים.
  2. מכיוון שזה אותו קטע, AD = AD.
  3. הנימוק הוא צלע משותפת. מחפשים התאמות נוספות להוכחת חפיפה.

תרגול מודרך

המשולשים ABC ו־ADC חולקים את AC. איזה שוויון מוצדק מכך?

  • AB = AD
  • BC = DC
  • AC = AC

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

שני משולשים חולקים צלע אחת. האם עובדה זו לבדה מוכיחה חפיפה?

  • לא, צריך התאמות נוספות למשפט מתאים
  • כן, כל צלע משותפת מספיקה
  • כן, אם הצלע אלכסונית

תשובה: __________________________________________________

10. חוצה זווית נותן זוג זוויות שוות

בשם זווית בעל שלוש אותיות, האות האמצעית היא הקודקוד. למשל, ∠BAD היא הזווית שבקודקוד A בין AB ל־AD, ואילו ∠DAC היא הזווית שבין AD ל־AC. חוצה זווית הוא קטע היוצא מקודקוד ומחלק את הזווית לשני חלקים שווים. לכן נתון של חוצה זווית יכול לספק את התאמת הזוויות במשפט חפיפה. הוא אינו נותן מעצמו שוויון בין חלקי הצלע שמול הזווית או זווית ישרה במפגש איתה.

דוגמה: במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A ו־D על BC. איזה שוויון זוויות מתקבל?

  1. AD מחלק את הזווית BAC לשתי זוויות.
  2. לפי הגדרת חוצה זווית, ∠BAD = ∠DAC.
  3. אפשר להשתמש בשוויון הזה בהוכחה, אך לא להניח מראש BD = DC.

תרגול מודרך

במשולש PQR הקטע PS חוצה את זווית P ו־S על QR. מה נובע?

  • QS = SR בהכרח
  • ∠QPS = ∠SPR
  • PS ⟂ QR בהכרח

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, ו־∠BAD = 25°. מהי ∠DAC?

  • 50°
  • 12.5°
  • 25°

תשובה: __________________________________________________

11. אמצע קטע נותן זוג צלעות שוות

נקודת אמצע מחלקת קטע לשני חלקים שווים. כאשר שני חלקים כאלה שייכים למשולשים שונים, הנתון יכול לספק זוג צלעות שוות בהוכחת חפיפה. חשוב להתייחס לקטע שנחצה, ולא להסיק שוויון של קטעים אחרים שיוצאים מנקודת האמצע.

דוגמה: M הוא אמצע BC. איזה שוויון מותר להשתמש בו?

  1. ההגדרה של אמצע BC מחייבת BM = MC.
  2. אם BM ו־MC הם צלעות בשני משולשים שבודקים, זהו זוג שווה.
  3. הנתון אינו אומר ש־AM שווה לכל קטע אחר.

תרגול מודרך

O הוא אמצע הקטע AC. מה נובע?

  • AO = OC
  • AO = AC
  • AC = 0

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

M אמצע BC ו־BC = 18. מה אורכי BM ו־MC?

  • 18 ו־18
  • 9 ו־9
  • 6 ו־12

תשובה: __________________________________________________

12. מפגש ישרים יכול לתת זוויות שוות

כששני ישרים נחתכים, הזוויות שמול זו לזו נקראות קודקודיות והן שוות. זה עשוי לספק נתון זוויתי לשני משולשים הנוגעים בנקודת המפגש. צריך לוודא שהקטעים באמת שייכים לשני ישרים, ולא להסתמך על ציור שנראה כמו צורת X.

דוגמה: A,O,C על ישר אחד ו־B,O,D על ישר אחר, כאשר O בין הקצוות בכל ישר. איזה זוג זוויות שווה?

  1. OA ו־OC קרניים מנוגדות, וגם OB ו־OD.
  2. ∠AOB ו־∠COD נמצאות זו מול זו.
  3. לכן ∠AOB = ∠COD, בנימוק זוויות קודקודיות.

תרגול מודרך

הישרים AC ו־BD נחתכים ב־O, שנמצא בין הקצוות בשניהם. ∠AOB = 70°. מהי ∠COD?

  • 110°
  • 20°
  • 70°

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

A,O,C על ישר ו־B,O,D על ישר, ו־O בין הקצוות בשניהם. מה נימוק השוויון ∠AOD = ∠COB?

  • זוויות קודקודיות
  • צלע משותפת
  • אמצע קטע

תשובה: __________________________________________________

13. מחברים נתונים למשפט ולמסקנה

הוכחת חפיפה מתחילה בשלוש התאמות מוצדקות, ממשיכה ברישום המשולשים לפי ההתאמה ובשם המשפט, ורק אז משתמשת בתוצאות החפיפה. כל שוויון מקבל נימוק משלו: נתון, הגדרה או משפט. אין צורך במספרים אם הנתונים מספקים את הקשרים הדרושים.

דוגמה: במשולש ABC נתון AB = AC. הקטע AD חוצה את זווית A ו־D על BC. הוכיחו BD = DC.

  1. AB = AC נתון; ∠BAD = ∠CAD כי AD חוצה זווית.
  2. AD = AD, בנימוק צלע משותפת. הזוויות השוות כלואות בין הצלעות השוות.
  3. △ABD ≅ △ACD לפי צ.ז.צ, בהתאמה A ↔ A, B ↔ C, D ↔ D.
  4. BD = DC, כי צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות.

תרגול מודרך

במשולש ABC נתון AB = AC ו־AD חוצה את A, כאשר D על BC. איזה נתון נוסף משלים צ.ז.צ למשולשים ABD ו־ACD?

  • BD = DC כהנחה
  • AD = AD כצלע משותפת
  • כל זוויות המשולש שוות

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

הוכח △ABD ≅ △ACD. מהו הנימוק ל־BD = DC?

  • כך נראה בציור
  • לכל משולש יש תיכון
  • צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

תשובה: __________________________________________________

14. אחרי חפיפה מוצאים חלקים נוספים

ברגע שחפיפה נתונה או הוכחה, אפשר להשתמש גם בחלקים המתאימים שלא הופיעו בהוכחה. סדר האותיות אומר איזה אורך או זווית להעתיק. אם הזווית המבוקשת אינה ידועה עדיין באף משולש, אפשר לחשב אותה קודם מסכום 180° ואז להעביר לפי ההתאמה.

דוגמה: △ABC ≅ △DEF, BC = 11, ∠A = 50° ו־∠B = 60°. מצאו EF ו־∠F.

  1. BC מתאימה ל־EF, ולכן EF = 11.
  2. ∠C = 180° − 50° − 60° = 70°.
  3. C מתאימה ל־F, ולכן ∠F = 70°.

תרגול מודרך

נתון △ABC ≅ △DEF ו־AC = 8. מהו DF?

  • 8
  • 4
  • 16

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

נתון △ABC ≅ △DEF, ∠A = 40° ו־∠B = 70°. מהי ∠F?

  • 40°
  • 70°
  • 110°

תשובה: __________________________________________________

15. לא מניחים את מה שמנסים להוכיח

הוכחה מעגלית משתמשת במסקנה המבוקשת כדי להוכיח את עצמה. אם רוצים להוכיח שצלעות שוות באמצעות חפיפה, אסור להכניס את אותו שוויון לרשימת הנתונים שמוכיחה את החפיפה. משתמשים רק בנתונים כתובים או במסקנות שכבר נומקו באופן עצמאי.

דוגמה: מבקשים להוכיח BD = DC. תלמיד מניח BD = DC, מוכיח חפיפה ומסיק שוב BD = DC. מה הבעיה?

  1. השוויון המבוקש הוכנס כנתון בלי נימוק עצמאי.
  2. החפיפה תלויה במסקנה שאותה רצו להוכיח.
  3. צריך למצוא התאמה אחרת המוצדקת בנתונים או במשפט מוכר.

תרגול מודרך

מותר לכתוב ששתי צלעות שוות רק כי הן נראות כך בציור?

  • כן, אם הציור גדול
  • לא, נדרש נתון או נימוק
  • כן, אם מצוירות באותו צבע

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מה הסדר התקין בהוכחה שמשתמשת בחפיפה?

  • המסקנה המבוקשת, ואז הנחה שהיא נכונה
  • חפיפה לפי מראה, ואז מספרים
  • התאמות מנומקות, חפיפה, תוצאות החפיפה

תשובה: __________________________________________________

16. אותן זוויות אינן מבטיחות אותו גודל

אפשר להגדיל משולש בלי לשנות אף זווית. לכן שלוש זוויות שוות בהתאמה מספיקות לדמיון, אך לא לחפיפה. בחפיפה יחס האורכים הוא בדיוק 1. בדמיון אחר היחס עשוי להיות שונה מ־1, ולכן המשולשים אינם מתלכדים בגודלם.

ABC3DEF6ABC3DEF6
משולשים שווי צלעות עם צלעות 3 ו־6: הזוויות שוות, אך הגדלים שונים ולכן אינם חופפים.

דוגמה: משולשים שווי צלעות בעלי צלעות 3 ו־6: האם הם חופפים?

  1. בשניהם שלוש זוויות שוות וסכומן 180°, ולכן כל זווית 60°.
  2. אבל צלע מתאימה באורך 3 אינה שווה לצלע באורך 6.
  3. הם דומים ביחס אורכים 2, אך אינם חופפים.

תרגול מודרך

שני משולשים בעלי זוויות 40°, 60°, 80°. מה אפשר להסיק מהזוויות בלבד?

  • דמיון, לא בהכרח חפיפה
  • חפיפה בהכרח
  • צלעות שוות בהכרח

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מהו יחס הצלעות המתאימות במשולשים חופפים?

  • 2
  • 1
  • אי אפשר לדעת

תשובה: __________________________________________________

17. היקף או שטח שווים אינם משפט חפיפה

היקף שווה אומר שסכומי הצלעות שווים, לא שכל צלע מתאימה שווה. גם שטח שווה אומר רק שהמשטחים באותו גודל, ולא שצורות הגבול זהות. לכן אף אחד מהנתונים לבדו אינו מוכיח חפיפה; נדרש משפט חפיפה מתאים או מידע שקול לו.

דוגמה: למשולש אחד צלעות 4, 5, 6 ולשני 3, 6, 6. בדקו היקף וחפיפה.

  1. היקף הראשון 4 + 5 + 6 = 15.
  2. היקף השני 3 + 6 + 6 = 15.
  3. ההיקפים שווים, אך רשימות הצלעות שונות, ולכן המשולשים אינם חופפים.

תרגול מודרך

לשני משולשים שטח 12 סמ״ר. האם זה לבדו מוכיח חפיפה?

  • כן, שטח קובע את כל הצלעות
  • כן, אם היחידות זהות
  • לא, משולשים שונים יכולים להיות באותו שטח

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

לשני משולשים היקף 18 ס״מ. איזה מידע מספיק נוסף בפני עצמו כדי להוכיח חפיפה?

  • שלוש הצלעות שוות בהתאמה
  • שניהם מצוירים באותו כיוון
  • יש להם זווית חדה אחת

תשובה: __________________________________________________

דוגמה מסכמת

במשולש ABC נתון AB = AC. הקטע AD חוצה את זווית A ונפגש עם BC בנקודה D. הוכיחו BD = DC.

  1. משווים בין המשולשים ABD ו־ACD. ההתאמה היא A אל A, B אל C, D אל D.
  2. טענה: AB = AC. נימוק: נתון שהמשולש שווה שוקיים.
  3. טענה: ∠BAD = ∠DAC. נימוק: AD חוצה את זווית A.
  4. טענה: AD = AD. נימוק: צלע משותפת לשני המשולשים.
  5. מסקנה: △ABD ≅ △ACD לפי צ.ז.צ. הזוויות השוות כלואות בין זוגות הצלעות השוות.
  6. מכאן BD = DC. נימוק: צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות. רק עכשיו הוכחנו ש־D אמצע BC.

תרגול מסכם

שאלה 1

נתון △ABC ≅ △DEF. איזו צלע מתאימה ל־BC?

________________________________________________________

שאלה 2

בכל אחד משני משולשים אורכי הצלעות הם 5, 6 ו־8. איזה משפט חפיפה מתאים?

________________________________________________________

שאלה 3

נתון AB = DE, AC = DF וגם ∠A = ∠D. איזה משפט חפיפה מתאים?

________________________________________________________

שאלה 4

נתון ∠A = ∠D, ∠B = ∠E וגם AB = DE. איזה משפט חפיפה מתאים?

________________________________________________________

שאלה 5

שלוש הזוויות שוות בהתאמה. האם מובטחת חפיפה? כתבו כן או לא.

________________________________________________________

שאלה 6

נתון △ABC ≅ △DEF וגם AC = 9. מה אורך DF?

________________________________________________________

שאלה 7

במשולשים ABD ו־ACD, מה הנימוק לשוויון AD = AD?

________________________________________________________

שאלה 8

אתגר: נתון כי △ABD ≅ △ACD, והנקודה D נמצאת על BC. אם BC = 18, מה אורך BD?

________________________________________________________

בדיקה עצמית

האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.