שברים, עשרוניים וסדר פעולות: יסודות

קודם בוחרים מהו השלם. מחלקים אותו לחלקים שווים בגודלם, ורק אז סופרים חלקים.

בשבר 34, המספר שמתחת לקו הוא המכנה: השלם חולק ל־4 חלקים שווים. המספר שמעל לקו הוא המונה: בחרנו 3 מהם.

לכן קוראים לו ״שלושה רבעים״. שלם אחד הוא 44, וחלק אחד הוא 14.

המכנה אינו יכול להיות 0. בחלוקה לחלקים לא שווים אי אפשר להסיק את השבר רק ממספר החלקים. אפשר ללמוד בכל פעם רעיון אחד ולעצור.

אפשר לחלק כל חלק לעוד חלקים קטנים בלי לשנות את הכמות שנבחרה. לכן 12 = 24 = 48.

בהרחבה מכפילים את המונה ואת המכנה באותו מספר שלם חיובי. בצמצום מחלקים את שניהם באותו מספר גדול מ־1 שמחלק את שניהם ללא שארית.

הערך נשמר. אם אי אפשר עוד לצמצם כך, השבר מצומצם.

שינוי של המונה בלבד או של המכנה בלבד משנה בדרך כלל את הערך.

משווים שברים ביחס לאותו שלם. כשהמכנים שווים, כל חלק באותו גודל: מונה גדול יותר אומר יותר חלקים, ולכן שבר גדול יותר.

כשהמכנים שונים, אפשר להרחיב לשברים בעלי אותו מכנה ואז להשוות. כאן נבחר מקרים קטנים שבהם מכנה אחד הוא כפולה של האחר.

למשל, כדי להשוות 12 ו־46, נכתוב 12 = 36. הסימן < אומר ״קטן מ־״ והסימן > אומר ״גדול מ־״; הפתח הרחב פונה למספר הגדול.

אחרי הרעיון הזה אפשר לעצור ולחזור על שלושת הרעיונות הראשונים.

מספר עשרוני הוא דרך נוספת לכתוב מספר. הנקודה מפרידה בין החלק השלם לבין חלקי השלם.

הספרה הראשונה מימין לנקודה סופרת עשיריות: 0.3 פירושו שלוש עשיריות, כלומר 310. העשר עשיריות יחד הן שלם אחד: 1010 = 1.

למשל, 1.3 הוא שלם אחד ועוד שלוש עשיריות. על ישר המספרים מתקדם הערך משמאל לימין; בין 0 ל־1 יש עשרה מרווחים שווים של עשירית.

הספרה השנייה מימין לנקודה סופרת מאיות. למשל, 0.25 הוא שתי עשיריות ועוד חמש מאיות, וביחד 25100.

אפשר לצמצם: 25100 = 14. עשירית אחת שווה לעשר מאיות, לכן 0.5 = 0.50.

הוספת אפס בסוף החלק העשרוני אינה משנה את הערך. להשוואה בודקים קודם שלמים, אחר כך עשיריות ואחר כך מאיות.

אפשר להשלים אפס בסוף: 0.4 = 0.40 > 0.35. יותר ספרות אחרי הנקודה לא בהכרח אומרות מספר גדול יותר. זו נקודת עצירה טובה לפני הפעולות.

כשמחברים או מחסרים חלקים באותו גודל, משתנה מספר החלקים אבל גודל כל חלק נשאר. לכן בשברים בעלי אותו מכנה מחברים או מחסרים את המונים, ומשאירים את המכנה.

אפשר לצמצם את התוצאה. למשל, 16 + 26 = 36 = 12.

לא מחברים מכנים. ביחידה זו מתרגלים חיבור וחיסור של שברים בעלי מכנים שווים בלבד, עם תוצאה בין 0 ל־1.

מכנים שונים, כפל וחילוק של שברים ומספרים מעורבים יילמדו בהמשך.

מחברים עשיריות לעשיריות ומאיות למאיות. אפשר לכתוב את שני המספרים במאיות, לחשב במספרים שלמים, ואז לחזור לכתיבה עשרונית.

למשל, 0.4 = 0.40, ולכן 0.4 + 0.25 הוא 40 מאיות ועוד 25 מאיות. גם בחיסור אפשר כך: 0.8 − 0.35 הוא 80 מאיות פחות 35 מאיות.

בכתיבה במאונך מיישרים נקודה מתחת לנקודה. במאה מאיות יש שלם אחד; לכן אפשר לקבל גם תוצאה גדולה מ־1.

כאן אין כפל או חילוק של עשרוניים. אפשר לעצור כאן ולתרגל לפני סדר הפעולות.

מכאן מתרגלים סדר פעולות במספרים שלמים חיוביים קטנים בלבד. כפל מתאר קבוצות שוות: 3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6.

חילוק מחלק לקבוצות שוות: 12 חלקי 3 הם 4, כי 3 × 4 = 12. קו שבר יכול לציין גם חילוק: 123 = 4.

בלי סוגריים מבצעים כפל וחילוק לפני חיבור וחיסור. לכפל ולחילוק אותה עדיפות; לחיבור ולחיסור אותה עדיפות.

פעולות באותה עדיפות מבצעים משמאל לימין. כפל אינו תמיד קודם לחילוק, וחיבור אינו תמיד קודם לחיסור.

כשיש סוגריים, מחשבים קודם את מה שבתוכם, לפי אותם כללי סדר פעולות. אחר כך ממשיכים בשאר התרגיל: כפל וחילוק, ולבסוף חיבור וחיסור.

בכל דרגת עדיפות עובדים משמאל לימין. הסוגריים יכולים לשנות את התוצאה: 2 + 3 × 4 = 14, אבל (2 + 3) × 4 = 20.

כאן משתמשים בזוג סוגריים אחד, במספרים קטנים ובתוצאות שאינן שליליות. חזקות, כללי סימנים בכפל ובחילוק וביטויים מורכבים יילמדו בנפרד. אין צורך לסיים את כל מאגר התרגול במפגש אחד.