קליק · מתמטיקה

שברים, עשרוניים וסדר פעולות: יסודות

בונים בסיס בצעדים קטנים: חלקים שווים, שברים שווים, עשיריות ומאיות, חיבור וחיסור בסיסי וסדר פעולות בשלמים חיוביים. תשעה רעיונות שאפשר לחלק לכמה מפגשים.

https://klikedu.app/learn/fraction-foundations

1. שבר: חלקים שווים מתוך שלם

קודם בוחרים מהו השלם. מחלקים אותו לחלקים שווים בגודלם, ורק אז סופרים חלקים. בשבר , המספר שמתחת לקו הוא המכנה: השלם חולק ל־4 חלקים שווים. המספר שמעל לקו הוא המונה: בחרנו 3 מהם. לכן קוראים לו ״שלושה רבעים״. שלם אחד הוא , וחלק אחד הוא . המכנה אינו יכול להיות 0. בחלוקה לחלקים לא שווים אי אפשר להסיק את השבר רק ממספר החלקים. אפשר ללמוד בכל פעם רעיון אחד ולעצור.

שלושה רבעים של אותו שלם. המלבן הוא שלם אחד שחולק לארבעה חלקים שווים. שלושה מהם צבועים: 3/4. כל חלק הוא 1/4.
המלבן הוא שלם אחד שחולק לארבעה חלקים שווים. שלושה מהם צבועים: . כל חלק הוא .

דוגמה: מלבן חולק ל־4 חלקים שווים, ומתוכם 3 צבועים. איזה חלק צבוע?

  1. המלבן כולו הוא השלם. כל חלק הוא רבע מן השלם.
  2. יש 4 חלקים שווים בסך הכול, לכן המכנה הוא 4.
  3. יש 3 חלקים צבועים, לכן המונה הוא 3. החלק הצבוע הוא .

תרגול מודרך

שלם חולק ל־5 חלקים שווים, ומתוכם 2 נבחרו. איזה שבר מתאר את החלק שנבחר?

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

בשבר , מה מציין המכנה 3?

  • שלושה חלקים נבחרו
  • השלם חולק לשלושה חלקים שווים
  • נשארו שלושה שלמים

תשובה: __________________________________________________

2. אותו ערך, כתיבה אחרת: הרחבה וצמצום

אפשר לחלק כל חלק לעוד חלקים קטנים בלי לשנות את הכמות שנבחרה. לכן = = . בהרחבה מכפילים את המונה ואת המכנה באותו מספר שלם חיובי. בצמצום מחלקים את שניהם באותו מספר גדול מ־1 שמחלק את שניהם ללא שארית. הערך נשמר. אם אי אפשר עוד לצמצם כך, השבר מצומצם. שינוי של המונה בלבד או של המכנה בלבד משנה בדרך כלל את הערך.

אותו חצי, חלוקות שונות. שלושת המלבנים שווים בגודלם, ובכל אחד צבוע בדיוק חצי. 1/2 = 2/4 = 4/8. שינוי החלוקה אינו משנה את הכמות.
שלושת המלבנים שווים בגודלם, ובכל אחד צבוע בדיוק חצי. = = . שינוי החלוקה אינו משנה את הכמות.

דוגמה: איך רואים שחצי, שני רבעים וארבע שמיניות הם אותו חלק?

  1. בכל אחד משלושת המלבנים השלם באותו גודל, וחצי ממנו צבוע.
  2. מחלקים כל חצי לשניים: המונה 1 נעשה 2 והמכנה 2 נעשה 4. לכן = .
  3. מחלקים שוב כל חלק לשניים ומקבלים . בצמצום מחלקים את 4 ואת 8 ב־4 ומקבלים .
  4. כבר מצומצם: אין מספר שלם גדול מ־1 שמחלק גם את 1 וגם את 2.

תרגול מודרך

מרחיבים את על ידי כפל המונה והמכנה ב־2. איזה שבר מתקבל?

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מצמצמים את על ידי חלוקת המונה והמכנה ב־2. איזה שבר מתקבל?

תשובה: __________________________________________________

3. משווים חלקים באותו גודל

משווים שברים ביחס לאותו שלם. כשהמכנים שווים, כל חלק באותו גודל: מונה גדול יותר אומר יותר חלקים, ולכן שבר גדול יותר. כשהמכנים שונים, אפשר להרחיב לשברים בעלי אותו מכנה ואז להשוות. כאן נבחר מקרים קטנים שבהם מכנה אחד הוא כפולה של האחר. למשל, כדי להשוות ו־, נכתוב = . הסימן < אומר ״קטן מ־״ והסימן > אומר ״גדול מ־״; הפתח הרחב פונה למספר הגדול. אחרי הרעיון הזה אפשר לעצור ולחזור על שלושת הרעיונות הראשונים.

משווים חלקים בגודל שווה. שני המלבנים הם שלמים שווים. למעלה 1/2 = 3/6, ולמטה 4/6. ארבע שישיות גדולות משלוש שישיות.
שני המלבנים הם שלמים שווים. למעלה = , ולמטה . ארבע שישיות גדולות משלוש שישיות.

דוגמה: מה גדול יותר: או ?

  1. המלבנים מייצגים שלמים שווים בגודלם. לא משווים לפי המונה בלבד כשהמכנים שונים.
  2. מרחיבים את בכפל של המונה והמכנה ב־3: = .
  3. עכשיו משווים ו־. ארבע שישיות גדולות משלוש שישיות. לכן < .

תרגול מודרך

מה גדול יותר: או ?

  • הם שווים

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מה קטן יותר: או ?

  • הם שווים

תשובה: __________________________________________________

4. עשיריות: השבר מקבל נקודה

מספר עשרוני הוא דרך נוספת לכתוב מספר. הנקודה מפרידה בין החלק השלם לבין חלקי השלם. הספרה הראשונה מימין לנקודה סופרת עשיריות: 0.3 פירושו שלוש עשיריות, כלומר . העשר עשיריות יחד הן שלם אחד: = 1. למשל, 1.3 הוא שלם אחד ועוד שלוש עשיריות. על ישר המספרים מתקדם הערך משמאל לימין; בין 0 ל־1 יש עשרה מרווחים שווים של עשירית.

כל מרווח הוא עשירית. עשרה מרווחים שווים בין 0 ל־1. הנקודה 0.3 נמצאת שלוש עשיריות מימין לאפס, ומתאימה ל־3/10 מן השלם.
עשרה מרווחים שווים בין 0 ל־1. הנקודה 0.3 נמצאת שלוש עשיריות מימין לאפס, ומתאימה ל־ מן השלם.

דוגמה: מה פירוש 0.3, ואיפה הוא על הישר?

  1. הספרה שלפני הנקודה היא 0: אין כאן שלמים.
  2. הספרה הראשונה אחרי הנקודה היא 3: יש שלוש עשיריות. לכן 0.3 = .
  3. על הישר מתחילים ב־0 וסופרים שלושה מרווחים של עשירית ימינה, עד 0.3.

תרגול מודרך

איזה מספר עשרוני שווה ל־?

  • 70
  • 0.7
  • 7

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מה מתאר המספר 1.4?

  • ארבעה שלמים ועשירית
  • שלם אחד וארבע עשיריות
  • ארבעה עשר שלמים

תשובה: __________________________________________________

5. מאיות, אפס בסוף והשוואת עשרוניים

הספרה השנייה מימין לנקודה סופרת מאיות. למשל, 0.25 הוא שתי עשיריות ועוד חמש מאיות, וביחד . אפשר לצמצם: = . עשירית אחת שווה לעשר מאיות, לכן 0.5 = 0.50. הוספת אפס בסוף החלק העשרוני אינה משנה את הערך. להשוואה בודקים קודם שלמים, אחר כך עשיריות ואחר כך מאיות. אפשר להשלים אפס בסוף: 0.4 = 0.40 > 0.35. יותר ספרות אחרי הנקודה לא בהכרח אומרות מספר גדול יותר. זו נקודת עצירה טובה לפני הפעולות.

מאה חלקים שווים. הרשת היא שלם אחד המורכב ממאה ריבועים שווים. 25 מהם צבועים: 25/100 = 0.25 = 1/4. הצביעה היא רבע משטח הרשת.
הרשת היא שלם אחד המורכב ממאה ריבועים שווים. 25 מהם צבועים: = 0.25 = . הצביעה היא רבע משטח הרשת.

דוגמה: איך מחברים בין 0.25 לשבר, ואיך משווים 0.4 ו־0.35?

  1. ברשת יש 100 ריבועים שווים; 25 מהם צבועים. לכן החלק הצבוע הוא = 0.25.
  2. מחלקים את המונה ואת המכנה ב־25: = .
  3. להשוואה כותבים 0.4 בתור 0.40. משווים 40 מאיות ל־35 מאיות.
  4. 40 מאיות גדולות מ־35 מאיות, לכן 0.4 > 0.35.

תרגול מודרך

איזה שבר שווה ל־0.06?

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

איזה מספר גדול יותר: 0.7 או 0.65?

  • 0.65
  • הם שווים
  • 0.7

תשובה: __________________________________________________

6. מחברים ומחסרים שברים בעלי אותו מכנה

כשמחברים או מחסרים חלקים באותו גודל, משתנה מספר החלקים אבל גודל כל חלק נשאר. לכן בשברים בעלי אותו מכנה מחברים או מחסרים את המונים, ומשאירים את המכנה. אפשר לצמצם את התוצאה. למשל, + = = . לא מחברים מכנים. ביחידה זו מתרגלים חיבור וחיסור של שברים בעלי מכנים שווים בלבד, עם תוצאה בין 0 ל־1. מכנים שונים, כפל וחילוק של שברים ומספרים מעורבים יילמדו בהמשך.

מצרפים חלקים באותו גודל. השלמים שווים וכל חלק הוא שישית. שישית אחת ועוד שתי שישיות הן שלוש שישיות: 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2. המכנה נשאר 6.
השלמים שווים וכל חלק הוא שישית. שישית אחת ועוד שתי שישיות הן שלוש שישיות: + = = . המכנה נשאר 6.

דוגמה: מה קורה כשמצרפים שישית אחת לשתי שישיות, ואז מורידים שישית?

  1. כל חלק הוא שישית מאותו שלם. שישית אחת ועוד שתי שישיות הן שלוש שישיות: + = .
  2. המכנה נשאר 6, כי גודל החלקים נשאר שישית. אפשר לצמצם: = .
  3. בחיסור עובדים באותו אופן: − = .
  4. מצמצמים את על ידי חלוקת שני המספרים ב־2: = .

תרגול מודרך

חשבו: +

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

חשבו: −

תשובה: __________________________________________________

7. מחברים ומחסרים עשיריות ומאיות

מחברים עשיריות לעשיריות ומאיות למאיות. אפשר לכתוב את שני המספרים במאיות, לחשב במספרים שלמים, ואז לחזור לכתיבה עשרונית. למשל, 0.4 = 0.40, ולכן 0.4 + 0.25 הוא 40 מאיות ועוד 25 מאיות. גם בחיסור אפשר כך: 0.8 − 0.35 הוא 80 מאיות פחות 35 מאיות. בכתיבה במאונך מיישרים נקודה מתחת לנקודה. במאה מאיות יש שלם אחד; לכן אפשר לקבל גם תוצאה גדולה מ־1. כאן אין כפל או חילוק של עשרוניים. אפשר לעצור כאן ולתרגל לפני סדר הפעולות.

דוגמה: חשבו: 0.4 + 0.25, ואחר כך 0.8 − 0.35.

  1. בחיבור כותבים 0.4 = 0.40. כעת 40 מאיות ועוד 25 מאיות הן 65 מאיות: 0.4 + 0.25 = 0.65.
  2. בחיסור כותבים 0.8 = 0.80. מחשבים 80 − 35 = 45, ולכן 0.8 − 0.35 = 0.45.
  3. אם מצטברות יותר מ־100 מאיות, מוציאים מהן שלם: 0.75 + 0.50 = 1.25, כי 125 מאיות הן שלם אחד ועוד 25 מאיות.
  4. בדקו את גודל התוצאה: חיבור חיובי מגדיל, וחיסור חיובי מקטין.

תרגול מודרך

חשבו: 0.3 + 0.45

  • 0.48
  • 0.75
  • 0.345

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

חשבו: 0.9 − 0.25

  • 0.65
  • 0.74
  • 0.16

תשובה: __________________________________________________

8. מה מחשבים קודם?

מכאן מתרגלים סדר פעולות במספרים שלמים חיוביים קטנים בלבד. כפל מתאר קבוצות שוות: 3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6. חילוק מחלק לקבוצות שוות: 12 חלקי 3 הם 4, כי 3 × 4 = 12. קו שבר יכול לציין גם חילוק: = 4. בלי סוגריים מבצעים כפל וחילוק לפני חיבור וחיסור. לכפל ולחילוק אותה עדיפות; לחיבור ולחיסור אותה עדיפות. פעולות באותה עדיפות מבצעים משמאל לימין. כפל אינו תמיד קודם לחילוק, וחיבור אינו תמיד קודם לחיסור.

דוגמה: שלוש דוגמאות קצרות לסדר פעולות.

  1. ב־2 + 3 × 4 מתחילים בכפל: 3 × 4 = 12. אחר כך 2 + 12 = 14.
  2. ב־ × 2 שתי הפעולות באותה עדיפות: קודם החילוק השמאלי, = 4. אחר כך 4 × 2 = 8.
  3. ב־10 − 4 + 1 שתי הפעולות באותה עדיפות: משמאל לימין, 10 − 4 = 6, ואז 6 + 1 = 7.
  4. בכל שלב משנים רק את החלק שחושב, ומעתיקים את שאר התרגיל.

תרגול מודרך

חשבו: 3 + 2 × 5

  • 25
  • 13
  • 15

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

חשבו: × 2

  • 3
  • 12
  • 9

תשובה: __________________________________________________

9. סוגריים קודמים: צעד אחד בכל שורה

כשיש סוגריים, מחשבים קודם את מה שבתוכם, לפי אותם כללי סדר פעולות. אחר כך ממשיכים בשאר התרגיל: כפל וחילוק, ולבסוף חיבור וחיסור. בכל דרגת עדיפות עובדים משמאל לימין. הסוגריים יכולים לשנות את התוצאה: 2 + 3 × 4 = 14, אבל (2 + 3) × 4 = 20. כאן משתמשים בזוג סוגריים אחד, במספרים קטנים ובתוצאות שאינן שליליות. חזקות, כללי סימנים בכפל ובחילוק וביטויים מורכבים יילמדו בנפרד. אין צורך לסיים את כל מאגר התרגול במפגש אחד.

דוגמה: חשבו: 18 − (2 + 3) × 2

  1. קודם הסוגריים: 2 + 3 = 5. התרגיל נעשה 18 − 5 × 2.
  2. קודם כפל, גם אם החיסור כתוב משמאלו: 5 × 2 = 10. התרגיל נעשה 18 − 10.
  3. מחסרים: 18 − 10 = 8.
  4. בדקו שלא שיניתם את המספרים שמחוץ לחלק שחושב בכל צעד.

תרגול מודרך

חשבו: (3 + 2) × 5

  • 13
  • 25
  • 15

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

חשבו: 20 − (2 + 4) × 2

  • 8
  • 28
  • 12

תשובה: __________________________________________________

דוגמה מסכמת

מה גדול יותר: או ?

  1. המלבנים מייצגים שלמים שווים בגודלם. לא משווים לפי המונה בלבד כשהמכנים שונים.
  2. מרחיבים את בכפל של המונה והמכנה ב־3: = .
  3. עכשיו משווים ו־. ארבע שישיות גדולות משלוש שישיות. לכן < .

תרגול מסכם

שאלה 1

שלם חולק ל־8 חלקים שווים, ו־3 מהם נבחרו. איזה שבר מתאר את החלק שנבחר?

________________________________________________________

שאלה 2

בשבר , מהו המכנה? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

שאלה 3

מרחיבים את לשבר שמכנהו 10. מה המונה החדש? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

שאלה 4

מצמצמים את על ידי חלוקת המונה והמכנה ב־4. מה המונה החדש? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

שאלה 5

מה גדול יותר: או ? כתבו את השבר הגדול.

________________________________________________________

שאלה 6

מה קטן יותר: או ? כתבו את השבר הקטן.

________________________________________________________

שאלה 7

מה הערך של ? אפשר לכתוב מספר עשרוני.

________________________________________________________

שאלה 8

מספר מורכב משלם אחד ושתי עשיריות. מהו המספר?

________________________________________________________

שאלה 9

מה הערך של ? אפשר לכתוב מספר עשרוני.

________________________________________________________

שאלה 10

מה גדול יותר: 0.6 או 0.58? כתבו את המספר הגדול.

________________________________________________________

שאלה 11

מה הערך של ? אפשר לכתוב מספר עשרוני.

________________________________________________________

שאלה 12

חשבו: +

________________________________________________________

שאלה 13

חשבו: −

________________________________________________________

שאלה 14

חשבו: +

________________________________________________________

שאלה 15

חשבו: 0.2 + 0.35

________________________________________________________

שאלה 16

חשבו: 0.7 − 0.25

________________________________________________________

שאלה 17

חשבו: 0.65 + 0.50

________________________________________________________

שאלה 18

חשבו: 4 + 2 × 3

________________________________________________________

שאלה 19

חשבו: × 2

________________________________________________________

שאלה 20

חשבו: 9 − 3 + 2

________________________________________________________

שאלה 21

חשבו: 14 −

________________________________________________________

שאלה 22

חשבו: (4 + 2) × 3

________________________________________________________

שאלה 23

חשבו:

________________________________________________________

שאלה 24

חשבו: 17 − (3 + 2) × 2

________________________________________________________

בדיקה עצמית

האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.