קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

הסתברות מותנית, אי־תלות ופרמטרים

מסלול ההעמקה מתמקד בהסתברות: משקלי מקורות, שחזור פרמטר, ניסיונות בלתי תלויים ותנאי היתכנות. זהו רצף תמיכה והעמקה, ולא הבטחה לכיסוי מלא של התוכנית או לכל סוגי שאלות הבחינה.

הרחבה לבחירה · שכיחות, ממוצע וחציון, אירועים והסתברות. במסלולי ההמשך יש הסתברות מותנית ואי־תלות המתאימות למסגרת ט׳, ואתגרי פרמטרים והכללה לבחירה. לייצוגי נתונים ושכיח ראו גם את היחידה הייעודית. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/statistics-probability?target=5

לפני שמתחילים

1. הסתברות הפוכה בתערובת של שני מקורות

כאשר פריט מגיע מאחד משני מקורות, מחשבים את משקל כל מסלול: הסתברות המקור כפול ההסתברות לתוצאה בתוך המקור. לאחר שנודעה התוצאה, מנרמלים רק בין המסלולים המסתיימים בה. זו דרך לבנות הסתברות מותנית בלי להפוך בטעות P(B|A) ל־P(A|B). הסתברות התוצאה הכוללת חייבת להיות חיובית.

דוגמה: 60% מהמוצרים מגיעים ממכונה א ו־40% ממכונה ב. שיעורי התקינות הם 90% בא ו־75% בב. מוצר נבחר באקראי ונמצא תקין. מה ההסתברות שמקורו בא?

  1. משקל המסלול א ותקין הוא 0.6 × 0.9 = 0.54.
  2. משקל המסלול ב ותקין הוא 0.4 × 0.75 = 0.30. לכן P()תקין) = 0.84.
  3. בתוך התקינים חלקה של א הוא = .
  4. המספר 0.9 מתאר תקין בהינתן א; הוא אינו התשובה לשאלה על מקורו של מוצר תקין.

תרגול מודרך

שליש מהמוצרים מגיעים מא, ושני שלישים מב. שיעור התקינות הוא בא ו־ בב. מוצר אקראי נמצא תקין. מה ההסתברות שמקורו בא?

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהמוצרים מגיעים מא והשאר מב. שיעורי התקינות הם בא ו־ בב. מוצר אקראי נמצא תקין. מה ההסתברות שמקורו בא?

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. משחזרים פרמטר מהסתברות מותנית

אם P(A) = p, אז P()לא A) = 1 − p. משלבים את p במשקלי המסלולים, בונים מנה של חיתוך בהסתברות התנאי, ורק אז פותרים. הפתרון חייב לקיים 0 ≤ p ≤ 1 ומכנה חיובי. כשהשאלה מניחה ששתי הקבוצות קיימות, נדרש 0 < p < 1. משוואה אלגברית בלי בדיקת תחום עלולה לתת מודל הסתברות בלתי אפשרי.

דוגמה: נתון P(A) = p, כאשר 0 < p < 1. כמו כן P(B|A) = ו־P(B)לא A) = . ידוע P(A|B) = . מצאו p.

  1. P() וגם B) = , ואילו P(B) = + = .
  2. לכן = . המכנה חיובי בכל התחום הנתון.
  3. כפל באלכסון נותן 12p = 2 + 6p, ולכן p = .
  4. בדיקה: משקלי המסלולים הם ו־, ולכן חלקו של הראשון בסכומם הוא .

תרגול מודרך

נתון P(A) = p, עם 0 < p < 1. נתון P(B|A) = , P(B)לא A) = וגם P(A|B) = . מה p?

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתון P(A) = p, עם 0 < p < 1. נתון P(B|A) = , P(B)לא A) = וגם P(A|B) = . מה p?

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. ניסיונות בלתי תלויים: מסלולים ומשלים

בניסיונות בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה קבועה p, ההסתברות לכישלון בכל n הניסיונות היא (1 − p) בחזקת n. לכן ״לפחות הצלחה אחת״ מחושב באמצעות המשלים. ״בדיוק הצלחה אחת״ דורש גם לספור את מיקומה: בשלושה ניסיונות יש שלושה מסלולים זרים. ההנחות של אי־תלות ו־p קבוע חיוניות; ללא החזרה אין להשתמש אוטומטית באותו מודל.

דוגמה: בשלושה ניסיונות בלתי תלויים ההסתברות להצלחה היא p. נתון שההסתברות לאפס הצלחות היא . מצאו p ואת ההסתברות לפחות הצלחה אחת.

  1. ההסתברות לאפס הצלחות היא (1 − p)³, ולכן (1 − p)³ = .
  2. מכיוון ש־0 ≤ p ≤ 1, מתקבל 1 − p = ולכן p = .
  3. ההסתברות לפחות הצלחה אחת היא 1 − = .
  4. אין צורך לחבר בנפרד את כל האפשרויות של הצלחה אחת, שתיים ושלוש.

תרגול מודרך

בשלושה ניסיונות בלתי תלויים, הסתברות ההצלחה בכל ניסיון היא . מה ההסתברות לבדיוק הצלחה אחת?

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בארבעה ניסיונות בלתי תלויים, הסתברות ההצלחה בכל ניסיון היא . מה ההסתברות לפחות הצלחה אחת?

  • 1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. תחום אפשרי לפרמטר של חיתוך

אם P(A) ו־P(B) ידועות ו־q היא הסתברות החיתוך, ארבעת חלקי המרחב הם q, P(A) − q, P(B) − q ו־1 − P(A) − P(B) + q. כל אחד חייב להיות לא־שלילי. לכן q לא יכול לעלות על אף אחת מההסתברויות, וגם לא להיות קטן מ־P(A) + P(B) − 1 או מ־0. אי־תלות היא בחירה מיוחדת q = P(A)P(B), ולא הנחת ברירת מחדל.

דוגמה: נתון P(A) = ו־P(B) = . מה תחום הערכים האפשריים של q = P() וגם B)?

  1. החלק ״A בלבד״ הוא − q והחלק ״B בלבד״ הוא − q. לכן q ≤ .
  2. החלק ״לא A ולא B״ הוא 1 − − + q = q − , ולכן q ≥ .
  3. יחד מתקבל ≤ q ≤ . כל ארבעת החלקים לא־שליליים בתחום זה.
  4. אם מוסיפים אי־תלות, מתקבל q = ()() = , ערך שנמצא בתחום.

תרגול מודרך

נתון P(A) = 0.7 ו־P(B) = 0.6. איזה ערך אינו אפשרי עבור P() וגם B)?

  • 0.3
  • 0.5
  • 0.2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתון P(A) = ו־P(B) = . איזה ערך של q = P() וגם B) יוצר אי־תלות?

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.