קליק · מתמטיקה

אחוזים

מזהים חלקים, מחלקים כמות לפי יחס ומחשבים אחוזים.

https://klikedu.app/learn/ratios

1. קודם מזהים את השלם ואת האחוז

השלם הוא כל הכמות שעליה מדברים. מחלקים אותו בדמיון ל־100 חלקים שווים. כל חלק כזה נקרא אחוז אחד ונכתב 1%. כל 100 החלקים יחד הם 100%. לכן 20% מתארים 20 מתוך 100 חלקים שווים של השלם, בלי לקבוע עדיין כמה שקלים או פריטים יש בהם.

דוגמה: בקופסה יש 100 חרוזים. 20 מהם כחולים. איזה חלק מהקופסה כחול?

  1. השלם הוא כל 100 החרוזים, ולכן הוא 100%.
  2. כיוון שיש בדיוק 100 חרוזים, כל חרוז כאן הוא 1% מהשלם.
  3. 20 חרוזים כחולים הם 20 חלקים מתוך 100, ולכן 20% מהחרוזים כחולים.
  4. 80 החרוזים האחרים משלימים את הקופסה: 20% ועוד 80% הם 100%.

תרגול מודרך

כל הריבוע מחולק ל־100 תאים שווים. מה מתאר 1%?

  • כל הריבוע
  • תא אחד
  • עשרה תאים

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מחיר תיק הוא 200 ₪. רוצים למצוא 20% ממחירו. מהו השלם?

  • 20 ₪
  • 100 ₪
  • 200 ₪

תשובה: __________________________________________________

2. מוצאים אחוז אחד, ואז את החלק המבוקש

כשמחלקים את כל הכמות ב־100, מוצאים כמה יש בחלק אחד מתוך מאה: זהו 1%. כדי לקבל 20% לוקחים עשרים חלקים כאלה, ולכן כופלים ב־20. מחלקים ב־100 בגלל משמעות האחוז; כופלים במספר האחוזים בגלל מספר החלקים שרוצים.

דוגמה: כמה הם 20% מ־200 ₪?

  1. השלם הוא 200 ₪, והוא מייצג 100%.
  2. מחלקים אותו ל־100 חלקים שווים: = 2. לכן 1% הוא 2 ₪.
  3. 20% הם עשרים חלקים כאלה: 20 × 2 = 40 ₪.
  4. בודקים משמעות: 40 ₪ הם חלק מהמחיר 200 ₪; הם אינם המחיר שנשאר אחרי הנחה.

תרגול מודרך

מה עושים תחילה כדי למצוא 1% מ־300 ₪?

  • 300 × 100
  • 300 − 100

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

אם 1% מ־300 ₪ הוא 3 ₪, כמה הם 10%?

  • 3 ₪
  • 30 ₪
  • 290 ₪

תשובה: __________________________________________________

3. אחוז פירושו חלק מתוך מאה

כבר ראינו ש־20% פירושם 20 חלקים מתוך 100 חלקים שווים. אפשר לכתוב בדיוק את אותו חלק גם כשבר: . אם מחלקים גם את 20 וגם את 100 ב־20, מקבלים : זהו אותו חלק מהשלם, רק מתואר בקבוצות גדולות יותר. בכתיבה עשרונית שתי ספרות אחרי הנקודה מאפשרות לתאר מאיות: = 0.20 = 0.2. לא שינינו את הכמות בשלוש הכתיבות; שינינו רק את הדרך לתאר אותה. באותו אופן, 25% = = .

דוגמה: כתבו 20% כשבר וכמספר עשרוני.

  1. ״אחוז״ פירושו מתוך מאה, ולכן 20% = .
  2. כדי לצמצם בלי לשנות ערך, מחלקים גם מונה וגם מכנה באותו מספר: = 1 ו־ = 5. לכן = .
  3. 20 מאיות הן 0.20. האפס האחרון אינו משנה את הערך, ולכן 0.20 = 0.2.
  4. קיבלנו שלוש כתיבות לאותו חלק: 20%, ו־0.2. חמישה חלקים בגודל הזה משלימים שלם אחד.

תרגול מודרך

איזה שבר שווה ל־25%?

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

איזה מספר עשרוני שווה ל־75%?

  • 7.5
  • 0.75
  • 75

תשובה: __________________________________________________

4. מוצאים אחוז מכמות

כדי למצוא כמה הם אחוז מסוים מכמות, מחלקים את הכמות למאה חלקים ומקבלים אחוז אחד. אחר כך לוקחים את מספר האחוזים המבוקש. אפשר לעשות זאת בחישוב אחד: הכמות כפול מספר האחוזים חלקי מאה.

דוגמה: כמה הם 20% מ־150?

  1. אחוז אחד הוא = 1.5.
  2. עשרים אחוזים הם 20 × 1.5 = 30.
  3. בכתיבה קצרה: 150 × = 30.

תרגול מודרך

כמה הם 10% מ־80?

  • 8
  • 70
  • 800

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

כמה הם 25% מ־160?

  • 135
  • 64
  • 40

תשובה: __________________________________________________

5. אותו אחוז, שלמים שונים

אחוז אינו כמות קבועה בפני עצמו: גודלו תלוי בשלם שממנו מחשבים. עשרים אחוזים ממאה קטנים מעשרים אחוזים ממאתיים. לכן לפני הכפל מסמנים מהו השלם, באילו יחידות הוא נמדד, והאם הנתון מתאר אותו או רק חלק ממנו.

דוגמה: השוו 20% מ־100 ו־20% מ־200.

  1. 20% מ־100 הם 100 × 0.2 = 20.
  2. 20% מ־200 הם 200 × 0.2 = 40.
  3. האחוז נשאר זהה, אבל השלם הוכפל ולכן גם החלק הוכפל.

תרגול מודרך

איזו כמות גדולה יותר?

  • 10% מ־50
  • 10% מ־100
  • שתיהן שוות כי האחוז זהה

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מחיר חולצה 120 ₪ ומחיר תיק 200 ₪. על שניהם הנחה של 10%. מה סכומי ההנחה, לפי הסדר?

  • 12 ו־20 ₪
  • 10 ו־10 ₪
  • 108 ו־180 ₪

תשובה: __________________________________________________

6. איזה אחוז החלק מהווה?

יש כאן שאלה חדשה: יודעים כמה יש בחלק וכמה יש בשלם, ורוצים לתאר את החלק כאילו השלם חולק למאה חלקים שווים. תחילה כותבים חלק חלקי שלם. השבר אומר איזה חלק מכל הכמות נבחר. אם השבר הוא , למשל, אפשר להרחיב אותו ל־, ואז לקרוא 75%. באופן כללי הכפלה של חלק/שלם ב־100 נותנת את מספר האחוזים. לא מכפילים את מספר הפריטים ב־100; מכפילים את החלק היחסי שחושב.

דוגמה: נפתרו 18 מתוך 24 שאלות. איזה אחוז נפתר?

  1. השלם הוא כל 24 השאלות, והחלק הוא 18 שנפתרו. לכן החלק היחסי הוא .
  2. מחלקים את המונה ואת המכנה ב־6: = . כלומר נפתרו שלושה מכל ארבעה חלקים שווים.
  3. כדי לתאר מתוך מאה, מרחיבים פי 25: = . לכן נפתרו 75%.
  4. בדרך העשרונית אותו רעיון נכתב = 0.75, ואז 0.75 × 100 = 75. זה מספר האחוזים.
  5. בדיקה: × 75 = 18 שאלות, בדיוק החלק שניתן.

תרגול מודרך

5 מתוך 20 פריטים הם אדומים. איזה אחוז אדום?

  • 4%
  • 75%
  • 25%

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

12 מתוך 30 תלמידים הגיעו. איזה אחוז הגיע?

  • 60%
  • 40%
  • 250%

תשובה: __________________________________________________

7. מתרגמים יחס לאחוז מהשלם

יחס 2:3 בין שתי קבוצות אומר שלכל 2 חלקים שווים של הקבוצה הראשונה יש 3 חלקים באותו גודל של השנייה. כדי לשאול איזה אחוז מכל הכמות שייך לראשונה, צריך לכלול בשלם את שתי הקבוצות: 2 + 3 = 5 חלקים. הראשונה היא לכן 2 מתוך 5, ולא 2 מתוך 3. רק אחרי שזיהינו חלק ושלם ממירים את השבר לאחוז. למי שרוצה עוד דוגמאות של יחס, הרענון נשמר בסוף היחידה.

דוגמה: יחס החרוזים האדומים לכחולים הוא 2:3. איזה אחוז מכל החרוזים אדום?

  1. מדמיינים קבוצה קטנה מתאימה: 2 אדומים ו־3 כחולים. יחד יש 5 חרוזים. גם בקבוצות גדולות באותו יחס נשמר אותו חלק יחסי.
  2. האדומים הם 2 מתוך 5, ולכן השבר מהשלם הוא .
  3. מרחיבים למכנה 100: מכפילים גם מונה וגם מכנה ב־20 ומקבלים . לכן 40% אדומים.
  4. היה משווה אדומים לכחולים בלבד. הוא אינו מתאר את חלקם של האדומים בכל החרוזים.

תרגול מודרך

ביחס 1:3, איזה אחוז מהשלם הוא הראשונה?

  • 33.3% בקירוב
  • 25%
  • 75%

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

ביחס 3:2, איזה אחוז מהשלם הוא השנייה?

  • 60%
  • 150%
  • 40%

תשובה: __________________________________________________

8. חלק ושלם באותן יחידות

כדי לחלק חלק בשלם, שניהם צריכים להימדד באותה יחידה. המספר 50 בסנטימטרים אינו בר־השוואה ישירה למספר 2 במטרים. ממירים תחילה, ורק אז מחשבים את השבר והאחוז. ההמרה משנה את המספר הכתוב, אך לא את הכמות עצמה.

דוגמה: 50 ס״מ הם איזה אחוז מ־2 מטרים?

  1. ממירים את השלם: 2 מטרים = 200 ס״מ.
  2. מחלקים חלק בשלם: = .
  3. כופלים במאה: 25%.

תרגול מודרך

250 גרם הם איזה אחוז מקילוגרם אחד?

  • 250%
  • 25%
  • 0.25%

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

15 דקות הן איזה אחוז משעה?

  • 25%
  • 15%
  • 4%

תשובה: __________________________________________________

9. מבדילים הנחה ממחיר לתשלום

סכום ההנחה הוא רק החלק שהורידו מן המחיר. כאשר מבקשים כמה משלמים, צריך לחסר אותו מן המחיר המקורי. שתי התוצאות נמדדות בשקלים, אבל הן עונות על שאלות שונות, ולכן קוראים שוב את המבוקש לפני כתיבת התשובה.

דוגמה: מחיר חולצה 160 ₪ וההנחה 25%. כמה משלמים?

  1. סכום ההנחה: 160 × = 40 ₪.
  2. מחסרים מן המחיר: 160 − 40 = 120 ₪.
  3. בדיקה: המחיר החדש אכן נמוך מ־160 ₪.

תרגול מודרך

מחיר 200 ₪ ירד ב־10%. כמה משלמים?

  • 20 ₪
  • 190 ₪
  • 180 ₪

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מחיר 80 ₪ ירד ב־25%. מה המחיר החדש?

  • 20 ₪
  • 60 ₪
  • 55 ₪

תשובה: __________________________________________________

10. אפשר לחשב ישירות את מה שנשאר

המחיר המקורי הוא מאה אחוזים. אחרי הנחה, אחוז המחיר שנותר הוא מאה פחות אחוז ההנחה. לכן אפשר לחשב את המחיר החדש בפעולה אחת, בלי למצוא בנפרד את סכום ההנחה. זו אותה חלוקה לשלם ולחלקים שכבר הכרנו.

דוגמה: חשבו מחיר אחרי הנחה של 20% ממחיר 150 ₪.

  1. האחוז לתשלום הוא 100% − 20% = 80%.
  2. מחשבים 80% מהמקור: 150 × = 120.
  3. לכן משלמים 120 ₪.

תרגול מודרך

אחרי הנחה של 30%, איזה אחוז מן המקור משלמים?

  • 70%
  • 30%
  • 130%

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מחיר 240 ₪ יורד ב־25%. מה המחיר החדש בחישוב ישיר?

  • 60 ₪
  • 215 ₪
  • 180 ₪

תשובה: __________________________________________________

11. עלייה מוסיפה חלק למחיר המקורי

בעלייה באחוזים מוסיפים למקור חלק שמחושב ממנו. לכן אחרי עלייה של עשרים אחוזים, המחיר החדש הוא מאה ועשרים אחוזים מן המקור. מאה אחוזים מייצגים את כל המקור, והאחוזים הנוספים מייצגים רק את התוספת.

דוגמה: מחיר 80 ₪ עולה ב־20%. מה המחיר החדש?

  1. התוספת היא 80 × = 16 ₪.
  2. המחיר החדש: 80 + 16 = 96 ₪.
  3. אפשר לחשב ישירות: 80 × = 96.

תרגול מודרך

מחיר 50 ₪ עולה ב־10%. מה המחיר החדש?

  • 60 ₪
  • 55 ₪
  • 5 ₪

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מחיר 200 ₪ עולה ב־25%. מה המחיר החדש?

  • 250 ₪
  • 225 ₪
  • 50 ₪

תשובה: __________________________________________________

12. אותו אחוז בכיוון ההפוך אינו מבטל

לאחר שינוי במחיר, המחיר החדש הוא השלם לחישוב השינוי הבא. אם מורידים עשרים אחוזים ואז מוסיפים עשרים אחוזים, התוספת מחושבת ממספר קטן יותר. לכן שני השינויים אינם מבטלים זה את זה, למרות ששיעוריהם הכתובים זהים.

דוגמה: מחיר 100 ₪ ירד ב־20% ואז עלה ב־20%. מה התקבל?

  1. אחרי ההנחה: 100 × 0.8 = 80 ₪.
  2. העלייה היא 20% מ־80: 80 × 0.2 = 16 ₪.
  3. מוסיפים: 80 + 16 = 96 ₪, ולא 100.

תרגול מודרך

מחיר ירד מ־100 ל־90 ₪ ואז עלה ב־10%. מאיזה שלם מחשבים את העלייה?

  • 100 ₪
  • 10 ₪
  • 90 ₪

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מחיר 200 ₪ ירד ב־50% ואז עלה ב־50%. מה המחיר הסופי?

  • 200 ₪
  • 150 ₪
  • 100 ₪

תשובה: __________________________________________________

13. יחס משווה קבוצות בסדר נתון

יחס מתאר כמה חלקים שווים שייכים לכל קבוצה. אם עפרונות לעטים הם ביחס 2:3, המספר הראשון שייך לעפרונות והשני לעטים. הסדר חשוב: כששואלים עטים לעפרונות, כותבים 3:2. אלו מספרי חלקים, ולא בהכרח מספרי הפריטים בפועל.

דוגמה: קראו את היחס 2:3 בין עפרונות לעטים.

  1. לכל שני חלקים של עפרונות יש שלושה חלקים של עטים.
  2. בסדר ההפוך, עטים לעפרונות, היחס הוא 3:2.
  3. אם חלק מכיל כמה פריטים, הכמויות בפועל גדולות יותר.

תרגול מודרך

יחס ספרים למחברות הוא 4:5. מה היחס מחברות לספרים?

  • 4:5
  • 5:4
  • 1:5

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

ביחס אדומים לכחולים 1:3, איזו קבוצה מיוצגת בשלושה חלקים?

  • כחולים
  • אדומים
  • שתי הקבוצות יחד

תשובה: __________________________________________________

14. אותו יחס בכמויות גדולות יותר

כדי להרחיב יחס כופלים את שני מספריו באותו גורם. כך כל חלק גדל באותה מידה וההשוואה נשמרת. גם חלוקה בגורם משותף שאינו אפס שומרת על היחס. לכן זוגות שונים של כמויות יכולים לתאר בדיוק אותו מבנה חלוקה.

דוגמה: האם 10 עפרונות ו־15 עטים מתאימים ליחס 2:3?

  1. 2 × 5 = 10 וגם 3 × 5 = 15.
  2. שני מספרי היחס הורחבו פי 5.
  3. לכן 10:15 שקול ל־2:3.

תרגול מודרך

איזה יחס שקול ל־2:3?

  • 4:5
  • 2:6
  • 4:6

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

צמצמו לגמרי את היחס 12:18 במספרים שלמים חיוביים.

  • 3:2
  • 2:3
  • 6:9

תשובה: __________________________________________________

15. אם נתונה רק קבוצה אחת

קבוצה אחת מייצגת רק את החלקים השייכים לה. כדי למצוא ערך של חלק אחד, מחלקים את גודלה במספר החלקים שלה, ולא בסכום חלקי שתי הקבוצות. אחר כך משתמשים בערך החלק כדי לחשב כל קבוצה אחרת לפי חלקיה.

דוגמה: היחס בין אדומים לכחולים 2:3 ויש 8 אדומים. כמה כחולים?

  1. האדומים הם 2 חלקים, לכן חלק אחד הוא = 4.
  2. הכחולים הם 3 חלקים: 3 × 4 = 12.
  3. בדיקה: 8:12 מצטמצם ל־2:3.

תרגול מודרך

ביחס 3:5 יש 12 בקבוצה הראשונה. מה ערך חלק אחד?

  • 4
  • 2.4

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

היחס 2:5 ובקבוצה השנייה 20. כמה בראשונה?

  • 8
  • 50
  • 4

תשובה: __________________________________________________

16. אם נתון השלם מחברים חלקים

כאשר הנתון הוא הסכום הכולל, הוא כולל את חלקי שתי הקבוצות יחד. מחברים את מספרי היחס כדי לדעת לכמה חלקים שווים לחלק את השלם. תוצאת החילוק היא ערך חלק אחד, ורק ממנה בונים את גודלה של כל קבוצה.

דוגמה: 30 מדבקות מתחלקות ביחס 2:3. כמה שווה חלק אחד?

  1. לשלם שייכים 2 + 3 = 5 חלקים.
  2. מחלקים את 30 המדבקות לחמש קבוצות שוות.
  3. חלק אחד הוא = 6 מדבקות.

תרגול מודרך

40 פריטים מתחלקים ביחס 3:5. כמה שווה חלק?

  • 5

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

42 פריטים מתחלקים ביחס 2:5. כמה שווה חלק?

  • 21
  • 6
  • 8.4

תשובה: __________________________________________________

17. מהחלק היחיד לחלוקה מלאה

כל קבוצה מקבלת מספר חלקים לפי היחס, ולכן מכפילים את ערך החלק במספר החלקים שלה. בודקים גם סכום וגם יחס: סכום נכון לבדו אינו מבטיח שהחלוקה נכונה, ויחס נכון לבדו אינו מבטיח שחולקה כל הכמות המבוקשת.

דוגמה: חלקו 30 מדבקות בין דנה ליואב ביחס 2:3.

  1. חלק אחד: = 6.
  2. דנה מקבלת 2 × 6 = 12; יואב מקבל 3 × 6 = 18.
  3. בודקים: 12 + 18 = 30 וגם 12:18 = 2:3.

תרגול מודרך

חלקו 35 ביחס 2:5, לפי הסדר.

  • 10 ו־25
  • 14 ו־21
  • 5 ו־30

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

איזו חלוקה של 48 מתאימה ליחס 1:3?

  • 24 ו־24
  • 16 ו־32
  • 12 ו־36

תשובה: __________________________________________________

18. שבר מהשלם אינו יחס הקבוצות

יחס 2:3 משווה את הקבוצה הראשונה לשנייה. כדי לשאול מה חלקה של הראשונה בכל הכמות, צריך לכלול במכנה את שתי הקבוצות: חמישה חלקים. לכן ו־ עונים על שאלות שונות; קודם מחליטים למה משווים.

דוגמה: מה חלקה של הראשונה בשלם ביחס 2:3?

  1. השלם כולל 2 + 3 = 5 חלקים.
  2. הראשונה מכילה 2 מהם.
  3. לכן חלקה ; השבר משווה אותה לשנייה בלבד.

תרגול מודרך

ביחס 3:7, מה חלקה של הראשונה בשלם?

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

ביחס 1:4, מה חלקה של השנייה בשלם?

תשובה: __________________________________________________

דוגמה מסכמת

מחלקים 30 מדבקות בין דנה ליואב ביחס 2:3.

  1. סכום חלקי היחס: 2 + 3 = 5.
  2. כל חלק שווה: = 6 מדבקות.
  3. דנה מקבלת: 2 × 6 = 12.
  4. יואב מקבל: 3 × 6 = 18.
  5. בדיקה: 12 + 18 = 30, והיחס 12:18 מצטמצם ל־2:3.

תרגול מסכם

שאלה 1

יחס אדומים לכחולים הוא 2:3. יש 10 אדומים. כמה כחולים?

________________________________________________________

שאלה 2

מחלקים 40 ביחס 3:5. מה גודל החלק הקטן?

________________________________________________________

שאלה 3

כמה הם 25% מתוך 80?

________________________________________________________

שאלה 4

מחיר תיק 200 ₪. יש הנחה של 15%. מה המחיר לאחר ההנחה? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

שאלה 5

מחלקים 35 מדבקות ביחס 2:5. כמה בקבוצה הגדולה?

________________________________________________________

שאלה 6

12 מתוך 48 תלמידים בחרו כדורסל. איזה אחוז זה? כתבו מספר.

________________________________________________________

שאלה 7

מחיר 200 ₪ עלה ב־10%. מה המחיר החדש?

________________________________________________________

שאלה 8

מחיר 100 ₪ ירד ב־20% ואז עלה ב־20%. מה המחיר בסוף?

________________________________________________________

בדיקה עצמית

האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.