קליק · מתמטיקה

פונקציה ריבועית ופרבולה

פרבולה, קודקוד וסימטריה, הזזות ומתיחה, אפסים ותחומי סימן ושינוי, מפגש עם ישר ומידול בתחום מציאותי.

https://klikedu.app/learn/quadratic-functions

1. מהטבלה אל הפרבולה

בפונקציה y = x² כל קלט מוכפל בעצמו. לכן קלטים נגדיים נותנים אותו פלט: למשל (−2)² = 2² = 4. הגרף הוא עקומה הנקראת פרבולה, ולא ישר. כל הפלטים אינם שליליים, והפלט הקטן ביותר הוא 0. טבלת ערכים מספקת נקודות לבדיקה ולשרטוט, אך הגרף כולל גם את הקלטים שבין המספרים בטבלה.

דוגמה: בנו טבלה ל־y = x² עבור x = −2, −1, 0, 1, 2.

  1. מעלים כל קלט בריבוע, תוך שמירה על סוגריים בקלט שלילי.
  2. הפלטים לפי הסדר הם 4, 1, 0, 1, 4.
  3. מסמנים את הנקודות ומחברים בעקומה חלקה בצורת U; אין לחברן כקו שבור.
הפרבולה הבסיסית-3-2-1123-112345xy0A (−2, 4)B (−1, 1)O (0, 0)C (1, 1)D (2, 4)
הפרבולה הבסיסית

הנקודות מן הטבלה מסומנות על העקומה y = x². הגרף ממשיך גם מעבר לחלון המוצג.

y = x²

תרגול מודרך

מה הפלט ב־y = x² כאשר x = −3?

  • 9
  • −9
  • 6

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

איזו נקודה נמצאת על y = x²?

  • (4, 2)
  • (2, 4)
  • (−2, −4)

תשובה: __________________________________________________

2. קודקוד וציר סימטריה

הקודקוד הוא נקודת המפנה של הפרבולה. ב־y = x² הוא (0, 0), והישר x = 0 הוא ציר הסימטריה. נקודות שקלטיהן נמצאים במרחק שווה משני צדי הציר הן באותו גובה. ציר הסימטריה הוא ישר אנכי ולכן כותבים x = מספר, ואילו קודקוד הוא נקודה ולכן כותבים שני מספרים.

דוגמה: לפרבולה קודקוד (2, 1). ידוע שהנקודה (0, 5) עליה. מצאו את הנקודה הסימטרית.

  1. ציר הסימטריה עובר בקודקוד: x = 2.
  2. הקלט 0 נמצא שתי יחידות משמאל לציר; הקלט הסימטרי הוא 4.
  3. הגובה נשמר ולכן הנקודה היא (4, 5).

תרגול מודרך

מהו ציר הסימטריה של פרבולה שקודקודה (−1, 3)?

  • y = 3
  • x = −1
  • x = 3

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

ציר הסימטריה הוא x = 3 והנקודה (1, 7) על הפרבולה. מה הנקודה הסימטרית?

  • (−1, 7)
  • (3, 7)
  • (5, 7)

תשובה: __________________________________________________

3. הזזה של פרבולה

ב־y = (x − h)² + k הריבוע מתאפס כאשר x = h. לכן הקודקוד הוא (h, k), ציר הסימטריה הוא x = h, והזרועות פונות מעלה. הוספת מספר מחוץ לריבוע מזיזה את הגרף אנכית; שינוי בתוך הסוגריים מזיז אותו אופקית. עדיף לבדוק מתי הסוגריים מתאפסים במקום לנחש את כיוון ההזזה לפי הסימן.

דוגמה: מצאו את הקודקוד של y = (x − 3)² + 2.

  1. כאשר x = 3 מתקיים x − 3 = 0.
  2. לכן הפלט שם הוא 2, וכל קלט אחר נותן ריבוע חיובי ופלט גדול מ־2.
  3. הקודקוד הוא (3, 2): הזזה של y = x² שלוש ימינה ושתיים מעלה.
קודקוד אחרי הזזה-11234567-112345678xy0V (3, 2)A (1, 6)B (5, 6)
קודקוד אחרי הזזה

הריבוע מתאפס ב־x = 3 והקודקוד הוא (3, 2). הישר האנכי הוא ציר הסימטריה.

y = (x − 3)² + 2

  • x = 3

תרגול מודרך

מה קודקוד y = (x + 2)² − 1?

  • (2, −1)
  • (−2, 1)
  • (−2, −1)

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

איזה כלל מתקבל מהזזת y = x² ארבע יחידות למעלה?

  • y = x² + 4
  • y = (x + 4)²
  • y = x² − 4

תשובה: __________________________________________________

4. חיתוכים עם הצירים וסימן הפונקציה

בחיתוך עם ציר x הגובה הוא 0, ולכן פותרים y = 0. בחיתוך עם ציר y הקלט הוא 0, ולכן מציבים x = 0. חיוביות פירושה שהגרף מעל ציר x ושליליות שהוא מתחתיו. בנקודות האפס הפונקציה אינה חיובית ואינה שלילית. פרבולה יכולה לחתוך את ציר x בשתי נקודות, לגעת בו בנקודה אחת או לא לפגוש אותו.

דוגמה: מצאו חיתוכים וסימן עבור y = x² − 4.

  1. לציר x: פותרים x² − 4 = 0 ומקבלים x = −2 או x = 2; הנקודות הן (−2, 0), (2, 0).
  2. לציר y: מציבים x = 0 ומקבלים (0, −4).
  3. הריבוע קטן מ־4 כאשר −2 < x < 2, ולכן שם הפונקציה שלילית; מחוץ לקטע היא חיובית.
אפסים ותחום שליליות-4-3-2-11234-5-4-3-2-1123456xy0A (−2, 0)B (2, 0)V (0, −4)
אפסים ותחום שליליות

העקומה מתחת לציר x בין −2 ל־2 ומעליו מחוץ לקטע. הקצוות עצמם הם אפסים.

y = x² − 4

תרגול מודרך

מה החיתוך של y = x² + 3 עם ציר y?

  • (0, 3)
  • (3, 0)
  • (0, −3)

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

היכן y = x² − 9 שלילית?

  • x < −3 או x > 3
  • −3 < x < 3
  • בכל x

תשובה: __________________________________________________

5. עלייה וירידה נקראות משמאל לימין

פונקציה יורדת כאשר הגדלת x מקטינה את y, ועולה כאשר הגדלת x מגדילה את y. בפרבולה הפונה מעלה יורדים עד הקודקוד ועולים אחריו. זאת שאלה אחרת מסימן: גרף יכול להיות מתחת לציר x ובכל זאת לעלות. בתיאור תחומי העלייה והירידה כאן מציינים תחומים פתוחים משני צדי הקודקוד ומזהים בנפרד את נקודת המינימום.

דוגמה: תארו את השינוי של y = (x − 2)² − 5.

  1. הקודקוד הוא (2, −5) והזרועות פונות מעלה.
  2. כאשר מתקדמים משמאל אל x = 2 הפלט יורד; לכן תחום הירידה הוא x < 2.
  3. מימין לקודקוד הפלט עולה; תחום העלייה הוא x > 2 והמינימום הוא −5 ב־x = 2.

תרגול מודרך

היכן y = (x + 1)² עולה?

  • x < −1
  • x > −1
  • x > 1

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

ב־y = x² − 4, מה קורה כשעוברים מ־x = 0 ל־x = 1?

  • הפלט יורד כי הוא שלילי
  • הפלט נשאר קבוע
  • הפלט עולה אף ששני הפלטים שליליים

תשובה: __________________________________________________

6. מפגש בין ישר לפרבולה

בנקודת מפגש לשני גרפים יש אותו קלט ואותו פלט. לכן משווים את הביטויים של y, פותרים עבור x, ואז מציבים באחד הכללים כדי למצוא y. תשובה מלאה היא נקודות, לא רק קלטים. יכולים להיות אפס, מפגש אחד או שני מפגשים.

דוגמה: מצאו את מפגשי y = x² עם הישר y = 4.

  1. משווים פלטים: x² = 4.
  2. שני הפתרונות הם x = −2 ו־x = 2.
  3. בשניהם y = 4; נקודות המפגש הן (−2, 4), (2, 4).
שני מפגשים באותו גובה-3-2-1123-1123456xy0A (−2, 4)B (2, 4)O
שני מפגשים באותו גובה

הישר y = 4 פוגש את הפרבולה בשתי נקודות סימטריות.

y = x²

  • y = 4

תרגול מודרך

כמה מפגשים יש ל־y = x² ול־y = −1?

  • 1
  • 2
  • 0

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מהם מפגשי y = x² עם y = x?

  • (0, 0), (1, 1)
  • (−1, −1), (1, 1)
  • (0, 1) בלבד

תשובה: __________________________________________________

7. מודל שטח עם תחום מתאים

בצורה y = −(x − h)² + k, הסימן השלילי משקף את הפרבולה כלפי מטה: מחסרים מ־k מספר שאינו שלילי. לכן הקודקוד (h, k) הוא נקודת מקסימום. אפשר לבדוק צורה כזאת באמצעות פתיחת הסוגריים, בלי שיטה חדשה לפתרון. מודל ריבועי מתאר לעיתים שטח כמכפלה של שני אורכים המשתנים יחד. לפני שמחשבים מפרשים מהו x ואילו ערכים מותרים. אורך חיובי מחייב תחום מתאים; פתרון אלגברי מחוץ לתחום אינו תשובה למצב. קודקוד של פרבולה הפונה מטה נותן שטח מרבי אם הוא נמצא בתחום המותר.

דוגמה: למלבן צלעות x ו־6 − x ס״מ. מה השטח הגדול ביותר?

  1. שתי הצלעות חיוביות ולכן 0 < x < 6.
  2. השטח הוא A = x(6 − x) = −(x − 3)² + 9.
  3. בודקים את הצורה הנתונה בפתיחת סוגריים: −(x − 3)² + 9 = −x² + 6x − 9 + 9 = x(6 − x). המקדם השלילי הופך את הקודקוד למקסימום.
  4. ריבוע אינו שלילי, לכן A ≤ 9; ב־x = 3 שתי הצלעות הן 3 והשטח 9 סמ״ר.

תרגול מודרך

מה התחום למלבן שצלעותיו x ו־8 − x?

  • 0 < x < 8
  • x > 8
  • כל מספר

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

שטח מלבן נתון על ידי A = −(x − 4)² + 16 בתחום 0 < x < 8. מה השטח המרבי?

  • 4 סמ״ר
  • 16 סמ״ר
  • 8 סמ״ר

תשובה: __________________________________________________

דוגמה מסכמת

בנו טבלה ל־y = x² עבור x = −2, −1, 0, 1, 2.

  1. מעלים כל קלט בריבוע, תוך שמירה על סוגריים בקלט שלילי.
  2. הפלטים לפי הסדר הם 4, 1, 0, 1, 4.
  3. מסמנים את הנקודות ומחברים בעקומה חלקה בצורת U; אין לחברן כקו שבור.

תרגול מסכם

שאלה 1

מה ערך y = x² כאשר x = −4?

________________________________________________________

שאלה 2

מה קואורדינטת x של קודקוד y = (x − 5)² + 2?

________________________________________________________

שאלה 3

מה קואורדינטת y של חיתוך y = x² − 7 עם ציר y?

________________________________________________________

שאלה 4

כמה נקודות מפגש יש ל־y = x² ול־y = 9?

________________________________________________________

שאלה 5

מה הערך המרבי של y = −(x − 2)² + 6?

________________________________________________________

שאלה 6

מלבן בעל צלעות x ו־8 − x. מה השטח המרבי בסמ״ר?

________________________________________________________

בדיקה עצמית

האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.