קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

דלתון: שילוב תכונות ובדיקת קיום

מחברים בין תכונות הדלתון, משוואות, פירוק זוויות ופיתגורס. בכל המסלול ABCD הוא מרובע קמור לא מנוון, לפי הסדר סביב ההיקף, עם AB = AD ו־CB = CD; AC הוא הראשי, וההגדרה כוללת מעוין. מבדילים בין נתון, תכונה ומסקנה ולא מניחים ש־AO = OC. המסלול אינו הצהרה על כיסוי מלא של תוכנית שנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/kite?target=4

לפני שמתחילים

1. מחליטים איזה שוויון מותר לכתוב

בדלתון המוגדר AC חוצה את BD, כך ש־BO = OD, אבל אינו מחייב AO = OC. אם נתונים ביטויים לשני חלקי BD, משווים ביניהם ורק אחר כך מחשבים את האלכסון השלם. את AC מוצאים כסכום AO+OC, גם כשהחלקים שונים. זהו ההבדל בין שימוש בתכונה לבין הוספת שוויון שאינו מובטח.

דוגמה: בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. האלכסונים AC ו־BD נפגשים ב־O. כל האורכים בסנטימטרים. נתון BO = 2x+1, OD = 5x−8, AO = 4 ו־OC = 9. מצאו x ושני האלכסונים.

  1. AC ראשי, ולכן BO = OD: מתקבלת המשוואה 2x+1 = 5x−8.
  2. מעבירים את 2x לימין ואת −8 לשמאל: 1+8 = 5x−2x. זו דרך קצרה לחסר 2x ולהוסיף 8 בשני האגפים. לכן 9 = 3x ו־x = 3.
  3. BO = 2×3+1 = 7 וגם OD = 5×3−8 = 7. לכן BD = 14 ס״מ.
  4. AC = AO+OC = 4+9 = 13 ס״מ. החלקים 4 ו־9 אינם סותרים דלתון; לא נדרש שיהיו שווים.

תרגול מודרך

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. האלכסונים AC ו־BD נפגשים ב־O. BO = 3x−2 ו־OD = x+6, בסנטימטרים. מה BD?

  • 10 ס״מ
  • 20 ס״מ
  • 8 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. האלכסונים AC ו־BD נפגשים ב־O. BO = x+2, OD = 2x−1, AO = 5 ו־OC = 8, בסנטימטרים. איזה זוג נכון?

  • AC = 13 ס״מ, BD = 10 ס״מ
  • AC = 10 ס״מ, BD = 13 ס״מ
  • AC = 10 ס״מ, BD = 5 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מזוויות הראש אל חלקי זווית הבסיס

במשולש ABD השוקיים AB ו־AD שוות, ולכן כל זווית בסיס היא . במשולש CBD כל זווית בסיס היא . האלכסון BD נמצא בתוך זווית B בדלתון קמור, ולכן ∠ABC = ∠ABD+∠DBC. שני החלקים אינם בהכרח שווים. לבדיקה אפשר להשתמש בסכום זוויות המרובע 360°: הוא מתקבל משני המשולשים שיוצר AC.

דוגמה: בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. נתון ∠BAD = 72° ו־∠BCD = 48°. מצאו את שני חלקי זווית B ואת ∠ABC. האם BD חוצה את זווית B?

  1. במשולש ABD: ∠ABD = ∠BDA = = 54°.
  2. במשולש CBD: ∠DBC = ∠BDC = = 66°.
  3. לכן ∠ABC = 54°+66° = 120°. באותה דרך ∠ADC = 120°.
  4. בדיקה: 72°+120°+48°+120° = 360°. מכיוון ש־54° ≠ 66°, האלכסון BD אינו חוצה כאן את זווית B.

תרגול מודרך

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. נתון ∠BAD = 80° ו־∠BCD = 60°. מהי ∠ABC?

  • 100°
  • 70°
  • 110°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. נתון ∠BAD = 100° ו־∠ABC = 105°. מהי ∠DBC?

  • 52.5°
  • 65°
  • 40°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. אלכסונים נתונים: מחשבים כל זוג צלעות בנפרד

AC ⟂ BD ו־BO = OD, ולכן AOB ו־COB הם משולשים ישרי זווית. AB הוא היתר בראשון, ו־CB הוא היתר בשני. פיתגורס נותן AB² = AO²+BO² ו־CB² = CO²+BO². משתמשים בחצי BD, אך אין לחלק את AC בשתיים ללא נתון נוסף. את ההיקף מחשבים מהצלעות ואת השטח מהאלכסונים.

דוגמה: בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. האלכסונים AC ו־BD נפגשים ב־O. נתון AO = 5 ס״מ, CO = 9 ס״מ ו־BD = 24 ס״מ. מצאו את שני זוגות הצלעות, ההיקף והשטח.

  1. AC חוצה את BD, ולכן BO = OD = 12 ס״מ. הניצבים במשולש AOB הם 5 ו־12, לא 5 ו־24.
  2. ב־AOB: AB² = 5²+12² = 25+144 = 169. לכן AB = 13 ס״מ, וגם AD = 13 ס״מ.
  3. ב־COB: CB² = 9²+12² = 81+144 = 225. לכן CB = 15 ס״מ, וגם CD = 15 ס״מ. בחרנו שורשים חיוביים כי אלה אורכים.
  4. ההיקף P = 2×13+2×15 = 56 ס״מ. האלכסון AC = 5+9 = 14 ס״מ, ולכן השטח S = 14× = 168 סמ״ר.
פיתגורס מופעל בשני משולשים שונים1315591212ABCDO
פיתגורס מופעל בשני משולשים שונים

נתון דלתון עם AO = 5, CO = 9 ו־BD = 24 ס״מ. שוויון צלעות כל זוג הוא נתון. אחרי שימוש במשפט הדלתון מסומנים BO = OD = 12 והזווית הישרה כמסקנות. המספרים AB = 13 ו־BC = 15 הם תוצאות פיתגורס בדוגמה, לא נתונים שנוספו מראש.

תרגול מודרך

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. האלכסונים AC ו־BD נפגשים ב־O. נתון AO = 6 ס״מ ו־BD = 16 ס״מ. מה AB?

  • 292 ס״מ
  • 10 ס״מ
  • 14 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. האלכסונים AC ו־BD נפגשים ב־O. נתון AO = 8 ס״מ, CO = 15 ס״מ ו־BD = 30 ס״מ. מהו הביטוי המדויק להיקף?

  • 34+302 ס״מ
  • 46+302 ס״מ
  • 17+152 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. צלעות ואלכסון משני: מוצאים שני ניצבים

כאשר היתר וניצב ידועים במשולש ישר זווית, הניצב האחר מתקבל מחיסור ריבועים: AO² = AB²−BO². במשולש השני מחשבים בנפרד CO² = CB²−BO². בדלתון קמור O בתוך AC, ולכן AC = AO+CO. אין לחסר את שני הגבהים ואין להניח שהם שווים. מציינים בכל פיתגורס מהו היתר.

דוגמה: בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. האלכסונים AC ו־BD נפגשים ב־O. נתון AB = AD = 10 ס״מ, CB = CD = 17 ס״מ ו־BD = 16 ס״מ. מצאו AC ואת השטח.

  1. מהחצייה BO = OD = 8 ס״מ. ב־AOB היתר הוא AB = 10, ולכן AO²+8² = 10².
  2. מעבירים את 64 לאגף ימין, כלומר מחסרים 64 משני האגפים: AO² = 100−64 = 36. מכאן AO = 6 ס״מ.
  3. ב־COB היתר הוא CB = 17: CO² = 17²−8² = 289−64 = 225, ולכן CO = 15 ס״מ.
  4. AC = AO+CO = 6+15 = 21 ס״מ, ולכן S = 21× = 168 סמ״ר. היתרים אכן ארוכים מכל ניצב, ושני הגבהים חיוביים.

תרגול מודרך

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. האלכסונים AC ו־BD נפגשים ב־O. נתון AB = 13 ס״מ ו־BD = 10 ס״מ. מה AO?

  • 69 ס״מ
  • 8 ס״מ
  • 12 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בדלתון קמור ABCD הקודקודים מסודרים סביב ההיקף, AB = AD ו־CB = CD. האלכסונים AC ו־BD נפגשים ב־O. נתון AB = 5 ס״מ, CB = 13 ס״מ ו־BD = 8 ס״מ. מה AC?

  • 3+153 ס״מ
  • 153−3 ס״מ
  • 18 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. בודקים שהחישוב יוצר דלתון קמור

בדלתון קמור לא מנוון AO, CO ו־BO חיוביים. לכן AB > BO וגם CB > BO: יתר גדול מכל ניצב במשולש ישר זווית. אם חיסור הריבועים נותן מספר שלילי, אין אורך ממשי מתאים; אם הוא נותן אפס, קודקוד מתלכד עם O ונוצרת זווית שטוחה על BD. גם מקרה זה אינו הדלתון הקמור שבמסלול. תשובה מספרית דורשת בדיקת התאמה לנתונים ולצורה.

דוגמה: האם יכול להתקיים דלתון קמור ABCD עם AB = AD = 5 ס״מ, CB = CD = 13 ס״מ ו־BD = 12 ס״מ?

  1. אם היה דלתון כזה, AC היה חוצה את BD, ולכן BO = 6 ס״מ.
  2. במשולש ישר הזווית AOB היתר AB היה 5, קצר מהניצב BO = 6. זה בלתי אפשרי.
  3. אותה סתירה מופיעה בחישוב: AO² = 5²−6² = −11. ריבוע של אורך אינו יכול להיות שלילי.
  4. לכן אין דלתון קמור עם כל הנתונים האלה. אין לבחור שורש או לשנות את BD כדי להשלים פתרון.

תרגול מודרך

מוצע דלתון קמור ABCD עם AB = AD = 6 ס״מ ו־BD = 12 ס״מ. מדוע ההצעה אינה אפשרית?

  • כי בדלתון אסור לצלעות להיות שוות
  • כי AO² = 0, ולכן לא מתקבל מרובע קמור לא מנוון
  • כי BD חייב להיות קצר מ־AB

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

רוצים לבנות דלתון קמור ABCD עם AB = AD = 10 ס״מ, CB = CD = 13 ס״מ ו־BD = 12 ס״מ. איזו קביעה נכונה?

  • אי אפשר, כי שני זוגות הצלעות שונים
  • אי אפשר, כי BD ארוך מ־AB
  • אפשר: BO = 6, AO = 8 ו־CO = 133, כולם חיוביים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.