קליק · מתמטיקה

בניות בסרגל ובמחוגה

בנייה במחוגה ובסרגל ללא שנתות: אנכים, חוצה זווית ומשולש לפי שלוש צלעות, עם הוכחת נכונות ובדיקת קיום.

https://klikedu.app/learn/geometric-constructions

1. מחוגה וסרגל ללא שנתות: אנך אמצעי

בבנייה קלאסית הסרגל משמש להעברת ישר דרך שתי נקודות, ולא למדידת אורך. המחוגה מעתיקה מרחק ומשרטטת מעגל שמרכזו ורדיוסו ידועים. האנך האמצעי לקטע AB עובר באמצע הקטע ומאונך לו. לבנייתו בוחרים פתיחת מחוגה r הגדולה ממחצית AB, ומשרטטים קשתות באותו רדיוס מ־A ומ־B. שתי נקודות החיתוך P,Q נמצאות משני צדי הישר AB. הישר PQ הוא האנך האמצעי. אם הקשתות אינן נפגשות, מרחיבים את המחוגה בלי למדוד מחצית בסרגל.

דוגמה: נתון קטע AB. בנו את אמצעו M ואת האנך אליו בנקודה M בלי להשתמש בשנתות.

  1. פותחים מחוגה ברדיוס AB, למשל, ומשרטטים מעגלים שמרכזיהם A ו־B באותו רדיוס. רדיוס AB גדול ממחצית AB.
  2. מסמנים את שתי נקודות החיתוך P,Q, ומעבירים בסרגל את הישר PQ. מסמנים M = PQ ∩ AB.
  3. P וגם Q שוות־מרחק מ־A ומ־B. שתי נקודות אלה נמצאות על האנך האמצעי ל־AB, ולכן PQ הוא הישר המבוקש ו־AM = MB.
שני מעגלים שווי־רדיוס שמרכזיהם A,B נחתכים ב־P,Q; הישר PQ חוצה את AB בניצב בנקודה M.
שני מעגלים שווי־רדיוס שמרכזיהם A,B נחתכים ב־P,Q; הישר PQ חוצה את AB בניצב בנקודה M.

בנייה בסרגל לא מסומן ובמחוגה. העיגולים מציגים את פעולות המחוגה; ההצדקה מופיעה בדוגמה.

תרגול מודרך

למה חייבים לשמור על אותו רדיוס בקשת שמרכזה A ובקשת שמרכזה B?

  • כדי שנקודת החיתוך תהיה שוות־מרחק מ־A ומ־B
  • כדי ש־AB יהיה קוטר
  • כדי למדוד זווית

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

שני מעגלים שמרכזיהם A,B ורדיוסם בדיוק נפגשים בנקודה אחת. מדוע הבנייה אינה מספיקה לישר האנך האמצעי?

  • כי נקודת החיתוך אינה אמצע AB
  • כי כל רדיוס שווה אסור
  • חסרה נקודה שנייה לקביעת הישר

תשובה: __________________________________________________

2. בונים חוצה זווית בעזרת שתי קשתות

נתונה זווית AOB שמידתה בין 0° ל־180°. חוצה הזווית הפנימי הוא קרן היוצאת מ־O ומחלקת את הזווית לשתי זוויות שוות. תחילה מסמנים על שוקי הזווית נקודות C,D במרחק שווה מ־O באמצעות קשת שמרכזה O. אחר כך משרטטים מעגלים שמרכזיהם C,D וברדיוס OC. אחד החיתוכים הוא O; החיתוך האחר P נמצא בתוך הזווית. הקרן OP חוצה את הזווית. אין צורך במד זווית.

דוגמה: בנו חוצה זווית AOB בעזרת מחוגה וסרגל ללא שנתות.

  1. משרטטים קשת שמרכזה O, וחותכת את הקרניים OA,OB בנקודות C,D. כך OC = OD.
  2. מבלי לשנות את הרדיוס OC, משרטטים מעגלים שמרכזיהם C,D. מסמנים P כחיתוך השונה מ־O ומעבירים את הקרן OP.
  3. במשולשים OCP ו־ODP: OC = OD, CP = DP ו־OP משותפת. חפיפה לפי צלע־צלע־צלע מוכיחה ∠COP = ∠POD.
OC = OD; מעגלים שמרכזיהם C,D נפגשים ב־O,P. OP מחלק את הזווית לשניים.
OC = OD; מעגלים שמרכזיהם C,D נפגשים ב־O,P. OP מחלק את הזווית לשניים.

בנייה בסרגל לא מסומן ובמחוגה. העיגולים מציגים את פעולות המחוגה; ההצדקה מופיעה בדוגמה.

תרגול מודרך

איזה שוויון נובע מכך ש־C,D על אותה קשת שמרכזה O?

  • CD = OP
  • OC = CD
  • OC = OD

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

זווית AOB היא 74°. אחרי בנייה תקינה, מהי ∠AOP?

  • 106°
  • 37°
  • 74°

תשובה: __________________________________________________

3. אנך לישר דרך נקודה שעליו

כדי לבנות אנך לישר ℓ דרך נקודה O שעליו, מסמנים על ℓ שתי נקודות A,B משני צדי O, במרחק שווה ממנו בעזרת מעגל שמרכזו O. כעת O הוא אמצע AB. בונים את האנך האמצעי ל־AB באמצעות זוג מעגלים שווי־רדיוס שמרכזיהם A,B. הישר דרך שתי נקודות החיתוך שלהם עובר ב־O ומאונך ל־ℓ. אין צורך לסובב סרגל ״עד שנראה ישר״.

דוגמה: נתון ישר ℓ ועליו O. בנו ישר דרך O היוצר עם ℓ זווית של 90°.

  1. משרטטים מעגל שמרכזו O ורדיוס חיובי כלשהו. חיתוכיו עם ℓ הם A,B, משני צדי O. מתקיים OA = OB.
  2. ברדיוס AB משרטטים מעגלים שמרכזיהם A,B; נסמן את חיתוכיהם P,Q.
  3. הישר PQ הוא האנך האמצעי ל־AB. מכיוון ש־O אמצע AB והקטע AB על ℓ, הישר PQ עובר ב־O ומאונך ל־ℓ.
A,B משני צדי O על ישר ובמרחק שווה; חיתוכי המעגלים P,Q קובעים אנך דרך O.
A,B משני צדי O על ישר ובמרחק שווה; חיתוכי המעגלים P,Q קובעים אנך דרך O.

בנייה בסרגל לא מסומן ובמחוגה. העיגולים מציגים את פעולות המחוגה; ההצדקה מופיעה בדוגמה.

תרגול מודרך

למה O היא אמצע AB בבנייה?

  • כי AB מאונך ל־ℓ
  • A,O,B על ישר אחד ו־OA = OB
  • כי A ו־B נבחרו באותו צד של O

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

אם נקודות A,B על ℓ נבחרו במרחקים שונים מ־O, מה עלול להשתבש?

  • האנך האמצעי ל־AB לא יעבור ב־O
  • האנך האמצעי לא יהיה מאונך ל־ℓ
  • לא ניתן לצייר מעגלים

תשובה: __________________________________________________

4. בניית משולש לפי שלוש צלעות

לבניית משולש לפי שלוש צלעות מעתיקים תחילה אחת מהן לבסיס AB. מעגל שמרכזו A ורדיוסו האורך הרצוי AC, ומעגל שמרכזו B ורדיוסו האורך הרצוי BC, קובעים את C בחיתוך. משתמשים באורכים הנתונים כקטעים שניתן להעתיק במחוגה; המספרים מתארים את האורכים ולא מתירים מדידה בסרגל מסומן. כאשר הצלע הארוכה קצרה מסכום השתיים האחרות מתקבל משולש לא מנוון. בדרך כלל יש שני חיתוכים, משני צדי AB, והמשולשים המתקבלים חופפים ומשתקפים זה בזה.

דוגמה: נתונים שלושה קטעים באורכים 4,5,6 ס״מ. בנו משולש שבו AB = 6, AC = 4, BC = 5.

  1. בודקים קיום: הצלע הארוכה 6 קצרה מ־4 + 5 = 9, לכן ניתן לבנות משולש.
  2. מעתיקים את הקטע באורך 6 לבסיס AB. משרטטים מעגל שמרכזו A ברדיוס 4 ומעגל שמרכזו B ברדיוס 5, בהעתקת הקטעים במחוגה.
  3. בוחרים אחד משני החיתוכים בתור C ומחברים AC,BC. לפי הרדיוסים AC = 4, BC = 5, והבסיס AB = 6 לפי הבנייה.
בסיס AB באורך 6 ומעגלים ברדיוסים 4 ו־5; C,D הם שני החיתוכים האפשריים.
בסיס AB באורך 6 ומעגלים ברדיוסים 4 ו־5; C,D הם שני החיתוכים האפשריים.

בנייה בסרגל לא מסומן ובמחוגה. העיגולים מציגים את פעולות המחוגה; ההצדקה מופיעה בדוגמה.

תרגול מודרך

איזו שלישיית אורכים מאפשרת משולש לא מנוון?

  • 3, 4, 5
  • 2, 3, 5
  • 2, 3, 7

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

בבניית AB = 7, AC = 5, BC = 4, מהו רדיוס המעגל שמרכזו B?

  • 5
  • 7
  • 4

תשובה: __________________________________________________

דוגמה מסכמת

נתון קטע AB. בנו את אמצעו M ואת האנך אליו בנקודה M בלי להשתמש בשנתות.

  1. פותחים מחוגה ברדיוס AB, למשל, ומשרטטים מעגלים שמרכזיהם A ו־B באותו רדיוס. רדיוס AB גדול ממחצית AB.
  2. מסמנים את שתי נקודות החיתוך P,Q, ומעבירים בסרגל את הישר PQ. מסמנים M = PQ ∩ AB.
  3. P וגם Q שוות־מרחק מ־A ומ־B. שתי נקודות אלה נמצאות על האנך האמצעי ל־AB, ולכן PQ הוא הישר המבוקש ו־AM = MB.

תרגול מסכם

שאלה 1

M היא אמצע AB ו־AB = 12 ס״מ. מהו AM בס״מ? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

שאלה 2

חוצה זווית מחלק זווית של 86° לשתי זוויות שוות. מה גודלה של כל אחת במעלות? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

שאלה 3

בבניית משולש AB = 6, AC = 4, BC = 5, מהו רדיוס המעגל שמרכזו A? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

שאלה 4

שני מעגלים בעלי רדיוס 5 שמרכזיהם במרחק 6 זה מזה. בכמה נקודות הם נפגשים? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

שאלה 5

אפשר לבנות משולש לא מנוון שצלעותיו 2,3,5? ענו כן או לא.

________________________________________________________

שאלה 6

כמה מעלות בזווית שבין קטע לבין האנך האמצעי שלו? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

בדיקה עצמית

האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.