קליק · מתמטיקה

מערכת צירים — נקודות ורבעים

קוראים זוג סדור, מזהים רבעים ומוצאים מרחקים על ישרים מקבילים לצירים.

https://klikedu.app/learn/coordinate-plane

1. מתחילים בראשית

מערכת צירים היא מפה של מיקומים. ציר x אופקי וציר y אנכי, והמפגש שלהם נקרא ראשית: (0, 0). שני האפסים אומרים שעדיין לא זזנו מהראשית, לא אופקית ולא אנכית.

xy011
x אופקי וגדל ימינה; y אנכי וגדל למעלה. כל משבצת היא יחידה אחת.

דוגמה: מה מתארת הנקודה (0, 0)?

  1. המספר הראשון הוא x = 0: אין תזוזה אופקית.
  2. המספר השני הוא y = 0: אין תזוזה אנכית.
  3. לכן הנקודה היא מפגש הצירים, הראשית.

תרגול מודרך

איזה ציר אופקי?

  • ציר y
  • ציר x
  • שני הצירים

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מהן קואורדינטות הראשית?

  • (1, 1)
  • (0, 1)
  • (0, 0)

תשובה: __________________________________________________

2. קוראים את קנה המידה

המרחק בין שני סימונים סמוכים על ציר אינו תמיד יחידה אחת. קוראים את המספרים כדי לגלות כמה מייצג כל רווח. ייתכנו קני מידה שונים בשני הצירים, ולכן בודקים כל ציר בנפרד.

דוגמה: על ציר x כתוב 0, 2, 4, 6 ברווחים שווים. מה ערך הסימון הבא?

  1. בין סימונים סמוכים יש תוספת 2.
  2. לכן אחרי 6 מוסיפים 2 ומגיעים ל־8.

תרגול מודרך

הסימונים הם 0, 5, 10. כמה יחידות יש בכל רווח?

  • 5
  • 1
  • 10

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

על ציר מסומנים 0, 3, 6. מה ערך הסימון הרביעי?

  • 7
  • 9
  • 12

תשובה: __________________________________________________

3. בזוג סדור קוראים קודם x

קואורדינטות הן שני המספרים שמציינים מיקום. בזוג (x, y) קוראים את המספר השמאלי לפני הפסיק בתור x, ואת הימני בתור y. גם כשהמשפט בעברית, הסדר בתוך הזוג נשאר משמאל לימין.

דוגמה: מהם x ו־y בנקודה (2, 7)?

  1. קוראים את המספר הראשון משמאל: x = 2.
  2. קוראים את המספר השני: y = 7.

תרגול מודרך

בנקודה (4, 9), מהו y?

  • 4
  • 13
  • 9

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

איזו נקודה מקיימת x = 5 וגם y = 2?

  • (5, 2)
  • (2, 5)
  • (5, 5)

תשובה: __________________________________________________

4. הסימן קובע את הכיוון

מיקום נמדד מהראשית. ערך x חיובי מוביל ימינה ושלילי שמאלה; ערך y חיובי מוביל למעלה ושלילי למטה. המספר בלי הסימן קובע כמה יחידות נעים. מתחילים כל נקודה חדשה בראשית, לא בנקודה שסימנו קודם.

xy011(−3, 2)
דוגמה: (−3, 2). מהראשית הולכים 3 שמאלה ו־2 למעלה.

דוגמה: סמנו את (−3, 2).

  1. מהראשית נעים 3 יחידות שמאלה, כי x = −3.
  2. מכאן נעים 2 יחידות למעלה, כי y = 2.
  3. זהו המיקום של הנקודה (−3, 2).

תרגול מודרך

איך מגיעים מהראשית אל (−2, 4)?

  • 2 ימינה ו־4 למטה
  • 2 שמאלה ו־4 למעלה
  • 4 שמאלה ו־2 למעלה

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מהי הנקודה שנמצאת 5 ימינה ו־3 למטה מהראשית?

  • (−5, 3)
  • (3, −5)
  • (5, −3)

תשובה: __________________________________________________

5. החלפת סדר משנה מיקום

המספר הראשון והשני ממלאים תפקידים שונים. החלפתם בדרך כלל משנה גם את התנועה האופקית וגם את האנכית, ולכן מתקבלת נקודה אחרת. רק כשהמספרים שווים, החלפת הסדר אינה משנה את הזוג הסדור.

דוגמה: השוו בין (−2, 3) לבין (3, −2).

  1. הראשונה נמצאת 2 שמאלה ו־3 למעלה.
  2. השנייה נמצאת 3 ימינה ו־2 למטה.
  3. המספרים זהים אך התפקידים והסימנים בכל ציר שונים, ולכן אלה נקודות שונות.

תרגול מודרך

האם (1, 4) ו־(4, 1) הן אותה נקודה?

  • לא, ערכי x ו־y הוחלפו
  • כן, כי אלה אותם מספרים
  • כן, כי שניהם חיוביים

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

באיזה זוג החלפת הקואורדינטות לא משנה את הנקודה?

  • (2, −2)
  • (0, 5)
  • (−3, −3)

תשובה: __________________________________________________

6. מהם רביעים? מתחילים מימין למעלה

שני הצירים מחלקים את המישור לארבעה אזורים הנקראים רביעים. מתחילים ברביע הראשון, מימין למעלה, וממספרים נגד כיוון השעון: שני משמאל למעלה, שלישי משמאל למטה ורביעי מימין למטה. האותיות I, II, III, IV הן המספרים 1, 2, 3, 4 בספרות רומיות. בשני הרביעים העליונים y חיובי. ברביע הראשון גם x חיובי, ולכן הסימנים הם (+, +); ברביע השני x שלילי, ולכן הסימנים הם (−, +). נקודה על אחד הצירים אינה שייכת לאף רביע.

רביע ראשוןI · 1(+, +)רביע שניII · 2(−, +)רביע שלישיIII · 3(−, −)רביע רביעיIV · 4(+, −)xy0
מתחילים מימין למעלה וממספרים נגד כיוון השעון: I → II → III → IV. בכל זוג סימנים קוראים קודם x ואחר כך y. הצירים, כולל הראשית, אינם שייכים לאף רביע.

דוגמה: באיזה רבע נמצאת (−3, 2)?

  1. y = 2 חיובי, ולכן הנקודה בחצי העליון.
  2. x = −3 שלילי, ולכן היא משמאל לציר y.
  3. עליון ושמאלי הוא הרבע השני.

תרגול מודרך

באיזה רבע נמצאת (4, 6)?

  • רבע שני
  • רבע ראשון
  • רבע רביעי

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

איזו נקודה נמצאת ברבע השני?

  • (−5, 1)
  • (5, −1)
  • (5, 1)

תשובה: __________________________________________________

7. שני הרביעים התחתונים

ממשיכים בסדר המספור נגד כיוון השעון אל שני הרביעים התחתונים, שבהם y שלילי. הרביע השלישי נמצא משמאל למטה, ולכן x ו־y שליליים: (−, −). הרביע הרביעי נמצא מימין למטה, ולכן x חיובי ו־y שלילי: (+, −). בכל זוג סימנים הראשון מתייחס ל־x והשני ל־y. קודם בודקים שאין שיעור שערכו אפס, כי אז הנקודה על ציר ולא בתוך רביע.

רביע ראשוןI · 1(+, +)רביע שניII · 2(−, +)רביע שלישיIII · 3(−, −)רביע רביעיIV · 4(+, −)xy0
מתחילים מימין למעלה וממספרים נגד כיוון השעון: I → II → III → IV. בכל זוג סימנים קוראים קודם x ואחר כך y. הצירים, כולל הראשית, אינם שייכים לאף רביע.

דוגמה: באיזה רבע נמצאת (−4, −2)?

  1. x שלילי מצביע שמאלה.
  2. y שלילי מצביע למטה.
  3. שמאלה ולמטה הוא הרבע השלישי.

תרגול מודרך

מהם סימני הקואורדינטות ברבע הרביעי?

  • (−, −)
  • (−, +)
  • (+, −)

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

באיזה רבע נמצאת (−1, −7)?

  • רבע שני
  • רבע שלישי
  • רבע רביעי

תשובה: __________________________________________________

8. אפס מציב נקודה על ציר

כאשר y = 0 אין תזוזה אנכית, ולכן הנקודה על ציר x. כאשר x = 0 אין תזוזה אופקית, ולכן היא על ציר y. נקודות על הצירים, כולל הראשית, אינן שייכות לשום רבע.

דוגמה: היכן נמצאת (0, −4)?

  1. x = 0: נשארים על הקו האנכי שעובר בראשית.
  2. y = −4: יורדים 4 יחידות.
  3. הנקודה על ציר y ואינה באף רבע.

תרגול מודרך

היכן נמצאת (6, 0)?

  • על ציר x
  • על ציר y
  • ברבע הראשון

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

איזו נקודה אינה שייכת לאף רבע?

  • (−2, 3)
  • (1, −1)
  • (0, 5)

תשובה: __________________________________________________

9. מרחק על קו אופקי

כששתי נקודות בעלות אותו y, הן באותו גובה והקטע ביניהן אופקי. המרחק נקבע רק מהפרש ערכי x. לוקחים את הגודל החיובי של ההפרש, הנקרא ערך מוחלט, משום שמרחק אינו שלילי ואינו תלוי בכיוון ההליכה.

xy011AB
A = (−2, 3), B = (4, 3). המרחק האופקי הוא 6 יחידות.

דוגמה: מצאו את המרחק בין A = (−2, 3) ל־B = (4, 3).

  1. לשתי הנקודות y = 3, ולכן הקטע אופקי.
  2. מ־−2 עד 0 יש 2 יחידות, ומ־0 עד 4 עוד 4.
  3. AB = |4 − (−2)| = 6 יחידות.

תרגול מודרך

מה המרחק בין (1, 2) לבין (6, 2)?

  • 7
  • 5
  • 4

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מה המרחק בין (−5, 4) לבין (2, 4)?

  • 7
  • −7
  • 3

תשובה: __________________________________________________

10. מרחק על קו אנכי

כששתי נקודות בעלות אותו x, הן על אותו קו אנכי. כעת ערכי y הם שמשתנים, ולכן המרחק הוא הערך המוחלט של ההפרש ביניהם. לפני חיסור בודקים איזה ערך משותף, כדי לבחור את הציר הנכון.

דוגמה: מצאו מרחק בין (3, −2) לבין (3, 5).

  1. ערכי x זהים, ולכן הקטע אנכי.
  2. מחסרים את ערכי y: 5 − (−2) = 7.
  3. המרחק הוא 7 יחידות.

תרגול מודרך

מה המרחק בין (2, 1) לבין (2, 7)?

  • 2
  • 8
  • 6

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מה המרחק בין (−1, −6) לבין (−1, −2)?

  • −4
  • 4
  • 8

תשובה: __________________________________________________

11. שיקוף ביחס לציר x

שיקוף הוא מעבר לתמונת מראה, ולא מדידת מרחק. בשיקוף ביחס לציר x המיקום האופקי נשאר זהה, ואילו למעלה מתחלף בלמטה באותו מרחק מהציר. לכן x נשמר ורק סימן y מתהפך.

xy011(3, 2)(3, −2)
שיקוף ביחס לציר x: (3, 2) הופכת ל־(3, −2).

דוגמה: שקפו את (3, 2) ביחס לציר x.

  1. שומרים על x = 3, ולכן נשארים באותו מיקום ימינה.
  2. הנקודה 2 מעל הציר עוברת ל־2 מתחתיו: y = −2.
  3. הנקודה המשתקפת היא (3, −2).

תרגול מודרך

מה שיקוף (4, 5) ביחס לציר x?

  • (4, −5)
  • (−4, 5)
  • (−4, −5)

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מה שיקוף (−2, −6) ביחס לציר x?

  • (2, −6)
  • (2, 6)
  • (−2, 6)

תשובה: __________________________________________________

12. שיקוף ביחס לציר y

בשיקוף ביחס לציר y מחליפים ימין ושמאל ושומרים על הגובה. לכן סימן x מתהפך ו־y נשאר זהה. נקודה שנמצאת על ציר השיקוף נשארת במקומה, משום שהמרחק שלה מציר זה הוא אפס.

דוגמה: שקפו את (3, 4) ביחס לציר y.

  1. המיקום האנכי y = 4 נשמר.
  2. שלוש יחידות ימינה הופכות לשלוש שמאלה: x = −3.
  3. תמונת המראה היא (−3, 4).

תרגול מודרך

מה שיקוף (−5, 2) ביחס לציר y?

  • (−5, −2)
  • (5, 2)
  • (5, −2)

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מה שיקוף (0, −3) ביחס לציר y?

  • (0, −3)
  • (0, 3)
  • (−3, 0)

תשובה: __________________________________________________

דוגמה מסכמת

סמנו את A = (−2, 3) ואת B = (4, 3), ומצאו את המרחק ביניהן.

  1. לנקודה A נעים 2 שמאלה ו־3 למעלה. היא ברבע השני.
  2. לנקודה B נעים 4 ימינה ו־3 למעלה. היא ברבע הראשון.
  3. לשתי הנקודות y = 3, ולכן הקטע אופקי.
  4. המרחק הוא 4 − (−2) = 6 יחידות.

תרגול מסכם

שאלה 1

בנקודה (−5, 2), מה ערך x?

________________________________________________________

שאלה 2

באיזה רבע נמצאת (3, −2)? כתבו מספר רבע.

________________________________________________________

שאלה 3

מה ערך y בכל נקודה שעל ציר x?

________________________________________________________

שאלה 4

A = (2, −1), B = (2, 5). מה אורך AB?

________________________________________________________

שאלה 5

בנקודה (−4, 7), מה x?

________________________________________________________

שאלה 6

נקודה (3, −5) משתקפת ביחס לציר x. מה y החדש?

________________________________________________________

שאלה 7

מה המרחק בין (−3, 2) ל־(4, 2)?

________________________________________________________

שאלה 8

לנקודה על ציר y ערך y = 8. מה x שלה?

________________________________________________________

בדיקה עצמית

האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.