קליק · מתמטיקה

מעגל ועיגול: היקף ושטח

רדיוס וקוטר, היקף, שטח, יחידות, שאלות הפוכות וצורות מורכבות.

https://klikedu.app/learn/circles-measurement

1. מהמרכז לשפה: רדיוס וקוטר

מעגל הוא קו הגבול; עיגול כולל גם את התחום הפנימי. רדיוס r מחבר את המרכז לנקודה על המעגל. קוטר d מחבר שתי נקודות על המעגל ועובר במרכז, ולכן d = 2r. קטע שאינו עובר במרכז אינו קוטר, גם אם שני קצותיו על המעגל.

דוגמה: קוטר צלחת עגולה הוא 18 ס״מ. מהו הרדיוס?

  1. הקוטר מורכב משני רדיוסים שווים.
  2. לכן r = = 9 ס״מ.
  3. בדיקה: 2 × 9 = 18 ס״מ.
עיגול עם מרכז O, רדיוס OA וקוטר BC העובר ב־O; צבעים שונים, סימון OB = OC.
עיגול עם מרכז O, רדיוס OA וקוטר BC העובר ב־O; צבעים שונים, סימון OB = OC.

התרשים מתייחס לנתוני הדוגמה הפתורה; משתמשים בנתונים הכתובים ולא מודדים את התמונה.

תרגול מודרך

רדיוס עיגול הוא 7 ס״מ. מה קוטרו?

  • 14 ס״מ
  • 3.5 ס״מ
  • 49 ס״מ

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

קטע מחבר שתי נקודות על המעגל, אך אינו עובר במרכז. האם הוא קוטר?

  • כן, כל קטע כזה הוא קוטר
  • לא
  • רק אם הוא אופקי

תשובה: __________________________________________________

2. אורך השפה: היקף המעגל

היקף C הוא אורך הקו המקיף את העיגול. בכל מעגל = π. לכן C = πd = 2πr. המספר π אינו יחידת מידה; בקירוב הוא 3.14. תשובה כמו 10π ס״מ היא מדויקת, וקירוב יש לחשב רק כשמבקשים.

דוגמה: רדיוס גלגל הוא 5 ס״מ. מה היקפו המדויק, ומה הקירוב לפי π ≈ 3.14?

  1. d = 2 × 5 = 10 ס״מ.
  2. C = πd = 10π ס״מ.
  3. בקירוב: 10 × 3.14 = 31.4 ס״מ.

תרגול מודרך

קוטר מעגל הוא 8 ס״מ. מה ההיקף המדויק?

  • 8π ס״מ
  • 16π ס״מ
  • 64π ס״מ

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

רדיוס מעגל הוא 3 מ׳. מה היקפו המדויק?

  • 3π מ׳
  • 9π מ׳
  • 6π מ׳

תשובה: __________________________________________________

3. כמה מקום בפנים: שטח העיגול

שטח A מודד את הכיסוי שבתוך המעגל, ונמדד ביחידות מרובעות. נוסחת השטח היא A = πr². ריבוע הרדיוס פירושו r × r, ולא 2r. כשנתון קוטר, מחלקים אותו ב־2 לפני שמעלים בריבוע.

דוגמה: קוטר משטח עגול הוא 10 ס״מ. מה שטחו המדויק?

  1. הרדיוס הוא = 5 ס״מ.
  2. מחשבים r² = 5 × 5 = 25 סמ״ר.
  3. A = π × 25 = 25π סמ״ר.

תרגול מודרך

רדיוס עיגול 4 ס״מ. מה שטחו?

  • 8π סמ״ר
  • 16π סמ״ר
  • 4π סמ״ר

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

קוטר עיגול 6 מ׳. מה שטחו?

  • 36π מ״ר
  • 12π מ״ר
  • 9π מ״ר

תשובה: __________________________________________________

4. חוט או צבע? בחירת גודל ויחידות

חוט סביב שפה דורש היקף, וצבע המכסה משטח דורש שטח. תחילה מאחדים יחידות אורך. 1 מ׳ = 100 ס״מ, אבל 1 מ״ר = 10,000 סמ״ר, כי גם האורך וגם הרוחב מוכפלים ב־100.

דוגמה: שטח עיגול שרדיוסו 50 ס״מ דרוש במ״ר. כיצד מחשבים בלי לערבב יחידות?

  1. 50 ס״מ = 0.5 מ׳.
  2. A = π × 0.5² = 0.25π מ״ר.
  3. בדיקה בסנטימטרים: 2500π סמ״ר; חלוקה ב־10,000 נותנת 0.25π מ״ר.

תרגול מודרך

איזו יחידה מתאימה לאורך סרט סביב שולחן?

  • סמ״ק
  • סמ״ר
  • ס״מ

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

שטח עיגול הוא 20,000π סמ״ר. כמה מ״ר הם?

  • 2π מ״ר
  • 200π מ״ר
  • 20π מ״ר

תשובה: __________________________________________________

5. מההיקף או מהשטח בחזרה לרדיוס

כשנתון היקף, פותרים 2πr = C באמצעות חילוק ב־2π. כשנתון שטח, מחלקים ב־π ומוצאים את המספר החיובי שריבועו התוצאה. בדיקה בהצבה בנוסחה המקורית עוזרת לזהות בלבול בין רדיוס לקוטר.

דוגמה: שטח עיגול הוא 49π סמ״ר. מצאו רדיוס וקוטר.

  1. πr² = 49π, ולכן r² = 49.
  2. 7 × 7 = 49, ואורך חיובי, לכן r = 7 ס״מ.
  3. d = 2 × 7 = 14 ס״מ. בדיקה: π × 7² = 49π.

תרגול מודרך

היקף מעגל הוא 12π ס״מ. מה הרדיוס?

  • 12 ס״מ
  • 6 ס״מ
  • 3 ס״מ

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

שטח עיגול הוא 81π סמ״ר. מה קוטרו?

  • 9 ס״מ
  • 81 ס״מ
  • 18 ס״מ

תשובה: __________________________________________________

דוגמה מסכמת

קוטר צלחת עגולה הוא 18 ס״מ. מהו הרדיוס?

  1. הקוטר מורכב משני רדיוסים שווים.
  2. לכן r = = 9 ס״מ.
  3. בדיקה: 2 × 9 = 18 ס״מ.

תרגול מסכם

שאלה 1

קוטר עיגול הוא 18 ס״מ. מה הרדיוס בס״מ? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

שאלה 2

רדיוס מעגל הוא 5 ס״מ. היקפו הוא aπ ס״מ. מה a?

________________________________________________________

שאלה 3

קוטר עיגול 12 ס״מ. שטחו aπ סמ״ר. מה a?

________________________________________________________

שאלה 4

רדיוס חיצוני של טבעת 5 ס״מ ופנימי 3 ס״מ. שטחה aπ סמ״ר. מה a?

________________________________________________________

שאלה 5

שטח עיגול 49π סמ״ר. מה קוטרו בס״מ? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

שאלה 6

רדיוס עיגול גדל פי 3. פי כמה גדל השטח? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

בדיקה עצמית

האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.