נפח ושטח פנים: תיבה וקובייה

לתיבה יש שלושה ממדים: אורך, רוחב וגובה. פאה היא אחד המשטחים השטוחים שסוגרים את הגוף; לתיבה יש 6 פאות מלבניות.

מקצוע הוא קטע שבו שתי פאות נפגשות, וקודקוד הוא נקודת מפגש של מקצועות. קובייה היא תיבה מיוחדת: כל המקצועות שלה שווים באורכם וכל פאותיה ריבועים.

נסמן אורך באות l, רוחב באות w וגובה באות h. כשמכפילים אורכים, כולם חייבים להיות באותה יחידת אורך.

תרשים תלת־ממדי על דף הוא סכמטי: משתמשים במידות הכתובות, ולא מודדים אותו או מסיקים נפח ממה שנראה לעין. כאן נלמד רק תיבה וקובייה, לא את כל הגופים.

נפח הוא כמות המקום שגוף תופס במרחב. קוביית יחידה שמקצועה 1 ס״מ תופסת נפח של 1 סמ״ק, כלומר סנטימטר מעוקב: cm³.

שטח פנים הוא סכום השטחים של כל הפאות החיצוניות. מודדים אותו בריבועי יחידה: ריבוע שצלעו 1 ס״מ הוא בשטח 1 סמ״ר, כלומר סנטימטר רבוע: cm².

אורך נמדד בס״מ, שטח בסמ״ר ונפח בסמ״ק. הספרות הגבוהות 2 ו־3 מציינות כאן את סוג היחידה.

במטרים משתמשים בהתאמה במ״ר ובמ״ק. עטיפה של תיבה סגורה קשורה לשטח הפנים, בלי חפיפות או תוספות לחיתוך; המקום שהגוף תופס קשור לנפח.

אלה גדלים שונים, גם אם במקרה מתקבל אותו מספר.

בתיבה שכל מידותיה בס״מ שלמים אפשר לדמיין מילוי בקוביות יחידה. בשכבה שגובהה 1 ס״מ יש אורך כפול רוחב קוביות; מספר השכבות הוא הגובה בס״מ.

לכן כופלים אורך, רוחב וגובה. אם l הוא האורך, w הרוחב ו־h הגובה, הנפח מסומן V ומתקיים V = l × w × h.

לפעמים כותבים בקיצור V = lwh: אותיות צמודות כאן פירושן כפל. למשל, בתיבה שממדיה 4 ס״מ, 3 ס״מ ו־2 ס״מ יש 12 קוביות בכל שכבה ו־2 שכבות.

אין להסתפק בקוביות שנראות בציור. לפני חישוב ודאו שכל האורכים באותה יחידה; המרת יחידות אינה נלמדת ביחידה זו. אחרי הרעיון הזה אפשר לעצור ולתרגל מעט.

פריסה היא הצגה שטוחה של פאות הגוף, המחוברות כך שאפשר לקפל אותן לתיבה. אין חפיפה בין הפאות בפריסה הזאת.

בתיבה סגורה יש 3 זוגות של פאות נגדיות: עליונה ותחתונה, קדמית ואחורית, ימנית ושמאלית. בכל זוג המידות והשטח שווים.

שטח מלבן הוא אורך כפול רוחב. לכן פאה עליונה או תחתונה היא בשטח l × w; קדמית או אחורית בשטח l × h; ימנית או שמאלית בשטח w × h.

הצבעים והאותיות א, ב, ג בפריסה מסמנים זוגות נגדיים, ולא פאות סמוכות בהכרח. בפריסה, הקווים המקווקווים הם קווי קיפול.

סופרים גם את הפאה שתהיה מתחת לגוף אחרי הקיפול.

שטח הפנים של תיבה סגורה הוא סכום שטחי כל 6 הפאות. אפשר לחשב שטח של פאה אחת מכל זוג, לחבר שלושה שטחים, ואז לכפול ב־2.

נסמן שטח פנים SA. הנוסחה היא SA = 2 × (l × w + l × h + w × h), ובקיצור SA = 2(lw + lh + wh).

תחילה מחשבים את שלוש המכפלות, אחר כך מחברים בתוך הסוגריים, ולבסוף כופלים ב־2. המספר 2 סופר שתי פאות בכל זוג.

לא מחברים רק את הפאות שרואים באיור, ולא משתמשים בנוסחת נפח. כאן מחשבים תיבה סגורה עם כל שש הפאות; קופסה פתוחה ללא מכסה אינה אותו מקרה.

בקובייה כל המקצועות באותו אורך, שנקרא a. נפח הקובייה הוא a × a × a.

הכתיבה הקצרה a³ נקראת ״a בחזקת 3״: זו מכפלה של שלושה גורמים שכולם a, ולא כפל של a ב־3. שטח של פאה אחת הוא a × a, שנכתב בקיצור a².

יש 6 פאות ריבועיות שוות, לכן שטח הפנים הוא 6 × a × a, או 6a². מחשבים תחילה את הריבוע, ואחר כך כופלים ב־6.

קודם אפשר תמיד לחשב בכפל חוזר; אין צורך להכיר כללי חזקות אחרים. התוצאה של נפח נכתבת ביחידות מעוקבות, והתוצאה של שטח פנים ביחידות ריבועיות.

אם נפח התיבה ושניים מממדיה ידועים, אפשר למצוא את הממד השלישי. כופלים את שני האורכים הידועים, ואז מחלקים את הנפח במכפלה הזאת.

הסיבה: כפל בשלושת הממדים נותן את הנפח, וחילוק מבטל את הכפל בשני הממדים הידועים. למשל, לגובה חסר משתמשים ב־h = V(l × w).

אם הרוחב חסר, מחלקים באורך כפול גובה. כאן כל המידות חיוביות, באותן יחידות מתאימות, והתוצאה שלמה.

התוצאה היא אורך בס״מ או במטרים, ולא שטח או נפח. בודקים בכפל של שלושת הממדים עם התשובה שמצאנו.

מציאת מקצוע קובייה באמצעות שורש או מציאת ממד מתוך שטח פנים יילמדו בנפרד.