מערכות משוואות — הצבה וחיבור
פותרים שתי משוואות בשני נעלמים ובודקים את הזוג הסדור בשתיהן.
כ־5–10 דקות לכל רעיון · אפשר לעצור ולחזור
תצוגה וקישורים נוספים
לומדים בקצב שלכם: מבינים את הרעיון, רואים דוגמה ואז מנסים לבד.
שיתוף וכלים למורה
הדפסה ושיתוף
אפשר לקבל סיכום כתמונה
- משתפים קישור ליחידה ומבקשים להשלים את התרגול המסכם.
- בסיום, התלמידים פותחים ״לסיכום התרגול״ ובוחרים ״שמירת הסיכום כתמונה״. אפשר גם לצלם את הכרטיס.
- שולחים למורה בדרך שנקבעה בכיתה, מחוץ לאתר.
בתרגול הרגיל לא צריך חשבון תלמיד. התוצאות שלו אינן נשלחות אוטומטית לאזור המורים. פעילות כיתתית נפרדת מציגה את המידע שהיא משתפת לפני ההצטרפות.
מה רואים בסיכום?
היחידה, רמת התרגול ומספר התשובות הנכונות בניסיון הראשון ללא עזרה. זהו סיכום מקומי של סבב תרגול, לא ציון מבחן או אישור לשליטה בחומר. הסיכום אינו מאמת מי פתר את התרגילים.
הכרטיס מופיע בתרגול המסכם של היחידה, לא בכל שאלה קצרה או פעילות מודרכת. אין צורך להזין שמות תלמידים באתר.
משימה ממוקדת וקצב שיעור
תכנון זמן מקומי לשיעור
0:00
בדיקת יציאה: בקשו להסביר רעיון אחד ולציין מה עדיין דורש עזרה. הטיימר אינו עוצר את התלמידים ואינו מסמן השלמה.
אין כאן רשימת תלמידים, איסוף תשובות או דוח כיתה. הבחירות והשעון נשארים בדף הזה; רק הקישור שבחרתם מועתק לשיתוף.
לומדים צעד אחר צעד
רואים דוגמה, מבינים את הרעיון ומנסים כאן. כשמוכנים, ממשיכים לרעיון הבא.
מפת הרעיונות ושיתוף — מעבר ישיר
רעיון 1 מתוך 15
פתרון הוא זוג מסודר
רואים איך: איך קוראים את הפתרון (4, 3)?
הזוג (4, 3): x = 4, y = 3.
המיקום האופקי שייך ל־x, והאנכי ל־y.
בפתרון (4, 3), הערך של x הוא 4 ושל y הוא 3. שני הערכים שייכים לאותו זוג.
אין להחליף את סדר הערכים. הזוג עדיין צריך להיבדק בכל משוואות המערכת.
איך פותרים — כל השלבים
המקום הראשון שייך ל־x, לכן x = 4.
המקום השני שייך ל־y, לכן y = 3.
למשל בביטוי 2x + y נקבל 2 × 4 + 3 = 11.
להסבר המלא ולמושגים
במערכת עם x ו־y צריך למצוא שני מספרים. כותבים אותם כזוג מסודר (x, y): הראשון מחליף את x והשני את y.
סדר המספרים חשוב, משום שלכל נעלם תפקיד משלו. מציאת מספר אחד בלבד עדיין אינה תשובה מלאה למערכת.
שאלה 1 מתוך 2
מנסים עם הכוונה
אפשר להיעזר בדוגמה שמעל. הרמז והפתרון נפתחים ליד השאלה.
הגעתם לרעיון האחרון ביחידה. אם ניסיתם ואתם מבינים את הדרך, אפשר לסמן שסיימתם.
העמקה קצרה — נימוק והעברה
לבחירה אחרי היכרות עם הרעיון. כל כרטיס נפתח בתוך מקומו ביחידה; התשובות אינן נשמרות או מדורגות.
אפשר לעצור כאן ולחזור לרעיון הזה מדף הבית, באותו דפדפן.
איך חוזרים לכאן?
לא חייבים לסיים את כל היחידה היום. הרעיון האחרון נשמר בדפדפן ובכתובת האתר האלה — ללא סימון השלמה. אפשר לחזור אליו מדף הבית. סימניית הרעיון אינה כלולה בקוד העברת ההתקדמות.
מחברים הכול ומנסים לבד
תרגול מסכם של הרעיונות שלמדנו — ואז בדיקה קצרה של הדרך.
טוענים את כלי התרגול…
טוענים את כלי התרגול…
לפני שממשיכים
נסו להסביר בקול את הדרך בלי להציץ. אם משהו עוד לא ברור, חזרו לדוגמה הפתורה.
עוד דרכים לחזק את ההבנה
לבחירה: דוגמאות נוספות, חומר לעיון ותשובות. התרגול המסכם נמצא למעלה.
דוגמאות נוספות ופתרון מודרך
פתרו את המערכת: 2x + y = 11 וגם x − y = 1.
קראו שלב, עצרו ונסו לחשוב מה בא אחריו.
- מחברים את המשוואות: 3x = 12.
עוד דרך להבין
דוגמה נוספת: צריך לכפול לפני שמחברים
קראו שלב, עצרו ונסו לחשוב מה בא אחריו.
- נתונות 2x + 3y = 13 וגם 3x − 2y = 0.
טוענים את כלי התרגול…
סיכומים, הסברי פרקים, מושגים וסימנים
הסברי הפרקים לעיון
לפני החוקים — מבינים את הרעיון
למה לומדים את זה?
מערכת משוואות מתארת כמה תנאים שחייבים להתקיים יחד. זוג מספרים שפותר רק משוואה אחת אינו בהכרח פתרון המערכת. הצבה וחיבור הן דרכים לצמצם את מספר הנעלמים בלי לאבד את הקשרים.
דוגמה והכוונה לפני התרגול
איך זה נראה במצב אמיתי?
אם סכום שני מספרים הוא 9 וההפרש ביניהם הוא 3, הזוג 6 ו־3 מתאים לשני התנאים. הזוג 5 ו־4 מתאים לסכום בלבד. לכן בודקים בסוף בשתי המשוואות.
על מה חושבים לפני שמתחילים?
חפשו נעלם שקל לבודד, או מקדמים שאפשר לבטל בחיבור. לאחר שמצאתם נעלם אחד, חזרו למשוואה ומצאו גם את האחר. תשובה מלאה מתארת את שניהם.
לומדים בקצב שלכם. כל פרק מוסיף עוד חלק לתמונה; אפשר גם לפתוח את ההסבר המלא.
מהו פתרון של מערכת?
במערכת יש כמה תנאים שצריכים להתקיים יחד. זוג המספרים x ו־y הוא פתרון רק אם הוא מקיים את שתי המשוואות. פתרון של משוואה אחת בלבד אינו מספיק.
עוד רגע של הבנה
כל משוואה היא תנאי. הפתרון המשותף חייב לעבור את שני התנאים באותו זוג ערכים.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
שיטת ההצבה
מבודדים נעלם במשוואה שבה זה נוח, ואז מחליפים אותו בביטוי שקיבלנו במשוואה האחרת. כך מתקבלת משוואה עם נעלם אחד. אחרי שמוצאים אותו חוזרים למשוואה פשוטה ומוצאים את הנעלם השני.
עוד רגע של הבנה
בהצבה מחליפים נעלם בביטוי ששווה לו. אם הביטוי כולל חיסור או חיבור, סוגריים שומרים עליו כיחידה אחת.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
שיטת החיבור
יוצרים מקדמים נגדיים לאחד הנעלמים. מותר לכפול משוואה שלמה במספר שאינו אפס. מחברים את האגפים בהתאמה; הנעלם עם המקדמים הנגדיים מתבטל. כופלים את כל האיברים, גם את אגף ימין.
עוד רגע של הבנה
בחיבור משוואות מחברים אגף שמאל לשמאל וימין לימין. מקדמים נגדיים מבטלים נעלם.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
פתרון יחיד, אין פתרון או אינסוף פתרונות
אם אחרי ביטול הנעלמים מתקבלת סתירה, כמו 0 = 5, אין פתרון. אם מתקבלת זהות ושתי המשוואות מתארות אותו קשר, יש אינסוף פתרונות. במערכת רגילה שאינה תלויה מתקבל זוג אחד.
עוד רגע של הבנה
משוואות שקולות מתארות אותו קו של פתרונות, ולכן אינן מוסיפות תנאי עצמאי. שוויון שקרי לאחר צמצום מציין סתירה.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
איזו שיטת פתרון לבחור?
אם אחד הנעלמים כבר מבודד, הצבה בדרך כלל חוסכת עבודה: מחליפים אותו בביטוי השווה לו במשוואה השנייה. אם המקדמים של נעלם אחד זהים או נגדיים, חיבור או חיסור יכולים לבטל אותו במהירות.
מותר לכפול משוואה במספר שאינו אפס, אך צריך לכפול כל איבר בשני האגפים. בחירת השיטה היא שיקול של נוחות; שתי השיטות צריכות להוביל לאותו זוג פתרונות.
עוד רגע של הבנה
בחירת שיטה נועדה לחסוך עבודה. כאשר מקדמים כבר נגדיים, חיבור מבטל נעלם מיד.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
למה מספר אחד אינו תשובה מלאה?
מערכת בשני נעלמים מבקשת זוג מספרים שמתאים לשתי המשוואות יחד. אחרי שמצאתם נעלם אחד, מציבים אותו באחת המשוואות כדי למצוא את השני.
לבסוף בודקים את הזוג בשתי המשוואות המקוריות. מבחינה גרפית, פתרון יחיד הוא נקודת מפגש של שני ישרים; ישרים מקבילים שונים אינם נפגשים, וישרים חופפים מתארים אינסוף זוגות משותפים.
עוד רגע של הבנה
מציאת x היא תחנת ביניים. צריך להחזירו לאחד התנאים כדי למצוא y, ואז לבדוק את הזוג.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
תשובות לתרגול המסכם
כל התשובות וההסברים
אחרי שמנסים לבד, בודקים גם את הדרך.
שאלה 1 — פתיחת התשובה
x + y = 9 וגם x − y = 3. מה x?
- נחבר את המשוואות כדי לבטל את y: (x + y) + (x − y) = 9 + 3.
- נקבל 2x = 12. נחלק ב־2: x = 6.
- נציב בראשונה: 6 + y = 9, לכן y = 3.
- בדיקה בשנייה: 6 − 3 = 3. שני התנאים מתקיימים.
התשובה: 6
שאלה 2 — פתיחת התשובה
y = 2x וגם x + y = 12. מה y?
- שיטת הצבה: נתון y = 2x, ולכן נחליף y במשוואה השנייה ב־2x.
- x + 2x = 12, כלומר 3x = 12.
- מחלקים ב־3: x = 4. השאלה מבקשת y: y = 2 × 4 = 8.
- בדיקה: 4 + 8 = 12 וגם 8 = 2 × 4.
התשובה: 8
שאלה 3 — פתיחת התשובה
2x + y = 10 וגם x + y = 7. מה x?
- נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה כדי לבטל את y.
- (2x + y) − (x + y) = 10 − 7.
- איברי y מתבטלים ומתקבל x = 3.
- נציב: 3 + y = 7, לכן y = 4. בדיקה בראשונה: 2 × 3 + 4 = 10.
התשובה: 3
שאלה 4 — פתיחת התשובה
x + y = 4 וגם x + y = 7. כמה פתרונות יש?
- אותו ביטוי x + y נדרש להיות גם 4 וגם 7.
- נחסר את המשוואות: (x + y) − (x + y) = 4 − 7.
- נקבל 0 = −3, טענה שאינה נכונה.
- אין זוג שמקיים את שתיהן, ולכן מספר הפתרונות 0.
התשובה: 0
שאלה 5 — פתיחת התשובה
x + y = 11 וגם x = 4. מה y?
- מציבים את x הנתון: 4 + y = 11.
- מחסרים 4 משני האגפים: y = 11 − 4 = 7.
- בדיקה: 4 + 7 = 11.
התשובה: 7
שאלה 6 — פתיחת התשובה
x + y = 10 וגם x − y = 4. מה x?
- מחברים כדי לבטל את y: (x + y) + (x − y) = 10 + 4.
- 2x = 14, ולכן x = = 7.
- בהצבה: y = 10 − 7 = 3.
- בדיקה: 7 − 3 = 4.
התשובה: 7
שאלה 7 — פתיחת התשובה
2x + y = 13 וגם x − y = 2. מה y?
- מחברים את המשוואות: (2x + y) + (x − y) = 13 + 2.
- איברי y מתבטלים: 3x = 15, ולכן x = 5.
- מהמשוואה השנייה: 5 − y = 2. מוסיפים y ומחסרים 2: y = 3.
- בדיקה בראשונה: 2 × 5 + 3 = 13.
התשובה: 3
שאלה 8 — פתיחת התשובה
x + y = 3 וגם 2x + 2y = 8. כמה פתרונות? כתבו מספר.
- כופלים את כל המשוואה הראשונה ב־2: 2x + 2y = 6.
- המשוואה השנייה דורשת שאותו אגף יהיה 8.
- בחיסור נקבל 0 = 2, סתירה.
- לכן אין פתרון; מספר הפתרונות הוא 0.
התשובה: 0
משהו לא ברור? מכינים שאלה למורה
כתבו איזו שאלה או איזה שלב בלבלו אתכם. נכין הודעה עם קישור שתוכלו לשלוח למורה.
ההודעה לא נשלחת אוטומטית ולא נשמרת באתר.