משפחת המרובעים: תכונות והוכחות
מקבילית, מלבן, מעוין, ריבוע וטרפז: הגדרות, תכונות, זיהוי והוכחות.
כ־5–10 דקות לכל רעיון · אפשר לעצור ולחזור
תצוגה וקישורים נוספים
לומדים בקצב שלכם: מבינים את הרעיון, רואים דוגמה ואז מנסים לבד.
שיתוף וכלים למורה
הדפסה ושיתוף
אפשר לקבל סיכום כתמונה
- משתפים קישור ליחידה ומבקשים להשלים את התרגול המסכם.
- בסיום, התלמידים פותחים ״לסיכום התרגול״ ובוחרים ״שמירת הסיכום כתמונה״. אפשר גם לצלם את הכרטיס.
- שולחים למורה בדרך שנקבעה בכיתה, מחוץ לאתר.
בתרגול הרגיל לא צריך חשבון תלמיד. התוצאות שלו אינן נשלחות אוטומטית לאזור המורים. פעילות כיתתית נפרדת מציגה את המידע שהיא משתפת לפני ההצטרפות.
מה רואים בסיכום?
היחידה, רמת התרגול ומספר התשובות הנכונות בניסיון הראשון ללא עזרה. זהו סיכום מקומי של סבב תרגול, לא ציון מבחן או אישור לשליטה בחומר. הסיכום אינו מאמת מי פתר את התרגילים.
הכרטיס מופיע בתרגול המסכם של היחידה, לא בכל שאלה קצרה או פעילות מודרכת. אין צורך להזין שמות תלמידים באתר.
משימה ממוקדת וקצב שיעור
תכנון זמן מקומי לשיעור
0:00
בדיקת יציאה: בקשו להסביר רעיון אחד ולציין מה עדיין דורש עזרה. הטיימר אינו עוצר את התלמידים ואינו מסמן השלמה.
אין כאן רשימת תלמידים, איסוף תשובות או דוח כיתה. הבחירות והשעון נשארים בדף הזה; רק הקישור שבחרתם מועתק לשיתוף.
לומדים צעד אחר צעד
רואים דוגמה, מבינים את הרעיון ומנסים כאן. כשמוכנים, ממשיכים לרעיון הבא.
מפת הרעיונות ושיתוף — מעבר ישיר
רעיון 1 מתוך 6
מרובעים: הגדרות ושייכות למשפחות
רואים איך: במרובע ABCD נתונות הזוויות 80°, 100°, 70° בקודקודים A,B,C. מצאו את D. האם הנתונים לבדם מראים שזה מלבן?
כל ארבע הזוויות הן זוויות פנימיות במרובע קמור. האלכסון מחלק אותו לשני משולשים.
כבר נתונה זווית שאינה 90°; לכן המרובע אינו מלבן. לא ממיינים על פי מראה בלבד.
אלכסון מחלק מרובע קמור לשני משולשים. לכן ארבע זוויותיו משלימות ל־360°; צורת השרטוט אינה מחליפה הגדרה.
הדיון הוא במרובעים קמורים שצלעותיהם אינן מצטלבות.
מלבן דורש ארבע זוויות ישרות; מעוין דורש ארבע צלעות שוות. ריבוע מקיים את שתי ההגדרות.
כאן טרפז מוגדר כבעל זוג אחד בלבד של צלעות נגדיות מקבילות; מקבילית אינה טרפז לפי הגדרה זו.
איך פותרים — כל השלבים
מחלקים בדמיון באלכסון AC לשני משולשים, ולכן סכום הזוויות 360°.
∠D = 360° − (80° + 100° + 70°) = 110°.
זה אינו מלבן: כבר נתונה זווית שאינה ישרה. אין למיין לפי צורת השרטוט.
להסבר המלא ולמושגים
במסלול זה עוסקים במרובעים קמורים: ארבעה קודקודים שונים לפי סדר ההיקף, צלעות שאינן מצטלבות וכל זווית פנימית קטנה מ־180°. סכום הזוויות הוא 360°, כי אלכסון מחלק לשני משולשים.
מקבילית היא מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילים. מלבן הוא מרובע בעל ארבע זוויות ישרות; מעוין הוא מרובע בעל ארבע צלעות שוות; ריבוע מקיים את שתי ההגדרות.
לכן ריבוע הוא גם מלבן, גם מעוין וגם מקבילית. כאן טרפז מוגדר כבעל זוג אחד בלבד של צלעות נגדיות מקבילות; הגדרה זו מוציאה מקביליות ממשפחת הטרפזים.
שאלה 1 מתוך 2
מנסים עם הכוונה
אפשר להיעזר בדוגמה שמעל. הרמז והפתרון נפתחים ליד השאלה.
הגעתם לרעיון האחרון ביחידה. אם ניסיתם ואתם מבינים את הדרך, אפשר לסמן שסיימתם.
העמקה קצרה — נימוק והעברה
לבחירה אחרי היכרות עם הרעיון. כל כרטיס נפתח בתוך מקומו ביחידה; התשובות אינן נשמרות או מדורגות.
אפשר לעצור כאן ולחזור לרעיון הזה מדף הבית, באותו דפדפן.
איך חוזרים לכאן?
לא חייבים לסיים את כל היחידה היום. הרעיון האחרון נשמר בדפדפן ובכתובת האתר האלה — ללא סימון השלמה. אפשר לחזור אליו מדף הבית. סימניית הרעיון אינה כלולה בקוד העברת ההתקדמות.
מחברים הכול ומנסים לבד
תרגול מסכם של הרעיונות שלמדנו — ואז בדיקה קצרה של הדרך.
טוענים את כלי התרגול…
טוענים את כלי התרגול…
לפני שממשיכים
נסו להסביר בקול את הדרך בלי להציץ. אם משהו עוד לא ברור, חזרו לדוגמה הפתורה.
עוד דרכים לחזק את ההבנה
לבחירה: דוגמאות נוספות, חומר לעיון ותשובות. התרגול המסכם נמצא למעלה.
דוגמאות נוספות ופתרון מודרך
במרובע ABCD נתונות הזוויות 80°, 100°, 70° בקודקודים A,B,C. מצאו את D. האם הנתונים לבדם מראים שזה מלבן?
קראו שלב, עצרו ונסו לחשוב מה בא אחריו.
- מחלקים בדמיון באלכסון AC לשני משולשים, ולכן סכום הזוויות 360°.
עוד דרך להבין
במקבילית ABCD נתון AB = 7 ס״מ, BC = 4 ס״מ ו־∠A = 65°. מצאו את ההיקף ואת שאר הזוויות.
קראו שלב, עצרו ונסו לחשוב מה בא אחריו.
- CD = AB = 7 ו־AD = BC = 4, ולכן ההיקף 7 + 4 + 7 + 4 = 22 ס״מ.
סיכומים, הסברי פרקים, מושגים וסימנים
הסברי הפרקים לעיון
לומדים בקצב שלכם. כל פרק מוסיף עוד חלק לתמונה; אפשר גם לפתוח את ההסבר המלא.
מרובעים: הגדרות ושייכות למשפחות
במסלול זה עוסקים במרובעים קמורים: ארבעה קודקודים שונים לפי סדר ההיקף, צלעות שאינן מצטלבות וכל זווית פנימית קטנה מ־180°. סכום הזוויות הוא 360°, כי אלכסון מחלק לשני משולשים.
מקבילית היא מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילים. מלבן הוא מרובע בעל ארבע זוויות ישרות; מעוין הוא מרובע בעל ארבע צלעות שוות; ריבוע מקיים את שתי ההגדרות.
לכן ריבוע הוא גם מלבן, גם מעוין וגם מקבילית. כאן טרפז מוגדר כבעל זוג אחד בלבד של צלעות נגדיות מקבילות; הגדרה זו מוציאה מקביליות ממשפחת הטרפזים.
מקבילית: צלעות וזוויות נגדיות
במקבילית ABCD מתקיים AB ∥ CD וגם AD ∥ BC. צלעות נגדיות שוות: AB = CD, AD = BC.
זוויות נגדיות שוות, וזוויות סמוכות משלימות ל־180° בגלל ישרים מקבילים. ניתן להוכיח את שוויון הצלעות בעזרת האלכסון AC: שתי זוויות מתחלפות שוות והצלע AC משותפת, ולכן המשולשים ABC ו־CDA חופפים לפי זווית־צלע־זווית.
משתמשים בתכונות רק אחרי שהמקבילית נתונה או הוכחה.
מלבן: מה ידוע על האלכסונים?
מלבן הוא מקבילית בעלת זווית ישרה, ולכן כל זוויותיו ישרות. כמו בכל מקבילית, האלכסונים חוצים זה את זה; בנוסף, במלבן הם שווים.
אם AC ו־BD נפגשים ב־O, אז AO = OC, BO = OD וגם AC = BD. לכן כל ארבעת חצאי האלכסונים שווים.
אין להסיק שהאלכסונים מאונכים: זה נכון בריבוע, אבל לא בכל מלבן.
מעוין וריבוע: צלעות ואלכסונים
מעוין הוא מרובע שכל צלעותיו שוות. הוא גם מקבילית, ולכן האלכסונים חוצים זה את זה.
במעוין האלכסונים מאונכים, וכל אלכסון חוצה את הזוויות בקצותיו. האלכסונים אינם חייבים להיות שווים.
ריבוע הוא מעוין בעל זווית ישרה, ולכן מתקיימות בו גם תכונות המלבן: אלכסונים שווים, מאונכים וחוצים זה את זה. חציית זווית מתייחסת לאלכסון היוצא מאותו קודקוד.
טרפז ושווה־שוקיים: בסיסים וזוויות
בטרפז ABCD שבו AB ∥ CD ורק זוג זה מקביל, AB ו־CD הם הבסיסים, ו־AD ו־BC הן השוקיים. זוויות הסמוכות לאותה שוק משלימות ל־180°: ∠A + ∠D = 180° ו־∠B + ∠C = 180°.
בטרפז שווה־שוקיים AD = BC, זוויות ליד כל בסיס שוות: ∠A = ∠B, ∠D = ∠C. גם האלכסונים שווים, אך בדרך כלל אינם חוצים זה את זה.
מזהים סוג מרובע בעזרת תנאי מספיק
תכונה מתארת מה נובע מסוג המרובע; משפט זיהוי נותן תנאי שמספיק להוכיח את הסוג. במרובע קמור, שני זוגות צלעות נגדיות שוות מספיקים להוכחת מקבילית.
מקבילית בעלת אלכסונים שווים היא מלבן; מקבילית בעלת שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין. ארבע צלעות שוות לבדן אינן מספיקות לריבוע: דרושה גם זווית ישרה, או תנאי שקול.
זווית ישרה אחת במרובע כללי אינה מספיקה למלבן.
תשובות לתרגול המסכם
כל התשובות וההסברים
אחרי שמנסים לבד, בודקים גם את הדרך.
שאלה 1 — פתיחת התשובה
במקבילית זווית אחת 70°. מהי הזווית הסמוכה במעלות? כתבו מספר בלבד.
- 180 − 70 = 110°.
התשובה: 110
שאלה 2 — פתיחת התשובה
צלעות סמוכות במקבילית באורך 4 ו־7 ס״מ. מה ההיקף בס״מ? כתבו מספר בלבד.
- 2 × (4 + 7) = 22 ס״מ.
התשובה: 22
שאלה 3 — פתיחת התשובה
במלבן ABCD האלכסונים נפגשים ב־O ו־AC = 14 ס״מ. מהו BO בס״מ? כתבו מספר בלבד.
- BD = AC = 14 ולכן BO = 7 ס״מ.
התשובה: 7
שאלה 4 — פתיחת התשובה
במעוין ABCD זווית A היא 100°. מהי ∠BAC במעלות? כתבו מספר בלבד.
- = 50°.
התשובה: 50
שאלה 5 — פתיחת התשובה
בטרפז שווה־שוקיים ABCD נתון AB ∥ CD ו־∠A = 65°. מהי ∠C במעלות? כתבו מספר בלבד.
- ∠B = 65°, ולכן ∠C = 180° − 65° = 115°.
התשובה: 115
שאלה 6 — פתיחת התשובה
כמה זוגות של צלעות נגדיות מקבילות יש במקבילית? כתבו מספר בלבד.
- שני זוגות הצלעות הנגדיות מקבילים.
התשובה: 2
משהו לא ברור? מכינים שאלה למורה
כתבו איזו שאלה או איזה שלב בלבלו אתכם. נכין הודעה עם קישור שתוכלו לשלוח למורה.
ההודעה לא נשלחת אוטומטית ולא נשמרת באתר.