דלתון — תכונות, אלכסונים ושטח
מזהים את האלכסון הראשי ומשתמשים בתכונות הדלתון בלי להניח דברים שלא נתונים.
כ־5–10 דקות לכל רעיון · אפשר לעצור ולחזור
תצוגה וקישורים נוספים
לומדים בקצב שלכם: מבינים את הרעיון, רואים דוגמה ואז מנסים לבד.
שיתוף וכלים למורה
הדפסה ושיתוף
אפשר לקבל סיכום כתמונה
- משתפים קישור ליחידה ומבקשים להשלים את התרגול המסכם.
- בסיום, התלמידים פותחים ״לסיכום התרגול״ ובוחרים ״שמירת הסיכום כתמונה״. אפשר גם לצלם את הכרטיס.
- שולחים למורה בדרך שנקבעה בכיתה, מחוץ לאתר.
בתרגול הרגיל לא צריך חשבון תלמיד. התוצאות שלו אינן נשלחות אוטומטית לאזור המורים. פעילות כיתתית נפרדת מציגה את המידע שהיא משתפת לפני ההצטרפות.
מה רואים בסיכום?
היחידה, רמת התרגול ומספר התשובות הנכונות בניסיון הראשון ללא עזרה. זהו סיכום מקומי של סבב תרגול, לא ציון מבחן או אישור לשליטה בחומר. הסיכום אינו מאמת מי פתר את התרגילים.
הכרטיס מופיע בתרגול המסכם של היחידה, לא בכל שאלה קצרה או פעילות מודרכת. אין צורך להזין שמות תלמידים באתר.
משימה ממוקדת וקצב שיעור
תכנון זמן מקומי לשיעור
0:00
בדיקת יציאה: בקשו להסביר רעיון אחד ולציין מה עדיין דורש עזרה. הטיימר אינו עוצר את התלמידים ואינו מסמן השלמה.
אין כאן רשימת תלמידים, איסוף תשובות או דוח כיתה. הבחירות והשעון נשארים בדף הזה; רק הקישור שבחרתם מועתק לשיתוף.
לומדים צעד אחר צעד
רואים דוגמה, מבינים את הרעיון ומנסים כאן. כשמוכנים, ממשיכים לרעיון הבא.
מפת הרעיונות ושיתוף — מעבר ישיר
רעיון 1 מתוך 17
מהו דלתון?
רואים איך: האם AB = AD ו־CB = CD מתארים שני זוגות נפרדים?
סמנו את הזוגות הנתונים, ואז בדקו מה נובע מהם.
לא מוסיפים שוויונות שלא ניתנו או הוכחו.
בדלתון יש שני זוגות נפרדים של צלעות סמוכות שוות: AB = AD וגם CB = CD.
שוויון כל זוג מסומן במפורש. אין להסיק שכל ארבע הצלעות שוות.
איך פותרים — כל השלבים
AB ו־AD נפגשות ב־A ואורכיהן שווים.
CB ו־CD נפגשות ב־C ואורכיהן שווים.
ארבע הצלעות מופיעות פעם אחת בשני הזוגות, ולכן ההגדרה מתקיימת.
להסבר המלא ולמושגים
דלתון הוא מרובע בעל שני זוגות נפרדים של צלעות סמוכות שוות. צלעות סמוכות נפגשות בקודקוד אחד. בשרטוט: AB = AD וגם CB = CD. כל צלע שייכת לזוג אחד בלבד.
שאלה 1 מתוך 2
מנסים עם הכוונה
אפשר להיעזר בדוגמה שמעל. הרמז והפתרון נפתחים ליד השאלה.
הגעתם לרעיון האחרון ביחידה. אם ניסיתם ואתם מבינים את הדרך, אפשר לסמן שסיימתם.
העמקה קצרה — נימוק והעברה
לבחירה אחרי היכרות עם הרעיון. כל כרטיס נפתח בתוך מקומו ביחידה; התשובות אינן נשמרות או מדורגות.
אפשר לעצור כאן ולחזור לרעיון הזה מדף הבית, באותו דפדפן.
איך חוזרים לכאן?
לא חייבים לסיים את כל היחידה היום. הרעיון האחרון נשמר בדפדפן ובכתובת האתר האלה — ללא סימון השלמה. אפשר לחזור אליו מדף הבית. סימניית הרעיון אינה כלולה בקוד העברת ההתקדמות.
מחברים הכול ומנסים לבד
תרגול מסכם של הרעיונות שלמדנו — ואז בדיקה קצרה של הדרך.
טוענים את כלי התרגול…
טוענים את כלי התרגול…
לפני שממשיכים
נסו להסביר בקול את הדרך בלי להציץ. אם משהו עוד לא ברור, חזרו לדוגמה הפתורה.
עוד דרכים לחזק את ההבנה
לבחירה: דוגמאות נוספות, חומר לעיון ותשובות. התרגול המסכם נמצא למעלה.
דוגמאות נוספות ופתרון מודרך
בדלתון ABCD האלכסון AC הוא 12 ס״מ. O היא נקודת מפגש האלכסונים ו־BO = 4. מצאו שטח.
קראו שלב, עצרו ונסו לחשוב מה בא אחריו.
- AC הוא הראשי, ולכן הוא חוצה את BD.
עוד דרך להבין
דוגמה נוספת: זווית שנחצית
קראו שלב, עצרו ונסו לחשוב מה בא אחריו.
- בדלתון AB = AD וגם CB = CD, ולכן AC הוא הראשי.
המחשות, משחקים וסדנאות
טוענים את כלי התרגול…
טוענים את כלי התרגול…
סיכומים, הסברי פרקים, מושגים וסימנים
הסברי הפרקים לעיון
לפני החוקים — מבינים את הרעיון
למה לומדים את זה?
דלתון אינו רק צורה שנראית כמו עפיפון. ההגדרה שלו היא שני זוגות של צלעות סמוכות שוות. מההגדרה נובעות תכונות של האלכסונים והזוויות, וכל תכונה עוזרת לענות על סוג אחר של שאלה.
דוגמה והכוונה לפני התרגול
איך זה נראה במצב אמיתי?
אם AB = AD וגם CB = CD, ידיעת AB מאפשרת למצוא את AD, אבל אינה קובעת את CB. תחילה עובדים על זוגות הצלעות ועל ההיקף; רק אחרי שמבינים את האלכסונים אפשר להשתמש בהם לחישוב שטח.
על מה חושבים לפני שמתחילים?
בכל תרגיל סמנו מה נתון ומה מבקשים. לא צריך להשתמש בכל התכונות יחד. המסלול כאן מפריד בין צלעות, היקף, אלכסונים, זוויות, שטח ולבסוף שילוב עם פיתגורס.
לומדים בקצב שלכם. כל פרק מוסיף עוד חלק לתמונה; אפשר גם לפתוח את ההסבר המלא.
מה מגדיר דלתון?
דלתון הוא מרובע בעל שני זוגות נפרדים של צלעות סמוכות שוות: AB = AD וגם CB = CD. כל צלע שייכת לזוג אחד.
בדלתון הקמור המצויר, האלכסון BD מחלק את הדלתון לשני משולשים שווי שוקיים, ABD ו־CBD, בעלי בסיס משותף BD. השוקיים של כל משולש שוות זו לזו; השוקיים של שני המשולשים אינן חייבות להיות באותו אורך.
גם מעוין הוא דלתון מיוחד שבו כל ארבע הצלעות שוות.
עוד רגע של הבנה
סמוכות הן צלעות שנפגשות בקודקוד. שני זוגות השוויון יכולים להיות באורכים שונים; אין דרישה שכל ארבע הצלעות יהיו שוות.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
רק צלעות והיקף — בלי שטח עדיין
היקף הוא המרחק סביב הדלתון: מחברים את ארבע הצלעות החיצוניות. אם זוג אחד באורך a וזוג אחר באורך b, כל אורך מופיע פעמיים.
לא משתמשים באלכסונים כדי לחשב היקף, כי הם נמצאים בתוך הצורה. למשל, אם אורכי הזוגות הם 5 ו־9, נעבור סביב הגבול ונחבר 5, 9, 9, 5.
ההיקף הוא 28 יחידות אורך. בשלב הזה לא צריך לדעת דבר על שטח.
עוד רגע של הבנה
שוויון בתוך כל זוג אינו אומר ששני הזוגות שווים זה לזה. רשמו תחילה את ארבעת האורכים ורק אחר כך חברו.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
האלכסון הראשי
האלכסון AC שמחבר את קודקודי זוגות הצלעות השוות נקרא האלכסון הראשי. הוא חוצה את הזוויות A ו־C. הוא גם מאונך לאלכסון BD וחוצה אותו לשני קטעים שווים.
עוד רגע של הבנה
הראשי מזוהה לפי קודקודי מפגש הצלעות השוות, לא לפי אורכו בציור. הוא חוצה את האלכסון האחר ומאונך לו.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
למה האלכסון הראשי מיוחד?
האלכסון הראשי מחבר את שני הקודקודים שבהם נפגשות הצלעות השוות. הוא ציר סימטריה: שני חצאי הדלתון משני צדדיו חופפים.
לכן הוא חוצה את שתי הזוויות שבקצותיו, מאונך לאלכסון האחר וחוצה אותו. האלכסון האחר אינו חייב לחצות את הראשי.
כדי לבחור תכונה נכונה בתרגיל, סמנו קודם את זוגות הצלעות השוות ורק אז זהו את האלכסון הראשי.
עוד רגע של הבנה
המשולשים ABC ו־ADC חולקים את AC ויש להם שני זוגות צלעות שוות. חפיפתם מסבירה את הסימטריה סביב הראשי.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
מה לא מותר להסיק?
בדלתון כללי האלכסון המשני אינו בהכרח חוצה את הראשי, והאלכסונים אינם בהכרח שווים. אם O היא נקודת המפגש, ידוע BO = OD אבל לא בהכרח AO = OC. משתמשים רק בתכונות המתאימות.
עוד רגע של הבנה
חציית אלכסון אחד אינה מוכיחה שגם השני נחצה. דלתון מיוחד יכול לקיים תכונות נוספות, אבל אסור להניח אותן לגבי כל דלתון.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
רק זוויות — מה האלכסון הראשי חוצה?
האלכסון הראשי AC מחבר את קודקודי זוגות הצלעות השוות A ו־C. הוא חוצה את הזווית בכל אחד מהקודקודים האלה.
אם כל הזווית BAD היא 80°, שני חלקיה BAC ו־CAD הם 40° כל אחד. כשהחלק נתון ורוצים את הזווית השלמה, עושים את הדרך ההפוכה: כופלים בשתיים. BD אינו חוצה בהכרח את הזוויות B ו־D.
עוד רגע של הבנה
לפני חלוקה בשתיים בדקו מה נתון: הזווית השלמה או חצי ממנה. חוצה זווית אינו אומר שהזווית היא בהכרח ישרה.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
מקטע לאלכסון שלם — הכנה לשטח
אלכסון שלם עובר מקודקוד אחד לאחר. נקודת החיתוך O מחלקת אותו לשני קטעים. BD מורכב מ־BO ומ־OD; כיוון ש־AC הראשי חוצה אותו, שני הקטעים שווים.
לעומת זאת AC מורכב מ־AO ומ־OC, וצריך לחבר את שני האורכים הידועים בלי להניח שהם שווים. רק כששני אורכי האלכסונים השלמים ידועים, נעבור לנוסחת השטח.
עוד רגע של הבנה
זוהי תחנת ביניים חשובה: טעות בחיבור האלכסון נשארת גם אם נוסחת השטח שבהמשך כתובה נכון.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
שטח בעזרת האלכסונים
מפני שהאלכסונים מאונכים, השטח הוא מחצית מכפלת אורכיהם. חייבים להשתמש באלכסונים המלאים. כשנתון רק חצי מהאלכסון המשני, כופלים אותו ב־2 קודם.
עוד רגע של הבנה
אפשר לחלק את הדלתון לשני משולשים שבסיסם המשותף BD. סכום הגבהים שלהם הוא AC, ולכן סכום שטחיהם הוא מחצית מכפלת האלכסונים השלמים.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
משלבים שטח ופיתגורס
נקודת מפגש האלכסונים יוצרת משולשים ישרי זווית. אפשר להשתמש בפיתגורס כדי למצוא צלע חסרה, בתנאי שמשתמשים בקטעי האלכסונים המתאימים ולא באלכסונים השלמים.
לחישוב השטח משתמשים דווקא באורכי שני האלכסונים השלמים. להיקף מוסיפים את ארבע הצלעות, או פעמיים אורך צלע מכל אחד משני הזוגות.
יחידות שטח הן ריבועיות ויחידות היקף הן יחידות אורך.
עוד רגע של הבנה
בפיתגורס משתמשים בקטעים מהקודקודים אל מפגש האלכסונים. בשטח משתמשים באלכסונים השלמים. אותה אות יכולה להיות חלק קטן מתוך האלכסון.
עוצרים ומנסים — רק על החלק הזה
אפשר לחזור להסבר, להיעזר ברמז ולנסות שוב. אין צורך למהר לפרק הבא.
תשובות לתרגול המסכם
כל התשובות וההסברים
אחרי שמנסים לבד, בודקים גם את הדרך.
שאלה 1 — פתיחת התשובה
בדלתון ABCD האלכסון הראשי AC פוגש את BD בנקודה O. נתון BO = 6. מה OD?
- בדלתון האלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני.
- כיוון ש־AC הוא הראשי ו־O נקודת החיתוך, מתקיים BO = OD.
- מציבים BO = 6 ומקבלים OD = 6. אין להסיק מכך שגם AO = OC.
התשובה: 6
שאלה 2 — פתיחת התשובה
אלכסוני דלתון הם 10 ו־8 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?
- נוסחת שטח דלתון היא S = , כאשר d₁ ו־d₂ הם האלכסונים השלמים.
- מציבים: S = .
- כופלים: 10 × 8 = 80. מחלקים בשניים: S = = 40.
- התוצאה ביחידות שטח, לא ביחידות אורך.
התשובה: 40
שאלה 3 — פתיחת התשובה
AO = 3 ו־BO = 4, והאלכסונים מאונכים. מה AB?
- אלכסוני דלתון מאונכים, ולכן AOB הוא משולש ישר זווית ב־O. הצלע AB היא היתר.
- לפי פיתגורס: AB² = AO² + BO².
- מציבים: AB² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
- מוציאים שורש חיובי כי אורך חיובי: AB = 25 = 5.
התשובה: 5
שאלה 4 — פתיחת התשובה
שטח דלתון 60 סמ״ר ואלכסון אחד 12 ס״מ. מה אורך השני?
- נוסחת השטח: S = . נסמן את האלכסון החסר x.
- מציבים: 60 = .
- כופלים בשניים: 120 = 12x. מחלקים ב־12: x = = 10.
- בדיקה: = 60.
התשובה: 10
שאלה 5 — פתיחת התשובה
בדלתון שני זוגות צלעות באורכים 5 ו־9. מה ההיקף?
- בדלתון שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, ולכן יש שתי צלעות באורך 5 ושתיים באורך 9.
- היקף הוא סכום הצלעות: P = 2a + 2b.
- מציבים: P = 2 × 5 + 2 × 9 = 10 + 18 = 28.
- אין להשתמש בנוסחת שטח: כאן מבקשים את אורך הגבול.
התשובה: 28
שאלה 6 — פתיחת התשובה
אלכסוני דלתון 8 ו־15. מה שטחו?
- שטח דלתון הוא מחצית מכפלת האלכסונים השלמים: S = .
- מציבים: S = .
- מחשבים את המכפלה 120, ואז מחלקים בשניים: S = = 60.
התשובה: 60
שאלה 7 — פתיחת התשובה
שטח דלתון 48 ואלכסון אחד 12. מה האלכסון השני?
- נסמן x את האלכסון החסר. משתמשים בשטח דלתון: S = .
- מציבים: 48 = .
- כופלים בשניים: 96 = 12x. מחלקים ב־12: x = 8.
- בדיקה: = 48.
התשובה: 8
שאלה 8 — פתיחת התשובה
האלכסון הראשי חותך את האחר ב־O. אם BO = 6, מה DO?
- האלכסון הראשי של הדלתון חוצה את האלכסון המשני בנקודה O.
- לכן BO = DO. מציבים BO = 6 ומקבלים DO = 6.
- זהו חצי האלכסון המשני; כל BD באורך 6 + 6 = 12. לא כל אלכסון בדלתון נחצה.
התשובה: 6
משהו לא ברור? מכינים שאלה למורה
כתבו איזו שאלה או איזה שלב בלבלו אתכם. נכין הודעה עם קישור שתוכלו לשלוח למורה.
ההודעה לא נשלחת אוטומטית ולא נשמרת באתר.