קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

בעיות מילוליות: פרמטרים ותערובות

בודקים אילו נתונים מאפשרים פתרון, מתי הוא יחיד ומתי אין פתרון או יש פתרונות רבים. מחברים תחום בדיד ומודלי תערובת לשאלות של משמעות, שימור חומר ושלבים משתנים. מסלול למידה מותאם, לא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

הרחבה לבחירה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/word-problems?target=5

לפני שמתחילים

1. פרמטר הוא נתון משתנה: אילו סכומים אפשריים?

פרמטר הוא סימון לנתון שיכול להשתנות בין מקרים; הנעלם הוא הכמות שמנסים למצוא בכל מקרה. אם T מסמן את ההכנסה הכוללת ו־x מספר כרטיסים מסוג מסוים, אפשר למצוא נוסחה ל־x באמצעות T. אחר כך בודקים אילו ערכי T נותנים מספר שלם של כרטיסים בתחום. טווח בין הכנסה מינימלית למקסימלית הוא תנאי נחוץ, אך אינו מספיק: שינוי של כרטיס אחד מחליף מחיר אחד באחר ויוצר קפיצות קבועות בהכנסה.

דוגמה: נמכרים בדיוק 10 כרטיסים, כל אחד במחיר 8 ₪ או 14 ₪. ההכנסה הכוללת היא T ₪, ללא תשלומים נוספים. אילו ערכי T אפשריים? בדקו במיוחד 110, 112 ו־146.

  1. מגדירים x כמספר כרטיסי ה־14 ₪. אז 10 − x כרטיסים עולים 8 ₪, ו־x שלם עם 0 ≤ x ≤ 10.
  2. משוואת ההכנסה: 14x + 8(10 − x) = T. מכנסים: 6x + 80 = T, ולכן x = .
  3. כל החלפת כרטיס של 8 ₪ בכרטיס של 14 ₪ מוסיפה 6 ₪. לכן ההכנסות האפשריות הן T = 80 + 6k עבור k שלם מ־0 עד 10.
  4. עבור T = 110 מקבלים x = 5: אפשרי. עבור T = 112 מקבלים x = : בתוך טווח ההכנסות, אך לא מספר שלם של כרטיסים.
  5. עבור T = 146 מקבלים x = 11, מעל מספר הכרטיסים הכולל. ההכנסה המרבית היא 140 ₪, ולכן גם מקרה זה אינו אפשרי.

תרגול מודרך

נמכרים בדיוק 10 כרטיסים במחירים 8 ₪ ו־14 ₪, ללא תשלומים נוספים. ההכנסה היא 98 ₪. כמה כרטיסים של 14 ₪ נמכרו?

  • 7 כרטיסים
  • 3 כרטיסים
  • 9 כרטיסים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נמכרים בדיוק 10 כרטיסים, כל אחד במחיר 8 ₪ או 14 ₪, ללא תשלומים נוספים. איזו הכנסה כוללת אפשרית?

  • 105 ₪
  • 142 ₪
  • 104 ₪

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מחירונים: פתרון יחיד, אין פתרון או כל כמות

לפעמים המשוואה אינה קובעת כמות יחידה. אחרי העברת אגפים ושינוי סימן, משוואה מהצורה an = b נותנת n = רק כאשר a אינו אפס; אז עדיין בודקים את תחום n. אם a = 0 ו־b שונה מאפס, מתקבלת סתירה ואין פתרון. אם שני הצדדים אפס, השוויון נכון לכל n בתחום. במשמעות הסיפור, מקדמים שווים הם אותו מחיר ליחידה, וקבועים שווים הם אותו תשלום קבוע. אין לחלק באפס.

דוגמה: בית דפוס א גובה 12 ₪ להזמנה ועוד p ₪ לכל הדפסה. בית דפוס ב גובה q ₪ להזמנה ועוד 4 ₪ להדפסה. p ו־q אינם שליליים. ההזמנה כוללת מספר שלם חיובי n של הדפסות. מתי המחירים שווים? השוו את המקרים (p, q) = (6, 24), (4, 12), (4, 18).

  1. משווים מחירים של אותה הזמנה: 12 + pn = q + 4n. כל אגף הוא עלות בשקלים.
  2. העברת אגפים ושינוי סימן נותנת (p − 4)n = q − 12. זהו קיצור לחיסור 4n ו־12 משני האגפים.
  3. כאשר p = 6 ו־q = 24 מתקבל 2n = 12, ולכן n = 6. זהו פתרון יחיד בתחום; שתי העלויות הן 48 ₪.
  4. כאשר p = 4 ו־q = 12 מתקבל 0n = 0. המחירונים זהים, ולכן כל מספר שלם חיובי של הדפסות מתאים.
  5. כאשר p = 4 ו־q = 18 מתקבל 0n = 6. אין פתרון: ב תמיד יקר ב־6 ₪, בכל כמות הדפסות.

תרגול מודרך

בית דפוס א גובה 12 ₪ קבועים ועוד 5 ₪ להדפסה. ב גובה 20 ₪ קבועים ועוד 4 ₪ להדפסה. ההזמנה כוללת מספר שלם חיובי של הדפסות. באיזו כמות המחירים שווים?

  • 8 הדפסות בלבד
  • כל כמות שלמה חיובית
  • אין כמות מתאימה

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בית דפוס א גובה 12 ₪ קבועים ועוד 4 ₪ להדפסה, וגם ב גובה 12 ₪ קבועים ועוד 4 ₪ להדפסה. ההזמנה כוללת מספר שלם חיובי n של הדפסות. עבור אילו n המחירים שווים?

  • רק n = 3
  • לכל מספר שלם חיובי n
  • לאף מספר שלם חיובי n

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. יעד ריכוז: מתי הוא אפשרי ומתי לא?

אפשר לחפש נפח ערבוב עבור ריכוז יעד שמשתנה. מגדירים c כחלק התרכיז מתוך הנפח הסופי, ולכן 0 ≤ c ≤ 1; כל הריכוזים כאן הם לפי נפח, ו־40% נכתב c = 0.40. כשמערבבים משקה בריכוז 30% עם משקה בריכוז 60%, ריכוז התוצאה נמצא ביניהם. אם נשארת כמות חיובית מהמשקה החלש, שום תוספת סופית של המשקה החזק לא תביא בדיוק ל־60%. המשוואה מסבירה גם את תחום היעדים וגם מדוע, עבור יעד אפשרי, יש נפח תוספת יחיד. מניחים משקאות אחידים, נפחים שמתחברים וללא אובדן חומר.

דוגמה: ל־2 ליטר משקה בריכוז 30% תרכיז לפי נפח מוסיפים x ליטר משקה בריכוז 60%, כאשר x ≥ 0 הוא מספר סופי. הנפחים מתחברים ואין אובדן חומר. אילו ריכוזי יעד c לפי נפח אפשריים, כאשר c הוא חלק התרכיז ומתקיים 0 ≤ c ≤ 1? בדקו יעד של 50% וגם 60%.

  1. כמות התרכיז היא 0.6 + 0.60x ליטר, והנפח הכולל 2 + x ליטרים. לכן 0.6 + 0.60x = c(2 + x).
  2. פותחים סוגריים ומעבירים אגפים: (0.60 − c)x = 2c − 0.6. אם c ≠ 0.60, אפשר לחלק ולקבל x = .
  3. כאשר 0.30 ≤ c < 0.60, המונה אינו שלילי והמכנה חיובי, ולכן מתקבל x יחיד שאינו שלילי. ב־c = 0.30 מתקבל x = 0.
  4. אם c < 0.30 או c > 0.60, הנוסחה נותנת x שלילי. ב־c = 0.60 מתקבלת המשוואה 0x = 0.6, ולכן אין פתרון. התחום האפשרי הוא 30% עד פחות מ־60%.
  5. ליעד 50%: x = = 4 ליטרים. בדיקה: 3 ליטר תרכיז מתוך 6 ליטרים הם 50%. ל־60% אי אפשר להגיע בתוספת סופית במודל הנתון.

תרגול מודרך

ל־2 ליטר משקה בריכוז 30% תרכיז לפי נפח מוסיפים x ליטר משקה בריכוז 60% כדי להגיע ל־40%. המשקאות אחידים, הנפחים מתחברים ואין אובדן חומר. מהו x?

  • 2 ליטרים
  • 4 ליטרים
  • 1 ליטר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

ל־2 ליטר משקה בריכוז 30% תרכיז לפי נפח מותר להוסיף נפח סופי שאינו שלילי של משקה בריכוז 60%. המשקאות אחידים, הנפחים מתחברים ואין אובדן חומר. איזה ריכוז יעד אפשר להשיג?

  • 45%
  • 60% בדיוק
  • 20%

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. אידוי מים והוצאת משקה הם תהליכים שונים

כאשר מוציאים חלק ממשקה אחיד, מוציאים גם מים וגם תרכיז באותו ריכוז שהיה במשקה. לעומת זאת, במודל שבו מתאדים מים בלבד, כמות התרכיז נשמרת והנפח הכולל קטן. לכן אותו שינוי בנפח יכול להשפיע אחרת על הריכוז. לפני כתיבת משוואה שואלים מה יצא ומה נשאר. כאן מניחים במפורש שהתרכיז אינו מתאדה, שנפחי מים ותרכיז מתחברים ושאין שינוי אחר בחומר; אין להניח זאת לכל תהליך אמיתי בלי נתונים.

דוגמה: במכל 10 ליטר משקה אחיד בריכוז 20% תרכיז לפי נפח. מניחים שרק מים מתאדים, שהתרכיז אינו מתאדה ושנפחי הרכיבים מתחברים. כמה ליטרי מים צריכים להתאדות כדי שהריכוז יהיה 25%? מדוע הוצאת אותו נפח של משקה אחיד לא תיתן אותה תוצאה?

  1. בתחילה יש 0.20 × 10 = 2 ליטר תרכיז ו־8 ליטר מים. נגדיר x כנפח המים שמתאדה, כך ש־0 ≤ x ≤ 8.
  2. באידוי מים כמות התרכיז נשארת 2 ליטרים והנפח הכולל נעשה 10 − x. המשוואה היא 2 = 0.25(10 − x).
  3. פותרים: 2 = 2.5 − 0.25x, ולכן 0.25x = 0.5 ומקבלים x = 2 ליטרים.
  4. בדיקה: נשארו 8 ליטרים ובהם 2 ליטר תרכיז, ולכן = 0.25, כלומר 25%. יש מספיק מים לאידוי.
  5. אם במקום לאדות מוציאים 2 ליטר משקה אחיד, יוצאים 0.4 ליטר תרכיז. נשארים 1.6 ליטר תרכיז מתוך 8 ליטרים: הריכוז נשאר 20%.

תרגול מודרך

יש 8 ליטר משקה בריכוז 25% תרכיז לפי נפח. מניחים שרק מים מתאדים, שהתרכיז נשאר ושנפחי הרכיבים מתחברים. כמה ליטרי מים יתאדו עד שהריכוז יהיה 40%?

  • 5 ליטרים
  • 3 ליטרים
  • 2 ליטרים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בשני מכלים יש בתחילה 5 ליטר משקה אחיד בריכוז 40% תרכיז לפי נפח בכל מכל. מאחד מוציאים 1 ליטר משקה אחיד; בשני מתאדה 1 ליטר מים בלבד. מניחים שהתרכיז אינו מתאדה ושנפחי הרכיבים מתחברים. מה הריכוז בכל מכל אחרי הפעולה?

  • בשניהם 50%
  • בראשון 50% ובשני 40%
  • בראשון 40% ובשני 50%

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. שני שלבים: מעדכנים גם את הרכיב וגם את השלם

במודל רב־שלבי, התוצאה של השלב הראשון היא נקודת ההתחלה של השלב הבא. בהוצאת x ליטרים ממשקה אחיד בריכוז 25%, יוצאים 0.25x ליטר תרכיז; אם מוסיפים אחר כך 2 ליטרים של תרכיז טהור, מתווספים 2 ליטרים גם לכמות התרכיז וגם לנפח הכולל. אין להשאיר את המכנה בנפח ההתחלתי. מכינים שני ביטויים נפרדים: נפח תרכיז סופי ונפח משקה סופי. בודקים שלא הוצא יותר משיש ושהנפח הסופי חיובי.

דוגמה: במכל 12 ליטר משקה אחיד בריכוז 25% תרכיז לפי נפח. מוציאים x ליטרים מהמשקה, ואז מוסיפים 2 ליטרים של תרכיז טהור ומערבבים. הריכוז הסופי הוא 50%. מניחים שהנפחים מתחברים ושאין אובדן נוסף. כמה ליטרים הוציאו?

  1. מגדירים x כנפח המשקה שהוצא, בליטרים, עם 0 ≤ x ≤ 12. בתחילה יש 3 ליטר תרכיז.
  2. לאחר ההוצאה נשארים 12 − x ליטרים, ובהם 3 − 0.25x ליטר תרכיז.
  3. אחרי הוספת 2 ליטרים של תרכיז טהור, הנפח הכולל 14 − x וכמות התרכיז 5 − 0.25x.
  4. משוואת הריכוז: 5 − 0.25x = 0.50(14 − x). פותחים סוגריים ומעבירים אגפים: 0.25x = 2, ולכן x = 8.
  5. בדיקה לפי השלבים: אחרי הוצאת 8 ליטרים נשארים 4 ליטרים ובהם 1 ליטר תרכיז. מוסיפים 2 ליטרים טהורים: 3 ליטר תרכיז מתוך 6 ליטרים, כלומר 50%. הכמות שהוצאה בתחום.
מוציאים משקה, ואז מוסיפים תרכיז

נתונים: 12 ליטר משקה אחיד בריכוז 25% תרכיז לפי נפח; אחרי הוצאה מוסיפים 2 ליטרי תרכיז טהור, והיעד הוא 50%. מחושב: x = 8 ליטרים הוצאו. בתחילה 3 תרכיז ו־9 מים; אחרי ההוצאה 1 תרכיז ו־3 מים; אחרי ההוספה 3 תרכיז ו־3 מים, יחד 6 ליטרים. כל שלושת הפסים באותו קנה מידה. מניחים חיבור נפחים וללא אובדן נוסף.

קנה מידה משותף לפסים: 0–12 ליטר. אורך כל חלק נקבע לפי הכמות שלו.

לפני: 12 ליטרים, נתון

לפני: 12 ליטרים, נתון39012
  • תרכיז: 3
  • מים: 9

אחרי הוצאת 8 ליטרים נשארו 4 ליטרים, מחושב

אחרי הוצאת 8 ליטרים נשארו 4 ליטרים, מחושב13012
  • תרכיז: 1
  • מים: 3

אחרי הוספת 2 ליטרים התקבלו 6 ליטרים, מחושב

אחרי הוספת 2 ליטרים התקבלו 6 ליטרים, מחושב33012
  • תרכיז: 3
  • מים: 3

תרגול מודרך

יש 10 ליטר משקה אחיד בריכוז 20% תרכיז לפי נפח. מוציאים x ליטרים, ואז מוסיפים 2 ליטרים תרכיז טהור ומערבבים. הריכוז הסופי 40%. הנפחים מתחברים ואין אובדן נוסף. כמה ליטרים הוציאו?

  • 4 ליטרים
  • 2 ליטרים
  • 8 ליטרים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

יש 8 ליטר משקה אחיד בריכוז 25% תרכיז לפי נפח. מוציאים x ליטרים, ואז מוסיפים 1 ליטר תרכיז טהור ומערבבים. הריכוז הסופי 50%. הנפחים מתחברים ואין אובדן נוסף. כמה ליטרים הוציאו?

  • 3 ליטרים
  • 6 ליטרים
  • 4 ליטרים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.