קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

משולשים: נימוקים ותנאי קיום

מחברים בין זוויות במשולשים סמוכים, זווית חיצונית והמשפט ההפוך לשווה שוקיים. מוסיפים משוואות, תחומי קיום וגובה מחוץ למשולש. המסלול בונה עומק על יסודות המשולש ואינו מתיימר לכסות תוכנית שנתית מלאה.

תרגול והעמקה בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/triangles?target=4

לפני שמתחילים

1. משולשים סמוכים: מוצאים את החוליה המקשרת

כשקטע מחלק משולש לשניים, מפעילים את סכום הזוויות בכל משולש בנפרד ומעבירים מידע דרך הזוויות המשותפות או הצמודות. אם D נמצאת בתוך הקטע BC, הקרניים DB ו־DC מנוגדות, ולכן ∠ADB + ∠ADC = 180°. השם בשלוש אותיות חשוב במיוחד: ∠BAD היא חלק מהזווית BAC, ולא בהכרח כל הזווית בקודקוד A. בכל חישוב מציינים באיזה משולש או ישר משתמשים.

דוגמה: במשולש ABC הנקודה D נמצאת בתוך BC. נתון ∠ABC = 50°, ∠ACB = 40° ו־∠BAD = 25°. מצאו את ∠ADB, את ∠ADC ואת ∠DAC.

  1. מכיוון ש־D על BC, מתקיים ∠ABD = ∠ABC = 50°. במשולש ABD: ∠ADB = 180° − 50° − 25° = 105°.
  2. B, D, C נמצאות על ישר אחד בסדר הזה. לכן ∠ADB ו־∠ADC צמודות, ומתקבל ∠ADC = 180° − 105° = 75°.
  3. במשולש ADC הזווית ACD היא 40°. לכן ∠DAC = 180° − 75° − 40° = 65°.
  4. בדיקה במשולש הגדול: ∠BAC = 25° + 65° = 90°, ו־90° + 50° + 40° = 180°. הזווית הישרה היא מסקנה מהנתונים.
מחשבים במשולש אחד ומעבירים מידע דרך D50°40°25°65°105°75°ABCD
מחשבים במשולש אחד ומעבירים מידע דרך D

D נמצאת בתוך BC. נתונות הזוויות ABC = 50°, ACB = 40° ו־BAD = 25°. הזוויות ADB = 105°, ADC = 75° ו־DAC = 65° מסומנות כמסקנות של שרשרת החישוב בדוגמה הפתורה. הקטע AD אינו נתון כגובה או כחוצה זווית.

תרגול מודרך

במשולש ABC הנקודה D בתוך BC. נתון ∠ABC = 45°, ∠ACB = 35° ו־∠BAD = 30°. מהי ∠DAC?

  • 70°
  • 75°
  • 105°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ABC הנקודה D בתוך BC. נתון ∠ABC = 55°, ∠ACB = 30° ו־∠BAD = 35°. מהי ∠DAC?

  • 90°
  • 60°
  • 95°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. זווית חיצונית: מוכיחים את הקשר ואז מציבים

אם ממשיכים את BC מעבר ל־C לנקודה E, הזווית ACE היא זווית חיצונית למשולש ABC. היא צמודה לזווית הפנימית ACB. לכן ∠ACE = 180° − ∠ACB. מסכום זוויות המשולש מתקבל גם ∠BAC + ∠ABC = 180° − ∠ACB, ומכאן הזווית החיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. כשמופיע נעלם, כותבים משוואה לפני החישוב ובודקים שהתוצאות נותנות זוויות חיוביות.

דוגמה: במשולש ABC ממשיכים את BC מעבר ל־C לנקודה E. נתון ∠ACE = 120°, ∠BAC = (2x + 10)° ו־∠ABC = (x + 20)°. מצאו את x ואת זוויות המשולש.

  1. משפט הזווית החיצונית נותן (2x + 10) + (x + 20) = 120. מאחדים איברים: 3x + 30 = 120.
  2. מעבירים את 30 לאגף ימין ומשנים את סימנו: 3x = 120 − 30 = 90. זו דרך קצרה לחסר 30 משני האגפים. מחלקים ב־3 ומקבלים x = 30.
  3. ∠BAC = 70° ו־∠ABC = 50°. הזווית הצמודה לחיצונית היא ∠ACB = 180° − 120° = 60°.
  4. בדיקה: 70° + 50° = 120°, וגם 70° + 50° + 60° = 180°. כל הזוויות חיוביות.

תרגול מודרך

במשולש ABC ממשיכים את BC מעבר ל־C לנקודה E. נתון ∠ACE = 110° ו־∠BAC = 35°. מהי ∠ABC?

  • 70°
  • 145°
  • 75°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ABC ממשיכים את BC מעבר ל־C לנקודה E. נתון ∠ACE = 120°, ∠BAC = (x + 15)° ו־∠ABC = 2x°. מהו x?

  • 35
  • 40
  • 55

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. משפט והמשפט ההפוך: מזוויות לצלעות

משפט שווה השוקיים אומר: מצלעות שוות מסיקים זוויות נגדיות שוות. גם המשפט ההפוך נכון: אם שתי זוויות במשולש שוות, הצלעות שמולן שוות. חשוב לזהות מה נמצא מול כל זווית: במשולש ABC מול ∠B נמצאת AC ומול ∠C נמצאת AB. כשמבקשים להוכיח שוויון צלעות, אפשר לחשב תחילה זוויות בעזרת נתונים אחרים, להוכיח שהן שוות, ורק אז להשתמש במשפט ההפוך. אסור להניח את שוויון הצלעות שרוצים להוכיח.

דוגמה: במשולש ABC נתון ∠BAC = 80°. ממשיכים את CB מעבר ל־B לנקודה E, ונתון ∠ABE = 130°. הוכיחו AB = AC.

  1. C, B, E על ישר אחד בסדר הזה. ∠ABC צמודה ל־∠ABE, ולכן ∠ABC = 180° − 130° = 50°.
  2. במשולש ABC מתקבל ∠ACB = 180° − 80° − 50° = 50°.
  3. הוכחנו ∠ABC = ∠ACB באמצעות סכומי זוויות, בלי להניח שהמשולש שווה שוקיים.
  4. לפי המשפט ההפוך לשווה שוקיים, הצלעות שמול זוויות שוות שוות: AC = AB.

תרגול מודרך

במשולש PQR נתון ∠P = 70° ו־∠Q = 55°. איזה שוויון צלעות ניתן להוכיח?

  • PQ = QR
  • PQ = PR
  • PR = QR

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ABC נתון ∠A = 48° ו־∠B = 66°. איזה נימוק תקף להוכחת AB = AC?

  • השרטוט נראה סימטרי
  • AB = AC ולכן ∠B = ∠C
  • ∠C = 66° = ∠B, ולכן הצלעות שמולן שוות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. תנאי קיום: כל המגבלות חייבות להתקיים יחד

אורך צלע חייב להיות חיובי, ושלוש צלעות צריכות לקיים את אי־שוויון המשולש. כאשר הצלע השלישית היא x לצד אורכים a ו־b, התנאי הוא |a − b| < x < a + b; הסימן | | מציין ערך מוחלט, כלומר מרחק מאפס. מגבלה נוספת, למשל על ההיקף, מצמצמת את התחום. מחפשים את הערכים שמקיימים את כל התנאים יחד. בהעברת איבר באי־שוויון משנים את סימן האיבר כמו במשוואה; כיוון סימן האי־שוויון נשאר כשמחלקים במספר חיובי. שוויון באי־שוויון המשולש אינו מותר.

דוגמה: שתי צלעות של משולש הן 4 ס״מ ו־9 ס״מ, והשלישית x ס״מ. היקף המשולש קטן מ־24 ס״מ. מצאו את כל הערכים האפשריים של x.

  1. אי־שוויון המשולש נותן 9 − 4 < x < 9 + 4, כלומר 5 < x < 13. התחום כבר מבטיח ש־x חיובי.
  2. תנאי ההיקף: 4 + 9 + x < 24, כלומר x + 13 < 24. בהעברת אגפים מתקבל x < 24 − 13 = 11.
  3. שני התנאים צריכים להתקיים יחד. לכן התחום הסופי הוא 5 < x < 11.
  4. הקצה 5 נפסל בגלל משולש שטוח; הקצה 11 נפסל כי היקפו 24 ולא קטן מ־24. כל מספר בתחום הפתוח מקיים את שתי הדרישות.

תרגול מודרך

במשולש שווה שוקיים אורך כל שוק x ס״מ ואורך הבסיס 12 ס״מ. ההיקף קטן מ־32 ס״מ. מהו התחום המדויק של x?

  • 0 < x < 10
  • 6 ≤ x ≤ 10
  • 6 < x < 10

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

שלוש צלעות מוצעות הן x + 1, x + 3 ו־10 ס״מ. לאילו ערכי x הן יוצרות משולש?

  • x > 3
  • x > −1
  • x ≥ 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. גובה חיצוני: משתמשים במיקום שניתן במילים

במשולש קהה־זווית חלק מהגבהים פוגשים את המשך הצלע מחוץ למשולש. אם H, B, C על ישר אחד בסדר הזה, הקרניים BH ו־BC מנוגדות: ∠ABH = 180° − ∠ABC. כאשר AH מאונך לישר BC, המשולש ABH ישר־זווית ב־H. כדי לחבר או לחסר זוויות בקודקוד A צריך לדעת מה סדר הקרניים, ולא להסתמך רק על מראה הציור. שני המשולשים ABH ו־ACH משתמשים באותה ניצבות, אף ש־AH נמצא מחוץ למשולש ABC.

דוגמה: במשולש ABC נתון ∠ABC = 120° ו־∠ACB = 25°. מורידים גובה AH לישר BC, כאשר H, B, C על ישר אחד בסדר הזה. מצאו את ∠BAH ואת ∠HAC.

  1. הקרניים BH ו־BC מנוגדות, ולכן ∠ABH = 180° − 120° = 60°.
  2. במשולש ABH נתון ∠AHB = 90°, ולכן ∠BAH = 180° − 90° − 60° = 30°.
  3. במשולש ACH, הקרן CH היא אותה קרן כמו CB. לכן ∠ACH = 25° וגם ∠AHC = 90°, ומתקבל ∠HAC = 65°.
  4. בדיקה: ∠BAC = 180° − 120° − 25° = 35°. מכיוון שהקרן AB נמצאת בין AH ל־AC, מתקבל גם ∠HAC = 30° + 35° = 65°.

תרגול מודרך

במשולש ABC נתון ∠ABC = 110° ו־∠ACB = 40°. הגובה AH פוגש את ישר BC כך ש־H, B, C נמצאות בסדר הזה. מהי ∠BAH?

  • 20°
  • 50°
  • 70°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ABC נתון ∠ABC = 125° ו־∠ACB = 20°. הגובה AH פוגש את ישר BC כך ש־H, B, C נמצאות בסדר הזה. מהי ∠HAC?

  • 35°
  • 70°
  • 55°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.