קליק · מתמטיקה

משולשים — זוויות, שטח וחפיפה

מבוא למשולשים: זוויות, שטח ומושג החפיפה. להוכחות מפורטות המשיכו ליחידת חפיפת משולשים.

https://klikedu.app/learn/triangles

1. שלוש הזוויות משלימות ל־180°

משולש הוא מצולע בעל שלוש צלעות ושלוש זוויות פנימיות. סכום הזוויות הפנימיות תמיד 180°, בלי קשר לגודל או לצורת המשולש. למציאת זווית חסרה מחברים תחילה את השתיים הידועות, ואז מחסרים את הסכום מ־180°.

αβγABC
שלוש הזוויות הפנימיות מסומנות α, β, γ. סכומן 180°, גם כשהמשולש אינו שווה שוקיים.

דוגמה: שתי זוויות במשולש הן 50° ו־60°. מצאו את השלישית.

  1. סכום הזוויות הידועות: 50° + 60° = 110°.
  2. הזווית החסרה: 180° − 110° = 70°.
  3. בדיקה: 50° + 60° + 70° = 180°.

תרגול מודרך

במשולש שתי זוויות הן 40° ו־80°. מה הזווית השלישית?

  • 120°
  • 60°
  • 90°

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש זווית ישרה וזווית של 35°. מה השלישית?

  • 55°
  • 145°
  • 65°

תשובה: __________________________________________________

2. מזהים שוקיים ובסיס

משולש שווה שוקיים הוא משולש בעל לפחות שתי צלעות שוות. השוות נקראות שוקיים, והצלע השלישית נקראת בסיס. הזווית בין השוקיים היא זווית הראש. הזוויות שבקצות הבסיס שוות זו לזו, משום שהן מול הצלעות השוות.

ABC
נתון AB = AC, כפי שמראים הסימונים על השוקיים. לכן זוויות הבסיס B ו־C שוות — זו המסקנה, והנימוק הוא משפט זוויות הבסיס.

דוגמה: במשולש ABC נתון AB = AC. זהו שוקיים, בסיס וזוויות בסיס.

  1. השוקיים הן AB ו־AC, והן נפגשות ב־A.
  2. הבסיס הוא BC, ולכן B ו־C הן זוויות הבסיס.
  3. ממשפט זוויות הבסיס מתקבל ∠B = ∠C.

תרגול מודרך

במשולש ABC נתון AB = AC. מהי זווית הראש?

  • ∠B
  • ∠C
  • ∠A

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

ב־PQR נתון PQ = PR. אילו זוויות שוות?

  • ∠P ו־∠Q
  • ∠Q ו־∠R
  • ∠P ו־∠R

תשובה: __________________________________________________

3. מחלקים את יתרת הזוויות שווה בשווה

במשולש שווה שוקיים שתי זוויות הבסיס שוות. אם זווית הראש ידועה, מחסרים אותה מ־180° כדי למצוא את הסכום שנשאר לשתיהן. רק אז מחלקים בשתיים. אין לחלק את זווית הראש עצמה כשמבקשים את זוויות הבסיס.

דוגמה: זווית הראש היא 40°. מצאו את זוויות הבסיס.

  1. לשתי זוויות הבסיס נותרו 180° − 40° = 140°.
  2. הן שוות, ולכן כל אחת 140°/2 = 70°.
  3. בדיקה: 70° + 70° + 40° = 180°.

תרגול מודרך

במשולש שווה שוקיים זווית הראש היא 80°. מה כל זווית בסיס?

  • 50°
  • 40°
  • 100°

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש שווה שוקיים זווית בסיס היא 65°. מה זווית הראש?

  • 115°
  • 65°
  • 50°

תשובה: __________________________________________________

4. גובה נבדק בעזרת זווית ישרה

גובה במשולש יוצא מקודקוד ומאונך לצלע שמולו או להמשכה. מאונך פירושו יוצר זווית של 90°. לפעמים הגובה נמצא מחוץ למשולש. צלע נטויה אינה גובה רק משום שהיא נראית גבוהה; נדרש קשר של ניצבות לבסיס שנבחר.

ABCH
AH ⟂ BC. אין סימון שהבסיס נחצה.

דוגמה: במשולש ABC נתון AH ⟂ BC ו־H על BC. איזה גובה מתאים לבסיס BC?

  1. AH יוצא מהקודקוד A שמול BC.
  2. הנתון AH ⟂ BC מוכיח זווית ישרה במפגש.
  3. לכן AH הוא הגובה המתאים לבסיס BC.

תרגול מודרך

מה חייב להתקיים בגובה לבסיס BC?

  • הוא חייב לחצות את BC
  • הוא חייב להיות מאונך ל־BC או להמשכו
  • הוא חייב להיות שווה ל־BC

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

גובה מקודקוד פוגש את המשך הצלע שמולו מחוץ למשולש בזווית ישרה. האם זה גובה?

  • לא, גובה תמיד בפנים
  • לא, רק צלע יכולה להיות גובה
  • כן, מותר לפגוש את המשך הצלע

תשובה: __________________________________________________

5. שטח הוא חצי בסיס כפול גובה

מקבילית היא מרובע ששני זוגות הצלעות הנגדיות שלו מקבילים. אפשר לחתוך ולהעביר חלקים שלה כדי ליצור מלבן בעל אותו בסיס ואותו גובה, בלי להוסיף או לגרוע שטח. לכן שטח המקבילית הוא בסיס כפול גובה. שטח מודד את המשטח שבתוך המשולש. שני עותקים מתאימים של משולש מרכיבים מקבילית בעלת אותו בסיס וגובה, ולכן שטח המשולש מחצית ממכפלתם: S = a × . הבסיס והגובה חייבים להיות זוג מתאים, והיחידות ריבועיות.

ah
משולש: S = a × . הגובה h מאונך לבסיס a.

דוגמה: בסיס משולש 8 ס״מ והגובה אליו 5 ס״מ. מצאו שטח.

  1. הגובה 5 מתאים לבסיס 8 וניצב לו.
  2. S = 8 × = = 20.
  3. השטח הוא 20 סמ״ר.

תרגול מודרך

בסיס משולש 6 ס״מ והגובה המתאים 4 ס״מ. מה שטח המשולש?

  • 24 סמ״ר
  • 12 סמ״ר
  • 10 ס״מ

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש בסיס 10 ס״מ, גובה אליו 3 ס״מ, וצלע נטויה 5 ס״מ. מה השטח?

  • 15 סמ״ר
  • 25 סמ״ר
  • 30 סמ״ר

תשובה: __________________________________________________

6. משחזרים גובה מתוך שטח

נוסחת השטח יכולה לעזור גם כשהגובה חסר. מציבים את השטח והבסיס הידועים, ואז מחפשים איזה גובה ייתן את השטח הזה. אפשר לבטל את החלוקה בשתיים בכפל בשתיים, ולבסוף לחלק בבסיס. הגובה מתקבל ביחידות אורך.

דוגמה: שטח משולש 30 סמ״ר ובסיסו 10 ס״מ. מה הגובה המתאים?

  1. 30 = 10 × , ולכן 30 = 5h.
  2. מחלקים ב־5: h = 6 ס״מ.
  3. בדיקה: 10 × = 30 סמ״ר.

תרגול מודרך

שטח משולש 24 סמ״ר ובסיסו 8 ס״מ. מה הגובה לבסיס זה?

  • 3 ס״מ
  • 16 ס״מ
  • 6 ס״מ

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

שטח משולש 35 סמ״ר ובסיסו 10 ס״מ. מה הגובה לבסיס זה?

  • 3.5 ס״מ
  • 7 ס״מ
  • 14 ס״מ

תשובה: __________________________________________________

7. תיכון מגיע לאמצע הצלע

אמצע קטע מחלק אותו לשני קטעים שווים. תיכון במשולש מחבר קודקוד עם אמצע הצלע שמולו. הסימן שמזהה תיכון הוא שוויון שני חלקי הצלע, ולא זווית ישרה. במשולש כללי אין להסיק שתיכון הוא גם גובה.

ABCM
BM = MC. אין סימון של זווית ישרה.

דוגמה: AM תיכון לצלע BC, ו־BC = 14 ס״מ. מצאו BM.

  1. M אמצע BC, ולכן BM = MC.
  2. כל חלק הוא = 7 ס״מ.
  3. BM = 7; לא נובע מכך ש־AM מאונך ל־BC.

תרגול מודרך

במשולש ABC הנקודה M על BC. איזה נתון מראה ש־AM תיכון ל־BC?

  • BM = MC ו־M על BC
  • AM ⟂ BC בלבד
  • ∠BAM = ∠MAC בלבד

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ABC הקטע AM תיכון ל־BC, ו־BM = 4. מה אורך BC?

  • 4
  • 2
  • 8

תשובה: __________________________________________________

8. חוצה זווית מחלק את הפתיחה

בשם זווית בעל שלוש אותיות, האות האמצעית היא הקודקוד. למשל, ∠BAD היא הזווית שבקודקוד A בין AB ל־AD, ואילו ∠DAC היא הזווית שבין AD ל־AC. חוצה זווית הוא קטע שיוצא מהקודקוד ומחלק את הזווית לשתי זוויות שוות. הוא עוסק בזוויות, ולא באורכי חלקי הצלע שמולן. בלי נתון נוסף אין להסיק שהוא תיכון או גובה, גם אם השרטוט נראה סימטרי.

ααABCD
∠BAD = ∠DAC. אין להסיק BD = DC.

דוגמה: AD חוצה את ∠A = 70°. מצאו ∠BAD.

  1. חציית הזווית נותנת ∠BAD = ∠DAC.
  2. כל חלק הוא 70°/2 = 35°.
  3. ∠BAD = 35°, ואין מכאן מידע מספיק על BD לעומת DC.

תרגול מודרך

במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A ו־D על BC. איזה שוויון נובע מכך?

  • BD = DC
  • ∠BAD = ∠DAC
  • AD = BC

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A ו־D על BC. נתון ∠BAD = 28°. מהי ∠A?

  • 14°
  • 28°
  • 56°

תשובה: __________________________________________________

9. מתי שלושת התפקידים מתלכדים

במשולש כללי גובה, תיכון וחוצה זווית עשויים להיות קטעים שונים. יש מקרה מיוחד: במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש אל הבסיס הוא גם תיכון וגם גובה. צריך לוודא שמדובר בזווית הראש, ולא בזווית בסיס.

דוגמה: AB = AC, ו־AD חוצה את זווית הראש A. מה אפשר להסיק?

  1. המשולש שווה שוקיים, והחוצה יוצא מהראש אל BC.
  2. לפי התכונה המיוחדת BD = DC, ולכן AD תיכון.
  3. גם AD ⟂ BC, ולכן הוא גובה.

תרגול מודרך

באיזה מצב חוצה זווית מובטח גם כתיכון לבסיס?

  • בכל משולש
  • בכל זווית של שווה שוקיים
  • כשהוא חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ABC נתון AB = AC. הקטע AD חוצה את זווית A ו־D על BC. אם BC = 18, מהו BD?

  • 9
  • 18
  • אין דרך לדעת

תשובה: __________________________________________________

10. חפיפה שומרת על צורה ועל גודל

משולשים חופפים יכולים להתלכד בדיוק. מותר להזיז, לסובב או להפוך אחד מהם, אך לא להגדיל או להקטין. לכן הצלעות המתאימות שוות וגם הזוויות המתאימות שוות. מראה דומה לבדו אינו מספיק, כי ציורים אינם בהכרח בקנה מידה.

דוגמה: משולש הועתק ואז סובב, בלי לשנות אורכים. האם ההעתק חופף למקור?

  1. סיבוב משנה כיוון אך אינו משנה אורכים או זוויות.
  2. אפשר לסובב בחזרה ולהניח את ההעתק בדיוק על המקור.
  3. לכן הם חופפים.

תרגול מודרך

איזו פעולה שומרת על חפיפה?

  • הכפלת כל הצלעות פי 2
  • סיבוב בלבד
  • הארכת צלע אחת

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

שני משולשים נראים שווים בציור ללא נתונים. האם זו הוכחת חפיפה?

  • כן, אם ציירו בקפידה
  • כן, אם אחד ליד השני
  • לא, צריך נתונים או נימוקים

תשובה: __________________________________________________

11. סדר האותיות קובע התאמה

הסימן △ מציין משולש, והסימן ≅ פירושו ״חופף ל־״. הסימון △ABC ≅ △DEF הוא מפת התאמה: A מתאים ל־D, B ל־E ו־C ל־F. צלע מתאימה מחברת את הקודקודים המתאימים. אין לבחור התאמה לפי ימין ושמאל בציור, משום שאפשר לסובב או לשקף משולש חופף.

ABCDEF
רישום החפיפה קובע: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. לכן AB מתאים ל־DE, ולא לצלע שנראית קרובה אליו בציור.

דוגמה: נתון △ABC ≅ △DEF. לאיזו צלע מתאימה BC?

  1. B מתאים ל־E לפי המקום השני בשמות.
  2. C מתאים ל־F לפי המקום השלישי.
  3. לכן BC מתאימה ל־EF, ואורכיהן שווים.

תרגול מודרך

נתון △ABC ≅ △DEF. לאיזו זווית מתאימה ∠A?

  • ∠D
  • ∠E
  • ∠F

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

נתון △PQR ≅ △STU. איזו צלע שווה ל־PR?

  • ST
  • SU
  • TU

תשובה: __________________________________________________

12. שלושה זוגות צלעות מספיקים

כדי להוכיח חפיפה אין צורך לבדוק בנפרד את כל הצלעות וכל הזוויות. משפט צלע–צלע–צלע, בקיצור צ.צ.צ, אומר ששלושה זוגות של צלעות מתאימות שוות מספיקים. חייבים שלושה זוגות שונים, עם התאמה עקבית בין הקודקודים.

ABC DEF ABC DEF
A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. רק הסימונים מציינים את הנתונים של משפט החפיפה.

דוגמה: נתון AB = DE, BC = EF, AC = DF. מה אפשר להסיק?

  1. רשומים שלושה זוגות של צלעות שוות.
  2. ההתאמה עקבית: A אל D, B אל E, C אל F.
  3. △ABC ≅ △DEF לפי צ.צ.צ.

תרגול מודרך

במשולשים ABC ו־DEF נתון AB = DE ו־AC = DF. מהו הנתון החסר להוכחת חפיפה לפי צ.צ.צ?

  • ∠A = ∠D
  • BC = EF
  • AB = DE שוב

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

לשני משולשים צלעות 4, 5, 6 ס״מ. מה מספיק כדי להוכיח חפיפה?

  • שהם נראים באותו כיוון
  • מדידת זווית נוספת הכרחית
  • התאמת שלוש הצלעות השוות

תשובה: __________________________________________________

13. בצלע–זווית–צלע הזווית כלואה

משפט צלע–זווית–צלע, צ.ז.צ, דורש שני זוגות של צלעות שוות ואת הזווית שביניהן. זווית כלואה נמצאת בקודקוד המשותף לשתי הצלעות. אם נתונה זווית אחרת, אותם שלושה נתונים אינם מקיימים את דרישת המשפט הזה.

ABC DEF ABC DEF
A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. רק הסימונים מציינים את הנתונים של משפט החפיפה.

דוגמה: AB = DE, AC = DF ו־∠A = ∠D. האם מתאים צ.ז.צ?

  1. AB ו־AC נפגשות ב־A, ולכן A כלואה ביניהן.
  2. DE ו־DF נפגשות ב־D, ולכן D כלואה ביניהן.
  3. שני זוגות צלעות והזווית הכלואה שווים, ולכן המשולשים חופפים.

תרגול מודרך

במשולש ABC, איזו זווית כלואה בין AB ל־BC?

  • ∠A
  • ∠C
  • ∠B

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

במשולשים PQR ו־STU נתון PQ = ST ו־PR = SU. איזה שוויון זוויות משלים צ.ז.צ?

  • ∠P = ∠S
  • ∠Q = ∠T
  • ∠R = ∠U

תשובה: __________________________________________________

14. בזווית–צלע–זווית הצלע כלואה

משפט זווית–צלע–זווית, ז.צ.ז, דורש שתי זוויות שוות בהתאמה ואת הצלע שמחברת ביניהן. הצלע הכלואה בין הזוויות A ו־B היא AB. הצלע קובעת גם גודל, ולכן יש כאן מידע נוסף מעבר לשוויון זוויות בלבד.

ABC DEF ABC DEF
A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. רק הסימונים מציינים את הנתונים של משפט החפיפה.

דוגמה: ∠A = ∠D, ∠B = ∠E וגם AB = DE. מהו המשפט המתאים?

  1. AB מחברת את הקודקודים A ו־B.
  2. DE מחברת את הקודקודים D ו־E.
  3. הצלעות הכלואות שוות, ולכן △ABC ≅ △DEF לפי ז.צ.ז.

תרגול מודרך

במשולש ABC, מהי הצלע הכלואה בין ∠B ל־∠C?

  • AB
  • BC
  • AC

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

במשולשים PQR ו־STU נתון ∠P = ∠S ו־∠R = ∠U. איזה שוויון צלעות ישלים ז.צ.ז?

  • PQ = ST
  • QR = TU
  • PR = SU

תשובה: __________________________________________________

15. כל טענה צריכה נימוק

פתרון גיאומטרי הוא שרשרת מסודרת: רושמים נתונים, מסיקים מהם בעזרת משפטים, ומציינים ליד כל טענה את הסיבה. בהוכחת חפיפה מציגים תחילה את ההתאמות הדרושות. רק אחריה מסיקים שוויון של חלקים מתאימים שלא היו ידועים מראש.

דוגמה: ידוע △ABC ≅ △DEF ו־AB = 7. נמקו את מציאת DE.

  1. החפיפה כבר נתונה, והסדר מראה ש־AB מתאימה ל־DE.
  2. DE = AB, בנימוק: צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות.
  3. מכאן DE = 7.

תרגול מודרך

במשולש ABC נתון AB = AC. מה הנימוק ל־∠B = ∠C?

  • כך נראה בציור
  • זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות
  • כל זוויות המשולש שוות

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מתי מותר להשתמש בשוויון צלעות כתוצאה מחפיפה?

  • אחרי שהחפיפה נתונה או הוכחה
  • לפני ההוכחה כדי להשלים נתון חסר
  • רק אם הצלעות אופקיות

תשובה: __________________________________________________

16. זוויות שוות אינן קובעות גודל

שוויון של שלוש זוויות קובע את צורת המשולש, אבל מאפשר הגדלה או הקטנה. לכן הוא מוכיח דמיון, לא בהכרח חפיפה. למשל, למשולשים שווי צלעות בצלעות 3 ו־6 יש אותן זוויות, אבל אורכי הצלעות שונים והם אינם חופפים.

דוגמה: משולש שווה צלעות בצלע 3 ומשולש שווה צלעות בצלע 6: האם הם חופפים?

  1. בכל אחד הזוויות 60°, ולכן צורתם זהה.
  2. הצלעות המתאימות שונות באורכן: 3 אינו 6.
  3. הם דומים, אך אינם חופפים.

תרגול מודרך

מה חסר בשוויון של שלוש זוויות כדי להבטיח חפיפה?

  • אותו צבע
  • אותו כיוון
  • מידע שמבטיח אותו גודל

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

בכל אחד משני משולשים הזוויות 40°, 60°, 80°. מה בטוח?

  • הצלעות שוות בהתאמה
  • המשולשים דומים
  • ההיקפים שווים

תשובה: __________________________________________________

דוגמה מסכמת

במשולש שווה שוקיים זווית הראש היא 40°. מצאו את זוויות הבסיס.

  1. סכום שתי זוויות הבסיס: 180° − 40° = 140°.
  2. במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.
  3. מחלקים ב־2: כל זווית בסיס היא 70°.
  4. בדיקה: 70° + 70° + 40° = 180°.

תרגול מסכם

שאלה 1

שתי זוויות במשולש הן 50° ו־60°. מה השלישית? כתבו מספר בלבד.

________________________________________________________

שאלה 2

בסיס משולש 8 ס״מ והגובה אליו 5 ס״מ. מה השטח בסמ״ר?

________________________________________________________

שאלה 3

במשולש שווה שוקיים זווית בסיס היא 65°. מה זווית הראש?

________________________________________________________

שאלה 4

שלוש צלעות במשולש אחד שוות בהתאמה לשלוש צלעות בשני. מה משפט החפיפה?

________________________________________________________

שאלה 5

זוויות במשולש הן 45° ו־65°. מה הזווית השלישית?

________________________________________________________

שאלה 6

במשולש שווה שוקיים זווית הראש 40°. מה כל זווית בסיס?

________________________________________________________

שאלה 7

בסיס משולש 14 וגובהו לבסיס 5. מה השטח?

________________________________________________________

שאלה 8

שלוש זוויות של משולש שוות בהתאמה לשלוש זוויות של אחר. האם זה מספיק לחפיפה? כתבו כן או לא.

________________________________________________________

בדיקה עצמית

האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.