קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

חפיפת משולשים: תכנון וכתיבת הוכחה

מזהים חלקים משותפים וקודקודיות, בונים הוכחה ומבחינים בין נתון מספיק לנתון חסר. המסלול מותאם לנושא ולידע הקודם, ואינו מצהיר על כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/triangle-congruence?target=4

לפני שמתחילים

1. צלע משותפת היא שוויון שאפשר לנמק

צלע שמשתתפת בשני משולשים שווה לעצמה. זהו נתון מותר בהוכחת חפיפה, גם אם לא כתבו לה מספר. כדי להוכיח שקטע חוצה זווית, אפשר לחפש שני משולשים שהזוויות המבוקשות נמצאות בהם, להוכיח חפיפה ואז להסיק שוויון זוויות מתאימות. אין לכתוב שהקטע חוצה זווית לפני שהוכחנו זאת.

דוגמה: במשולש ABC נתון AB=AC. הנקודה D היא אמצע BC. הוכיחו ש־AD חוצה את ∠BAC.

  1. AB=AC מן הנתון. BD=CD מפני ש־D אמצע BC. AD=AD כי זו צלע משותפת.
  2. לכן △ABD ≅ △ACD לפי צ.צ.צ, עם A↔A, B↔C, D↔D.
  3. מן החפיפה ∠BAD=∠CAD כזוויות מתאימות.
  4. D בתוך BC, ולכן AD בתוך זווית A. השוויון שהוכח אומר בדיוק ש־AD חוצה אותה.
הצלע המשותפת משלימה צ.צ.צααABCD
הצלע המשותפת משלימה צ.צ.צ

נתון AB=AC, ו־D אמצע BC ולכן BD=DC. AD משותפת לשני המשולשים. החפיפה △ABD≅△ACD מוכיחה את שוויון הזוויות המסומנות α; הן מסקנה ולא נתון. אין צורך להניח מראש ש־AD מאונך או חוצה זווית.

תרגול מודרך

באותו מבנה: AB=AC, D אמצע BC. איזה שוויון שלישי משלים צ.צ.צ בין ABD ל־ACD?

  • AD=AD
  • AB=BD
  • ∠BAD=∠CAD

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

לאחר שהוכח △ABD ≅ △ACD ונתון B,D,C על ישר בסדר הזה, מה נובע על ∠ADB ו־∠ADC?

  • שתיהן 60°, כי אלה משולשים
  • שתיהן 90°, כי הן שוות וצמודות
  • אין קשר ביניהן

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. חיתוך אלכסונים: קודקודיות משלימות צ.ז.צ

במשולשים משני צדי נקודת חיתוך צריך לעקוב אחרי קרניים מנוגדות. אם A,O,C נמצאות על ישר בסדר הזה ו־B,O,D על ישר אחר בסדר הזה, אז ∠AOB ו־∠COD קודקודיות ושוות. כאשר גם AO=CO ו־BO=DO, הזווית הזו כלואה בין הצלעות השוות. אפשר להוכיח חפיפה בלי להניח מראש שהצלעות החיצוניות מקבילות או שוות.

דוגמה: שני קטעים AC ו־BD נחתכים ב־O שנמצאת בתוך שניהם. נתון AO=CO ו־BO=DO. הוכיחו AB=CD.

  1. AO=CO ו־BO=DO מן הנתון.
  2. ∠AOB=∠COD כי הן קודקודיות בחיתוך שני הישרים.
  3. הזוויות כלואות בין זוגות הצלעות, לכן △AOB ≅ △COD לפי צ.ז.צ.
  4. AB=CD כצלעות מתאימות. לא היה צורך להניח שהמרובע הוא מקבילית.

תרגול מודרך

A,O,C ו־B,O,D על שני ישרים שונים, בסדרים האלה. איזו זווית קודקודית ל־∠AOB?

  • ∠BOC
  • ∠COD
  • ∠AOD

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בקטעים AC ו־BD הנחתכים בנקודה פנימית O נתון AO=CO, BO=DO. איזה נימוק מוכיח △AOD ≅ △COB?

  • צ.צ.צ: כל הצלעות שוות מן הנתון
  • ז.ז.ז הוא משפט חפיפה
  • צ.ז.צ: זוגות החצאים שווים והזוויות AOD,COB קודקודיות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מתחילים מהמטרה ובוחרים מידע שחסר

כדי להוכיח שוויון בין שתי צלעות, בוחרים משולשים שבתוכם הן יכולות להיות צלעות מתאימות. אחר כך מחפשים נתונים שיספיקו למשפט חפיפה. יש יותר מדרך אפשרית, אך כל דרך צריכה להיות שלמה. פירוש סימון אמצע או חוצה זווית הוא צעד בהוכחה; מראה השרטוט אינו צעד. חשוב גם שהמסקנה משתמשת באותו סדר התאמה שבו הוכחה החפיפה.

דוגמה: במשולש ABC נתון AB=AC. הנקודה D בתוך BC ו־AD חוצה את ∠BAC. הוכיחו BD=CD בלי להניח ש־D אמצע.

  1. המטרה BD=CD מציעה להשוות את המשולשים ABD ו־ACD.
  2. AB=AC מן הנתון; AD=AD צלע משותפת; ∠BAD=∠CAD מהגדרת חוצה הזווית.
  3. הזווית הנתונה כלואה בין AB,AD ובין AC,AD. לכן △ABD ≅ △ACD לפי צ.ז.צ.
  4. BD=CD כצלעות מתאימות, ולכן D אמצע BC. זו מסקנה מן החפיפה, ולא הנתון ששימש לה.

תרגול מודרך

AB=AC ו־D בתוך BC. כדי להשתמש ב־AB=AC ובצלע המשותפת AD לצ.ז.צ, איזה נתון נוסף מתאים?

  • AD נראה כמעט אנכי בציור
  • BD קצר מ־BC
  • AD חוצה את ∠BAC

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתון △ABD ≅ △ACD בסדר הזה. איזו מסקנה משתמשת נכון בהתאמה?

  • BD=CD
  • AB=CD
  • AD=AC

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. למה שלושה נתונים אינם תמיד מספיקים?

לא סופרים נתונים בלבד: בודקים איזה קשר הם יוצרים. שלוש זוויות שוות בהתאמה מתאימות גם למשולשים בגדלים שונים, ולכן אינן משפט חפיפה. שתי צלעות וזווית שאינה כלואה אינן מספיקות בדרך כלל; ייתכנו שני משולשים. אין בכך לומר שלעולם אי אפשר להוכיח חפיפה במצב כזה, אלא שצריך תנאי נוסף או נימוק אחר. במקרים ישרי זווית יש תנאים מיוחדים שנלמד במסלול המעמיק.

דוגמה: תלמיד טוען: ״בכל משולש שתי הזוויות הן 40° ו־60°, לכן המשולשים חופפים״. האם הטענה נכונה? איזה נתון עשוי להשלים הוכחה?

  1. הזווית השלישית בשניהם 80°, אבל שוויון שלוש זוויות אינו קובע גודל.
  2. אפשר לקחת משולש כזה ולהגדיל את כל צלעותיו פי 2; הזוויות נשארות והחפיפה אובדת.
  3. אם נוסיף שוויון של הצלעות המתאימות הכלואות בין 40° ל־60°, נקבל ז.צ.ז ונוכל להוכיח חפיפה.
  4. נדרש שוויון בין צלעות מתאימות, ולא שוויון מקרי בין צלעות בעלות תפקידים שונים.

תרגול מודרך

בשני משולשים כל הזוויות 60°. צלע באחד 2 ס״מ ובשני 5 ס״מ. מה נכון?

  • הם אינם חופפים, אף שהזוויות שוות
  • הם חופפים לפי ז.ז.ז
  • הצלע הנתונה אינה משפיעה על חפיפה

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתונות שתי צלעות שוות בהתאמה וזווית שווה שאינה כלואה. מהו הניסוח המדויק?

  • המשולשים בהכרח אינם חופפים
  • אין להסיק חפיפה אוטומטית; צריך לבדוק תנאי נוסף או דרך אחרת
  • תמיד יש חפיפה לפי צ.ז.צ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.