קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

מערכות משוואות: הצבה וחיבור משוואות

לומדים מהו זוג פתרון, מציבים משוואה במשוואה, מחברים משוואות ומתרגמים סיפור לשני תנאים. כל דרך מתחילה בדוגמה מלאה ומסתיימת בבדיקה בשתי המשוואות. זהו מסלול למידה מותאם, לא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

יסודות בחטיבה · שתי משוואות קוויות, בחירת שיטה וסיווג פתרונות; חקירה בפרמטרים היא העמקה לבחירה. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/systems-of-equations?target=3

לפני שמתחילים

1. פתרון הוא זוג שמקיים את שני התנאים

במערכת יש כמה משוואות שצריכות להתקיים יחד. בשני נעלמים מחפשים זוג סדור (x, y): המספר הראשון שייך ל־x והשני ל־y. לא מספיק שהזוג מקיים משוואה אחת. לדוגמה, x + y = 9 אומר שסכומם 9, ו־x − y = 3 אומר שהראשון גדול מהשני ב־3. בשלב הזה בודקים זוגות נתונים; בהמשך נלמד למצוא אותם.

דוגמה: בדקו אם (6, 3) הוא פתרון המערכת x + y = 9; x − y = 3.

  1. הזוג (6, 3) פירושו x = 6 ו־y = 3.
  2. מציבים במשוואה הראשונה: 6 + 3 = 9. התנאי הראשון מתקיים.
  3. מציבים בשנייה: 6 − 3 = 3. גם התנאי השני מתקיים, ולכן הזוג פותר את המערכת.
  4. לעומת זאת, (5, 4) נותן סכום 9 אבל הפרש 1. הוא פותר רק את המשוואה הראשונה ולכן אינו פתרון המערכת.

תרגול מודרך

איזה זוג (x, y) פותר את x + y = 7; x − y = 1?

  • (4, 3)
  • (3, 4)
  • (5, 2)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה זוג (x, y) פותר את 2x + y = 11; x + y = 7?

  • (3, 4)
  • (4, 3)
  • (5, 1)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מציבים כשנעלם כבר מבודד

כאשר כתוב y = x + 1, אפשר להחליף כל y בביטוי x + 1. זו שיטת ההצבה: משתמשים בקשר ממשוואה אחת בתוך המשוואה האחרת, ונשאר נעלם אחד. כותבים סוגריים סביב הביטוי המוצב כדי לשמור אותו בשלמותו. אחרי שמוצאים x, מציבים חזרה כדי למצוא y. בסוף בודקים את הזוג בשתי המשוואות המקוריות.

דוגמה: פתרו את y = x + 1; x + y = 7.

  1. במשוואה השנייה מחליפים את y ב־x + 1: x + (x + 1) = 7.
  2. מרכזים איברים דומים: 2x + 1 = 7. מעבירים את +1 לאגף ימין כ־−1: 2x = 6. זהו קיצור לחיסור 1 משני האגפים.
  3. מחלקים את שני האגפים במקדם 2: x = 3. מקדם הוא כופל, ולכן מבטלים אותו בחילוק ולא בשינוי סימן.
  4. חוזרים לקשר y = x + 1: מתקבל y = 4. הפתרון הוא (3, 4).
  5. בדיקה: 4 = 3 + 1 וגם 3 + 4 = 7.

תרגול מודרך

פתרו את y = 2x; x + y = 9. מהו הזוג (x, y)?

  • (6, 3)
  • (3, 6)
  • (3, 3)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו את y = x − 2; x + y = 10. מהו הזוג (x, y)?

  • (4, 6)
  • (8, 6)
  • (6, 4)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מבודדים נעלם ואז מציבים

אם אף נעלם אינו מבודד, בוחרים משוואה שקל לבודד בה אחד מהם. למשל מ־x + y = 8 מעבירים +x לאגף השני עם שינוי סימן ומקבלים y = 8 − x. זו אותה משוואה, כי חיסרנו x משני האגפים. כעת מציבים במשוואה האחרת. נוח להתחיל בנעלם שהמקדם שלו 1, כדי לא להוסיף שברים.

דוגמה: פתרו את 2x + y = 13; x + y = 8.

  1. מהמשוואה השנייה מבודדים y: מעבירים +x ומקבלים y = 8 − x.
  2. מציבים בראשונה: 2x + (8 − x) = 13. הסוגריים באים אחרי סימן +, ולכן מתקבל 2x + 8 − x = 13.
  3. מרכזים: x + 8 = 13. מעבירים +8 כ־−8: x = 5.
  4. חוזרים ל־y = 8 − x ומקבלים y = 3.
  5. בדיקה: 2 × 5 + 3 = 13 וגם 5 + 3 = 8. הפתרון (5, 3).

תרגול מודרך

פתרו את x + y = 10; 3x + y = 18. מהו הזוג (x, y)?

  • (4, 6)
  • (6, 4)
  • (8, 2)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו את x + 2y = 14; x + y = 9. מהו הזוג (x, y)?

  • (5, 4)
  • (4, 5)
  • (9, 0)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. מחברים משוואות ומבטלים נעלם

כאשר במערכת מופיעים +y ו־−y, חיבור המשוואות מבטל את y. מחברים אגף שמאל לאגף שמאל ואגף ימין לאגף ימין: אם שני שוויונות נכונים, גם סכומם נכון. לאחר החיבור שומרים אחת מהמשוואות המקוריות, כי המשוואה החדשה לבדה אינה מספיקה לקביעת שני הנעלמים. מוצאים נעלם אחד ואז מציבים חזרה.

דוגמה: פתרו את x + y = 10; x − y = 2 בעזרת חיבור המשוואות.

  1. מחברים אגפים מתאימים: (x + y) + (x − y) = 10 + 2.
  2. האיברים +y ו־−y מתבטלים, ולכן 2x = 12 ומקבלים x = 6.
  3. מציבים במשוואה הראשונה: 6 + y = 10. מעבירים +6 כ־−6: y = 4.
  4. בדיקה: 6 + 4 = 10 וגם 6 − 4 = 2. הפתרון הוא (6, 4).

תרגול מודרך

פתרו את 2x + y = 14; x − y = 1. מהו הזוג (x, y)?

  • (4, 5)
  • (5, 4)
  • (7, 0)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו את 3x + y = 17; x − y = 3. מהו הזוג (x, y)?

  • (2, 5)
  • (4, 5)
  • (5, 2)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. שני נעלמים בסיפור: כמות ומחיר

בבעיה מילולית מגדירים בנפרד מה מייצגים x ו־y ובאילו יחידות. תנאי על מספר הפריטים נותן משוואה אחת; תנאי על המחיר הכולל נותן משוואה שנייה. מספר פריטים צריך להיות שלם ולא שלילי. לכן בסוף בודקים גם את שתי המשוואות וגם את משמעות התוצאה בסיפור.

דוגמה: קנו 7 פריטים: מחברות במחיר 5 שקלים ועפרונות במחיר 2 שקלים. שילמו 23 שקלים. כמה פריטים מכל סוג קנו?

  1. נסמן x מספר מחברות ו־y מספר עפרונות. משוואת הכמות: x + y = 7. משוואת המחיר: 5x + 2y = 23.
  2. מבודדים מן הראשונה y = 7 − x ומציבים בשנייה: 5x + 2(7 − x) = 23.
  3. מכפילים את שני האיברים בסוגריים ב־2: 5x + 14 − 2x = 23, ולכן 3x + 14 = 23.
  4. מעבירים +14 כ־−14: 3x = 9. מחלקים ב־3: x = 3. מכאן y = 4.
  5. קנו 3 מחברות ו־4 עפרונות. בדיקה: 3 + 4 = 7 וגם 5 × 3 + 2 × 4 = 23; הכמויות שלמות ואינן שליליות.

תרגול מודרך

נמכרו 8 כרטיסים: כרטיס מבוגר עולה 20 שקלים וכרטיס ילד 12 שקלים. ההכנסה 128 שקלים. כמה כרטיסי מבוגר וכמה כרטיסי ילד נמכרו?

  • 4 מבוגר ו־4 ילד
  • 3 מבוגר ו־5 ילד
  • 5 מבוגר ו־3 ילד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

קנו 9 חבילות. חבילה גדולה עולה 8 שקלים וקטנה 5 שקלים. שילמו 60 שקלים. כמה חבילות גדולות וכמה קטנות קנו?

  • 4 גדולות ו־5 קטנות
  • 5 גדולות ו־4 קטנות
  • 6 גדולות ו־3 קטנות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.