קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

סטטיסטיקה והסתברות: שכיחויות, תנאים ומסלולים

מסלול תמיכה בנושאי סטטיסטיקה והסתברות: ממוצע משוקלל עם נעלם, הסתברות מותנית, הוצאה ללא החזרה ואי־תלות. היקף ממוקד עם גשרים אלגבריים, ולא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · שכיחות, ממוצע וחציון, אירועים והסתברות. במסלולי ההמשך יש הסתברות מותנית ואי־תלות המתאימות למסגרת ט׳, ואתגרי פרמטרים והכללה לבחירה. לייצוגי נתונים ושכיח ראו גם את היחידה הייעודית. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/statistics-probability?target=4

לפני שמתחילים

1. ממוצע מטבלת שכיחויות עם נתון חסר

בטבלת שכיחויות סכום הערכים הוא סכום המכפלות: כל ערך כפול מספר הופעותיו. אם אחת השכיחויות אינה ידועה, היא מופיעה גם בסכום הערכים וגם במספר הנתונים. בונים משוואה ורק אז פותרים. שכיחות חייבת להיות מספר שלם שאינו שלילי, והמכנה הכולל חייב להיות חיובי.

דוגמה: הערכים 2, 4, 6 מופיעים בשכיחויות 2, 3, x בהתאמה. הממוצע הוא 4. מצאו x.

  1. סכום הערכים הוא 2 × 2 + 4 × 3 + 6x = 16 + 6x; מספר הנתונים הוא 5 + x.
  2. הממוצע נותן = 4, כאשר x מספר שלם שאינו שלילי.
  3. כופלים ב־5 + x: 16 + 6x = 20 + 4x. לכן 2x = 4 ו־x = 2.
  4. בדיקה: הסכום 28 ומספר הנתונים 7, ולכן הממוצע 4.

תרגול מודרך

הערכים 1, 3, 5 מופיעים בשכיחויות 2, x, 4 בהתאמה. הממוצע הוא 3.5. מה x?

  • 6
  • 2
  • 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

הערכים 2, 4, 6 מופיעים בשכיחויות 3, x, 1 בהתאמה. הממוצע הוא 3.5. מה x?

  • 2
  • 3
  • 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מידע נוסף משנה את קבוצת ההשוואה

הסתברות מותנית עונה על השאלה ״מה ההסתברות ל־A, אם כבר ידוע B?״. בטבלת ספירה מצמצמים את המרחב לפריטים שב־B, ואז סופרים כמה מהם גם ב־A. המכנה הוא מספר הפריטים בתנאי, ולא מספר הפריטים הכולל. P(A|B) בדרך כלל שונה מ־P(B|A); סדר התנאי חשוב. מניחים בחירה אחידה מתוך האוסף.

דוגמה: באוסף דמיוני 100 מוצרים: 40 מסוג א ו־60 מסוג ב. נמצאו תקינים 30 מסוג א ו־30 מסוג ב. נבחר מוצר באקראי ונודע שהוא תקין. מה ההסתברות שהוא מסוג א?

  1. המידע ״תקין״ מצמצם את הקבוצה ל־30 + 30 = 60 מוצרים.
  2. מתוך התקינים, 30 הם מסוג א, ולכן P()א|תקין) = = .
  3. = היה עונה על השאלה ההפוכה: ההסתברות לתקין בהינתן סוג א.
  4. שומרים על אותו מונה של חיתוך, אבל המכנה נקבע על פי התנאי.

תרגול מודרך

באוסף 80 מוצרים: 30 מסוג א ו־50 מסוג ב. תווית מופיעה על 24 מוצרי א ועל 36 מוצרי ב. נבחר מוצר בבחירה אחידה ונודע שיש עליו תווית. מה ההסתברות שהוא מסוג א?

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מתוך 60 כרטיסים, 40 נקנו ברשת ו־20 בקופה. כרטיסי מבוגר הם 30 מהרשת ו־10 מהקופה. בוחרים כרטיס באחידות ונודע שהוא של מבוגר. מה ההסתברות שנקנה ברשת?

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. שתי הוצאות ללא החזרה: מעדכנים בכל ענף

בהוצאה ללא החזרה הרכב השק משתנה. לאורך מסלול כופלים הסתברויות מותנות; בין מסלולים זרים המתארים אותו אירוע מחברים. ״צבעים שונים״ כולל גם אדום ואז כחול וגם כחול ואז אדום. התנאי ״ללא החזרה״ משנה את המכנה השני ואת מספר הכדורים בצבע שהוצא.

דוגמה: בשק 3 אדומים ו־2 כחולים. מוציאים שני כדורים ברצף ללא החזרה, בבחירה אחידה בכל פעם. מה ההסתברות לשני אדומים?

  1. בהוצאה הראשונה ההסתברות לאדום היא .
  2. לאחר אדום ראשון נשארים 2 אדומים מתוך 4 כדורים, ולכן ההסתברות המותנית היא .
  3. כופלים לאורך המסלול: ()() = .
  4. המכפלה ()() הייתה מתאימה להחזרה ולערבוב, ולא למצב הנתון.

תרגול מודרך

בשק 4 אדומים ו־2 כחולים. מוציאים שניים ללא החזרה, בבחירה אחידה. מה ההסתברות לצבעים שונים?

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בשק 3 ירוקים ו־3 צהובים. מוציאים שניים ללא החזרה, בבחירה אחידה. מה ההסתברות לאותו צבע?

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. בודקים אי־תלות מתוך הנתונים

מאורעות A ו־B בלתי תלויים אם הידיעה ש־B קרה אינה משנה את ההסתברות ל־A. כאשר P(B) חיובית, בודקים P(A|B) = P(A). אפשר גם לבדוק P() וגם B) = P(A)P(B). אין להסיק אי־תלות רק מפני שהתכונות נשמעות שונות. מאורעות זרים בעלי הסתברויות חיוביות דווקא תלויים: התרחשות אחד מונעת את האחר.

דוגמה: בוחרים באחידות קופסה מתוך 100. ל־40 יש סימון A, ל־50 סימון B ול־20 שני הסימונים. האם הסימונים בלתי תלויים?

  1. P(A) = = ו־P(B) = = .
  2. P() וגם B) = = , והמכפלה ()() גם היא .
  3. לכן המאורעות בלתי תלויים באוסף הזה.
  4. בדיקה נוספת: בקרב 50 קופסאות B, ל־20 יש A. לכן P(A|B) = = .

תרגול מודרך

בוחרים באחידות מתוך 80 כרטיסים. ל־20 סימון A, ל־32 סימון B ול־8 שני הסימונים. האם A ו־B בלתי תלויים?

  • כן, כי אין כרטיס עם שני סימונים
  • כן, כי = ()()
  • לא, כי 20 שונה מ־32

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בוחרים באחידות מתוך 60 קופסאות. ל־30 סימון A, ל־20 סימון B ול־15 שניהם. מה נכון?

  • בלתי תלויים, כי 30 + 20 קטן מ־60
  • זרים, כי מספרי הסימונים שונים
  • תלויים, כי שונה מ־

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.