קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

סימנים, מרחק והצדקה במספרים מכוונים

חוקרים מתי ביטוי חיובי או שלילי, מתרגמים מרחק לתחום, ומצדיקים מסקנות בעזרת גודל וסימן. רמת למידה של קליק לפי הידע הקודם; ההרחבות אינן חובת לימוד לכל תלמידי החטיבה.

הרחבה לבחירה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/signed-numbers?target=5

לפני שמתחילים

1. סימן מכפלה נקבע בין נקודות האפס

כדי לדעת את סימן (x − 2)(x + 3) לא חייבים לפתוח סוגריים. הגורם הראשון מתאפס ב־2 והשני ב־−3. נקודות אלה מחלקות את הישר לתחומים שבהם הסימן של כל גורם קבוע. מכפלה של סימנים זהים חיובית, של סימנים שונים שלילית, ובנקודת אפס של גורם המכפלה אפס. בודקים כל תחום בנפרד; לא מסיקים על כל המספרים מדוגמה אחת.

דוגמה: באילו תחומים (x − 1)(x + 4) חיובי?

  1. נקודות האפס הן x = −4 ו־x = 1. מחלקים את הישר לשלושה תחומים.
  2. אם x < −4 שני הגורמים שליליים, ולכן מכפלתם חיובית.
  3. אם −4 < x < 1, אז x + 4 חיובי ו־x − 1 שלילי, ולכן המכפלה שלילית.
  4. אם x > 1 שני הגורמים חיוביים. לכן התשובה היא x < −4 או x > 1; נקודות האפס עצמן אינן נכללות.

תרגול מודרך

באיזה תחום מתקיים (x − 2)(x + 3) < 0?

  • x < −3 או x > 2
  • −3 ≤ x ≤ 2
  • −3 < x < 2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהם כל הפתרונות של (x + 1)(x − 4) ≥ 0?

  • x ≤ −1 או x ≥ 4
  • −1 ≤ x ≤ 4
  • x < −1 או x > 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. ממרחק לתחום: בתוך הטווח או מחוצה לו

הביטוי |x − c| מודד מרחק מן המרכז c. תנאי |x − c| < d, כאשר d > 0, אומר ש־x נמצא בין c − d לבין c + d, בלי הקצוות. התנאי |x − c| ≥ d אומר ש־x נמצא מחוץ לקטע הפנימי, כולל שני הקצוות. בחלק הפנימי שני התנאים מתקיימים יחד; בחלק החיצוני מספיק אחד משני הצדדים. לכן מבחינים בין ״וגם״ לבין ״או״.

דוגמה: פתרו |x + 1| ≤ 3 והסבירו מה המשמעות הגאומטרית.

  1. כותבים |x − (−1)| ≤ 3. המרכז הוא −1 והמרחק המרבי הוא 3.
  2. הקצה השמאלי הוא −1 − 3 = −4, והקצה הימני הוא −1 + 3 = 2.
  3. כל מספר ביניהם מתאים, כולל הקצוות: −4 ≤ x ≤ 2.
  4. בדיקה: במרכז המרחק 0, בקצוות המרחק 3, ואילו ב־3 המרחק 4 ולכן הוא אינו מתאים.

תרגול מודרך

מהם כל המספרים המקיימים |x − 2| < 3?

  • −1 < x < 5
  • x < −1 או x > 5
  • −1 ≤ x ≤ 5

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהם כל הפתרונות של |x + 1| ≥ 2?

  • x < −3 או x > 1
  • x ≤ −3 או x ≥ 1
  • −3 ≤ x ≤ 1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. סימנים מנוגדים: הגודל מכריע את סימן הסכום

אם a שלילי ו־b חיובי, סימן הסכום אינו נקבע מהסימנים בלבד. אפשר לכתוב a = −|a|, ולכן a + b = b − |a|. אם b גדול מ־|a| הסכום חיובי; אם הוא קטן הסכום שלילי; ואם הם שווים הסכום אפס. מכאן שמסקנה כללית צריכה להסתמך על נתון מתאים, או להישלל באמצעות דוגמה נגדית. זה שונה ממכפלה: מכפלת שלילי וחיובי תמיד שלילית.

דוגמה: ידוע a < 0 < b. האם בהכרח a + b > 0?

  1. ננסה זוג מתאים: a = −2 ו־b = 5. הסכום 3 חיובי.
  2. אבל a = −7 ו־b = 5 מקיימים בדיוק אותם תנאי סימן ונותנים סכום −2.
  3. לכן הטענה ״בהכרח חיובי״ אינה נכונה. גם אפס אפשרי, למשל −5 + 5.
  4. המידע החסר הוא ההשוואה בין |a| לבין b. לעומת זאת ab < 0 בכל הזוגות האלה.

תרגול מודרך

ידוע a < 0 < b וגם |a| > b. מה חייב להיות נכון?

  • a + b = 0
  • a + b < 0
  • a + b > 0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

ידוע a < 0 < b, בלי מידע נוסף על הגדלים. איזו טענה נכונה תמיד?

  • a + b > 0
  • a + b < 0
  • ab < 0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. העמקה: מרחק התוצאה לעומת סך המרחקים

שלב העמקה לבחירה, שאינו מוצג כדרישת חובה רשמית. תמיד מתקיים |a + b| ≤ |a| + |b|. אפשר להבין זאת כשני שינויים על ישר המספרים: הדרך הכוללת אינה קצרה מן המרחק בין ההתחלה לסוף. אם שני מספרים אינם אפס ובעלי אותו סימן, השינויים באותו כיוון ומתקבל שוויון. אם הם בעלי סימנים מנוגדים, חלק מהשינוי מתבטל ולכן האי־שוויון חד. כשאחד המספרים אפס מתקבל שוויון. כך ההשוואה מלמדת גם על הסימנים.

דוגמה: השוו |−4 + 7| ל־|−4| + |7|, ואחר כך הסבירו מה משתנה כששני המספרים שליליים.

  1. קודם מחברים בתוך הערך המוחלט: |−4 + 7| = |3| = 3.
  2. בסכום הערכים המוחלטים מתקבל 4 + 7 = 11. לכן כאן 3 < 11.
  3. השינוי 4 שמאלה מבטל חלק מהשינוי 7 ימינה, ולכן מרחק התוצאה קטן מסך הגדלים.
  4. לעומת זאת |−4 − 7| = |−11| = 11 = 4 + 7. כששני השינויים שמאלה אין ביטול.

תרגול מודרך

מה היחס הנכון בין |−6 + 2| לבין |−6| + |2|?

  • 4 = 8
  • 8 < 4
  • 4 < 8

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

שני מספרים ממשיים אינם אפס ובעלי סימנים מנוגדים. איזו טענה נכונה תמיד?

  • |a + b| < |a| + |b|
  • |a + b| = |a| + |b|
  • |a + b| > |a| + |b|

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.