קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

מספרים מכוונים: כיוון, שינוי ופעולות

קוראים מספרים בהקשר יומיומי, מבחינים בין מיקום לשינוי, ומתקדמים להפרשים ולשילוב פעולות. רמת למידה של קליק לפי הידע הקודם; ההרחבות אינן חובת לימוד לכל תלמידי החטיבה.

יסודות בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/signed-numbers?target=3

לפני שמתחילים

1. שלילי אינו בהכרח קטן יותר בערך מוחלט

מספר מכוון מתאר מיקום ביחס לאפס: טמפרטורה שלילית נמצאת מתחת לאפס. על ישר המספרים, המספר שנמצא ימינה גדול יותר. לכן −2 גדול מ־−5, אף שהמרחק של −5 מהאפס גדול יותר. המרחק מאפס תמיד אינו שלילי; הוא אינו קובע לבדו איזה מספר גדול יותר. אפס אינו חיובי ואינו שלילי. כשמשווים טמפרטורות, ״חם יותר״ פירושו מספר גדול יותר.

דוגמה: בבוקר נמדדו −7 מעלות ובצהריים −3 מעלות. באיזו מדידה היה חם יותר?

  1. מסמנים את האפס ואת שני המספרים משמאלו: −7 רחוק יותר שמאלה, ו־−3 קרוב יותר לאפס.
  2. −3 נמצא מימין ל־−7, ולכן −3 > −7.
  3. בצהריים היה חם יותר. העובדה שהמספר 7 גדול מ־3 אינה הופכת את −7 לטמפרטורה הגבוהה.

תרגול מודרך

באיזו טמפרטורה חם יותר: −5 מעלות או −2 מעלות?

  • −2 מעלות
  • −5 מעלות
  • שתיהן שוות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזו רשימה מסודרת מהקטן לגדול?

  • 3, 0, −1, −6
  • −6, −1, 0, 3
  • 0, −1, −6, 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. נקודת התחלה ושינוי: מחברים מספר מכוון

בחיבור מתחילים במספר הראשון. תוספת חיובית מזיזה ימינה; תוספת שלילית מזיזה שמאלה. התחלה שלילית אינה מחייבת תוצאה שלילית: שינוי מספיק גדול יכול להעביר אותנו דרך האפס. בסיפור חשוב להפריד בין המצב ההתחלתי, השינוי והמצב הסופי. ״עלייה ב־7״ היא תוספת +7, גם כשהטמפרטורה ההתחלתית שלילית.

דוגמה: הטמפרטורה הייתה −6 מעלות, עלתה ב־9 ואחר כך ירדה ב־2. מה הטמפרטורה הסופית?

  1. מתחילים ב־−6. העלייה מתוארת בחיבור: −6 + 9.
  2. 6 יחידות מביאות לאפס, ועוד 3 יחידות מביאות ל־3.
  3. הירידה ב־2 היא תוספת −2: 3 + (−2) = 1.
  4. לכן הטמפרטורה הסופית היא מעלה אחת מעל האפס. השינוי הכולל הוא +7, ולא הטמפרטורה הסופית.

תרגול מודרך

הטמפרטורה היא −4 מעלות והיא עולה ב־7 מעלות. מה הטמפרטורה החדשה?

  • 11 מעלות
  • 3 מעלות
  • −11 מעלות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מעלית נמצאת בקומה 2 ויורדת 5 קומות. באיזו קומה היא תיעצר, אם קומת הכניסה מסומנת 0?

  • קומה 7
  • קומה −7
  • קומה −3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. כדי למצוא שינוי מחסרים: סוף פחות התחלה

השינוי ממצב התחלתי למצב סופי הוא סוף פחות התחלה. חיסור של מספר שלילי שקול לחיבור המספר הנגדי: a − (−b) = a + b. זה אינו כלל שאומר שכל שני מינוסים בכל מקום נעלמים; הוא מתאר חיסור של מספר שלילי. ההפרש יכול להיות חיובי, שלילי או אפס. המרחק בין שתי נקודות הוא גודל לא־שלילי, ולכן אם מבקשים מרחק לוקחים את הערך המוחלט של ההפרש.

דוגמה: הטמפרטורה עלתה מ־−8 מעלות ל־−3 מעלות. מה השינוי? ומה היה השינוי בכיוון ההפוך?

  1. כותבים סוף פחות התחלה: −3 − (−8). הסוגריים שומרים על המספר ההתחלתי השלילי.
  2. חיסור −8 הוא חיבור 8: −3 + 8 = 5. זו עלייה של 5 מעלות.
  3. בכיוון ההפוך: −8 − (−3) = −8 + 3 = −5. זו ירידה של 5 מעלות.
  4. המרחק בין שתי הטמפרטורות הוא 5 בשני הכיוונים, אבל סימן השינוי תלוי בכיוון.

תרגול מודרך

מהו הערך של −2 − (−6)?

  • −8
  • −4
  • 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

הטמפרטורה השתנתה מ־3 מעלות ל־−4 מעלות. מהו השינוי המכוון?

  • −7 מעלות
  • 7 מעלות
  • −1 מעלות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. שינוי חוזר: כפל קודם לחיבור

כשאותו שינוי חוזר כמה פעמים אפשר לתאר אותו בכפל. ארבע ירידות של 3 נותנות 4 × (−3) = −12. בכפל, סימנים שונים נותנים תוצאה שלילית וסימנים זהים נותנים תוצאה חיובית. מספר הגורמים השליליים קובע את הסימן; גודל המכפלה מחושב לפי הגדלים הרגילים. בביטוי בלי סוגריים מחשבים כפל וחילוק לפני חיבור וחיסור.

דוגמה: במשחק מתחילים עם 10 נקודות. מפסידים 4 נקודות בכל אחד משלושה סיבובים, ואז מקבלים 5 נקודות. מה הניקוד?

  1. כל הפסד הוא שינוי −4. שלושה הפסדים הם 3 × (−4) = −12.
  2. כותבים את כל הסיפור: 10 + 3 × (−4) + 5.
  3. מחשבים קודם את הכפל, ואחר כך 10 − 12 + 5 = 3.
  4. הניקוד הסופי 3. הכפל ספר שלוש ירידות, לא שלוש נקודות.

תרגול מודרך

חשבו 4 × (−3) + 5.

  • −7
  • −17
  • 8

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

חשבו (−2) × (−5) − 6.

  • 16
  • 4
  • −16

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.