יחס — מהבסיס לבעיות מילוליות

מספרי היחס מתארים מבנה, ולא בהכרח את מספר הפריטים בפועל. אם כל חלק כולל ארבעה פריטים, שני חלקים כוללים שמונה ושלושה חלקים כוללים שנים־עשר. היחס נשמר מפני שבכל הקבוצות משתמשים באותו גודל של חלק.

הרחבת יחס פירושה כפל של כל מספרי היחס באותו גורם חיובי. כך כל חלק גדל באותה מידה וההשוואה נשמרת. כפל של צד אחד בלבד משנה את חלקה של קבוצה אחת ביחס לאחרת, ולכן אינו הרחבה חוקית.

צמצום הוא הפעולה ההפוכה להרחבה: מחלקים את שני מספרי היחס באותו מספר שאינו אפס. בקבוצות של פריטים נוח לחפש מחלק משותף גדול. הצמצום משנה את הכתיבה, אך אינו משנה את ההשוואה בין הכמויות.

כפל שתי הכמויות באותו גורם שומר על היחס. תוספת חיובית שווה אינה שיטה כללית לשמירת יחס: כששתי הכמויות שונות היא משנה את היחס; כשהן שוות, היחס 1:1 נשמר. תוספת של שני פריטים יכולה להיות גדולה ביחס לקבוצה קטנה וקטנה יחסית לקבוצה גדולה. לכן משווים את גורמי ההגדלה, גם כאשר ההפרש בין הקבוצות נשאר קבוע.

לפני השוואת אורכים צריך לבטא אותם באותה יחידה. מטר אחד הוא מאה סנטימטרים, ולכן המספר 1 במטרים אינו קטן מהמספר 50 בסנטימטרים. רק אחרי ההמרה כותבים את היחס ומצמצמים אותו, תוך שמירת סדר הגדלים.

השוואת יחידות אינה מיוחדת לאורכים. שעה היא שישים דקות, קילוגרם הוא אלף גרמים, ושקל הוא מאה אגורות. בוחרים יחידה אחת שמתאימה לשני הגדלים, ממירים אליה את שניהם, ורק אז מצמצמים את היחס המספרי.

כאשר ידוע גודלה של קבוצה אחת, היא מייצגת רק את מספר החלקים השייך לה. מחלקים את גודלה במספר החלקים שלה ומוצאים כמה שווה חלק אחד. אין לחלק בסכום החלקים, כי הכמות הנתונה אינה הסכום של כל הקבוצות.

אחרי שמצאנו כמה שווה חלק אחד, בונים את הקבוצה המבוקשת באמצעות מספר החלקים שלה. כך גודל הקבוצות משתנה, אבל היחס ביניהן נשמר. אפשר לבדוק על ידי צמצום הכמויות שהתקבלו וחזרה ליחס המקורי.

אם ידועה הכמות הכוללת, היא כוללת את חלקי שתי הקבוצות יחד. לכן מחברים את מספרי היחס לפני שמחלקים. המנה היא גודלו של חלק שווה אחד, ולא עדיין גודלה של אחת הקבוצות, אלא אם היא מיוצגת בחלק יחיד.

חלוקה לפי יחס דורשת שתי בדיקות: שהכמויות מסתכמות לסכום הנתון, ושהיחס ביניהן נכון. אחרי חלוקת הסכום למספר החלקים הכולל, מכפילים כל מספר ביחס בערך החלק. כך אף חלק מהכמות אינו נשכח ואינו נספר פעמיים.

כאשר הקבוצה הגדולה עולה על הקטנה בכמות נתונה, הנתון מתאר רק את החלקים העודפים. מחסרים את מספרי היחס כדי למצוא כמה חלקים מייצגים את ההפרש. חיבור החלקים היה מתאר את הסכום, שאינו הנתון במקרה הזה.

לאחר חישוב ערך החלק מההפרש, בונים כל קבוצה לפי חלקיה. ההפרש אינו הכמות של אף קבוצה בפני עצמה. בסוף מחסרים את הכמויות כדי לבדוק את הנתון, ומצמצמים את היחס כדי לבדוק שגם מבנה החלוקה נשמר.

ביחס 2:3, ההשוואה בין הראשונה לשנייה היא 23. אבל השלם מכיל חמישה חלקים, ולכן הראשונה היא 25 מהשלם. המכנה מספר למה משווים; שינוי של קבוצת ההשוואה מחייב לשנות אותו, אפילו כשהמונה נשאר אותו מספר.

יחס יכול לתאר גם שלוש קבוצות. כל מספר עדיין מייצג מספר חלקים שווים, והסדר עדיין קובע. כאשר נתון סכום של שלוש הקבוצות, מחברים את כל שלושת המספרים, מוצאים ערך חלק ומכפילים בנפרד עבור כל קבוצה.

קנה מידה הוא יחס בין אורך בשרטוט לאורכו במציאות. ביחס 1:100, כל סנטימטר בשרטוט מתאים למאה סנטימטרים במציאות. קודם מחשבים באותה יחידה, ורק אחר כך ממירים למטרים אם צריך. היחס מתאר אורכים, לא מספר פריטים.

בדרך חזרה מהמציאות לשרטוט מבטלים את גורם ההגדלה באמצעות חילוק. צריך להמיר תחילה את האורך לאותה יחידה שבה נמדד השרטוט. אם מחלקים מטרים כאילו היו סנטימטרים, מתקבלת תוצאה קטנה פי מאה מהאורך הנכון בשרטוט.

פרופורציה אומרת ששני יחסים מתארים אותה השוואה. כאשר רואים גורם הגדלה ברור, משתמשים בו כדי להשלים מספר חסר. בכל צד חייבים לשמור על אותו סדר של קבוצות; מונה של קבוצה אחת מתאים למונה של אותה קבוצה בצד האחר.

כששני שברים שווים והמכנים אינם אפס, אפשר לכפול את שני האגפים במכפלת המכנים. בכל צד מכנה אחד מצטמצם, ונשארת מכפלה אלכסונית. ״כפל בהצלבה״ הוא קיצור לפעולה הזאת על השוויון, והוא שימושי גם כשגורם ההגדלה אינו שלם.

יחס נשמר רק כאשר הקבוצות משתנות באותו גורם. אם מוסיפים פריטים לקבוצה אחת בלבד, מחשבים תחילה את הכמויות האמיתיות, מעדכנים רק את הקבוצה שהשתנתה, ואז כותבים ומצמצמים יחס חדש. אין להוסיף את מספר הפריטים ישירות למספר החלקים ביחס.