קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

משפחת המרובעים: תכונות והוכחות · אתגר והכללה

בונים הוכחות משולבות, חוקרים מרובע אמצעי צלעות ואמצעי אלכסוני טרפז, ובודקים תנאים מספיקים במסגרת חטיבת הביניים.

הרחבה לבחירה · מיפוי פדגוגי לחטיבת הביניים על בסיס תוכנית החטיבה; ההרחבות מסומנות לפי מוכנות. אין כאן אימות מלא לכל החרגות תוכנית תשפ״ז. הרמות הן עומק למידה, לא מספר יחידות בתיכון. בונים הוכחות משולבות, חוקרים מרובע אמצעי צלעות ואמצעי אלכסוני טרפז, ובודקים תנאים מספיקים במסגרת חטיבת הביניים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/quadrilaterals?target=5

לפני שמתחילים

1. זוג צלעות נגדיות: שוות וגם מקבילות

אם במרובע קמור זוג אחד של צלעות נגדיות הוא גם שווה וגם מקביל, המרובע מקבילית. חייב להיות זה אותו זוג: זוג מקביל וזוג אחר שווה עשויים לתאר טרפז שווה־שוקיים. להוכחה מעבירים אלכסון ומחפפים לפי צלע־זווית־צלע בעזרת זוויות מתחלפות.

דוגמה: במרובע קמור ABCD נתון AB ∥ CD וגם AB = CD. הוכיחו שזו מקבילית באמצעות AC.

  1. ∠BAC = ∠DCA כזוויות מתחלפות בין AB ו־CD.
  2. AB = CD נתון ו־AC = CA משותפת, לכן △BAC ≅ △DCA לפי צלע־זווית־צלע.
  3. מן החפיפה ∠BCA = ∠DAC, ולכן BC ∥ AD. יחד עם AB ∥ CD מתקבלת מקבילית.

תרגול מודרך

איזה צירוף מספיק למקבילית במרובע קמור ABCD?

  • AB = CD בלבד
  • AB ∥ CD וגם AB = CD
  • AB ∥ CD וגם AD = BC

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בטרפז שווה־שוקיים AB ∥ CD ו־AD = BC. מדוע אין כאן הוכחת מקבילית?

  • השוויון והמקבילות מתייחסים לזוגות שונים
  • כי אלכסוני הטרפז אינם שווים
  • כי אין צלעות נגדיות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. אלכסון חוצה זווית: זיהוי מעוין

אם אלכסון של מקבילית חוצה זווית בקצהו, המקבילית מעוין. למשל AC חוצה את ∠DAB. מן המקבילות AD ∥ BC מתקבל ∠DAC = ∠ACB. יחד עם ∠DAC = ∠CAB מתקבל במשולש ABC שוויון זוויות, ולכן AB = BC. אלה שתי צלעות סמוכות במקבילית, ומכאן ארבע צלעות שוות. התנאי אינו מספיק למרובע כללי.

דוגמה: במקבילית ABCD נתון ∠DAC = ∠CAB. הוכיחו ש־ABCD מעוין.

  1. AD ∥ BC ולכן ∠DAC = ∠ACB כזוויות מתחלפות.
  2. מהנתון ∠DAC = ∠CAB, לכן ∠ACB = ∠CAB.
  3. במשולש ABC מול זוויות שוות צלעות שוות: AB = BC. מקבילית בעלת צלעות סמוכות שוות היא מעוין.

תרגול מודרך

במשולש ABC אם ∠CAB = ∠ACB, אילו צלעות שוות?

  • BC = AB
  • AC = AB
  • AC = BC

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מקבילית שאלכסון שלה חוצה זווית אחת ואלכסוניה שווים היא מה?

  • מעוין שאינו מלבן
  • טרפז
  • ריבוע

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מרובע אמצעי הצלעות: הוכחה בעזרת משולשים

בכל מרובע קמור ABCD, אם E,F,G,H הם אמצעי AB,BC,CD,DA בהתאמה, המרובע EFGH הוא מקבילית. במשולשים ABC ו־ADC קטעי האמצעים EF ו־HG מקבילים ל־AC ושווים למחציתו; כך מתקבל זוג נגדיות שוות ומקבילות. בנוסף FG ו־EH מקבילים ל־BD ושווים למחציתו. תכונות האלכסונים של המרובע המקורי קובעות את סוג מקבילית האמצעים. לתזכורת: ישר דרך אמצע צלע במשולש המקביל לצלע שנייה יוצר משולש דומה ביחס 1:2; לכן הוא חוצה גם את הצלע השלישית ואורכו מחצית הצלע המקבילה. ההצדקה המלאה נלמדת בשלב קטע האמצעים בטרפז במסלול תרגול והעמקה.

דוגמה: במרובע קמור ABCD האלכסונים AC ו־BD מאונכים. הוכיחו שמרובע אמצעי הצלעות EFGH הוא מלבן.

  1. EF ∥ AC ו־HG ∥ AC, וכן EF = HG = , לפי קטע אמצעים במשולש. לכן EFGH מקבילית.
  2. גם FG ∥ BD לפי קטע אמצעים במשולש BCD.
  3. מאחר ש־AC ⟂ BD, גם EF ⟂ FG. במקבילית יש זווית ישרה, ולכן EFGH מלבן.
מרובע אמצעי הצלעותABCDEFGH
מרובע אמצעי הצלעות

אלכסוני ABCD מאונכים. כל צלע של EFGH מקבילה לאחד האלכסונים, ולכן EFGH מלבן. סימני המקבילות הם מסקנות.

תרגול מודרך

אלכסוני מרובע קמור שווים. איזה סוג מובטח למרובע אמצעי הצלעות?

  • ריבוע בהכרח
  • טרפז
  • מעוין

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

אלכסוני מרובע קמור שווים ומאונכים. מהו מרובע אמצעי הצלעות?

  • אין די מידע לקבוע
  • ריבוע
  • מלבן שאינו מעוין

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. טרפז: מזוויות בסיס שוות לשוקיים שוות

בטרפז ABCD עם AB ∥ CD, זוויות שוות ליד אותו בסיס מספיקות להוכחת שווה־שוקיים. בהוכחה נוחה כאשר AB קצר מ־CD וממוקם מעליו, מורידים אנכים AE ו־BF אל CD. מתקבל מלבן ABFE, ולכן AE = BF. במשולשים ישרי־הזווית ADE ו־BCF זוויות הבסיס D ו־C שוות, ומכאן חפיפה ושוויון השוקיים. כשמסתמכים על רגלי אנכים בתוך הבסיס יש להצדיק זאת: זוויות הבסיס הארוך שוות וחדות במצב זה.

דוגמה: בטרפז קמור ABCD נתון AB ∥ CD, AB < CD וגם ∠D = ∠C = 60°. הורידו אנכים AE,BF אל CD. הוכיחו AD = BC.

  1. הזוויות C,D חדות, ולכן E,F נמצאות על קטע CD בסדר D,E,F,C. המרובע ABFE מלבן ולכן AE = BF.
  2. במשולשים ADE ו־BCF זוויות E,F ישרות וזוויות D,C שוות ל־60°, לכן גם זוויות DAE,CBF שוות ל־30°.
  3. הצלעות AE,BF שוות ונמצאות בין הזוויות 30° ו־90°. לכן המשולשים חופפים לפי זווית־צלע־זווית, ומתקבל AD = BC.

תרגול מודרך

בטרפז AB ∥ CD נתון ∠A = ∠B. מה נובע על ∠D ו־∠C?

  • ∠D = ∠A בהכרח
  • ∠D = ∠C
  • ∠D + ∠C = 180° בהכרח

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בטרפז AB ∥ CD נתון ∠A = 115° ו־∠B = 115°. מה ניתן להסיק?

  • AD = BC
  • AB = CD
  • המרובע מלבן

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. בין אמצעי אלכסוני הטרפז

בטרפז ABCD שבו AB ∥ CD ו־CD > AB, הקטע המחבר את אמצעי האלכסונים מקביל לבסיסים ואורכו מחצית הפרש אורכיהם. נבדיל בינו לבין קטע האמצעים המחבר אמצעי שוקיים, שאורכו מחצית הסכום. אם M אמצע AD, P אמצע AC ו־Q אמצע BD, אז MP = במשולש ADC ו־MQ = במשולש ADB. הנקודות M,Q,P על אותו ישר ובאותו כיוון מ־M, ו־MQ קצר מ־MP.

דוגמה: בטרפז ABCD הבסיסים AB = 6 ו־CD = 16 ס״מ. P,Q אמצעי AC,BD. מצאו PQ בעזרת M אמצע AD.

  1. במשולש ADC מתקיים MP ∥ CD ו־MP = 8 לפי משפט קטע אמצעים.
  2. במשולש ADB מתקיים MQ ∥ AB ו־MQ = 3. מאחר שהבסיסים מקבילים, M,Q,P נמצאות על אותו ישר, בסדר M,Q,P.
  3. PQ = MP − MQ = 8 − 3 = 5 ס״מ. זה מחצית ההפרש, ולא מחצית הסכום.
אמצעי האלכסונים: מחצית הפרש הבסיסיםABCDMQP
אמצעי האלכסונים: מחצית הפרש הבסיסים

M אמצע AD, Q אמצע BD, P אמצע AC; הסדר על הישר הוא M,Q,P. MP = 8, MQ = 3 ולכן QP = 5.

תרגול מודרך

בסיסי טרפז הם 9 ו־15 ס״מ. מה אורך הקטע בין אמצעי האלכסונים?

  • 3 ס״מ
  • 12 ס״מ
  • 6 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בסיסי טרפז הם 8 ו־20 ס״מ. מה הזוג: קטע אמצעי השוקיים; קטע אמצעי האלכסונים?

  • 6 ס״מ; 14 ס״מ
  • 12 ס״מ; 28 ס״מ
  • 14 ס״מ; 6 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

6. ביקורת הוכחה: לא מחליפים תנאי במסקנה

בהוכחה מסמנים כל טענה כנתון, כתוצאה קודמת או כיישום משפט שתנאיו נבדקו. אין להשתמש בתכונות המלבן כדי להוכיח שמרובע הוא מלבן. אלכסונים שווים לבדם אינם מספיקים; אלכסונים שווים וחוצים זה את זה מספיקים, כי החצייה מוכיחה קודם מקבילית. מאונכות נוספת מוכיחה ריבוע. יש להפריד גם בין דוגמה מספרית לבין הוכחה לכל המקרים.

דוגמה: במרובע קמור ABCD האלכסונים נפגשים ב־O ונתון AO = OC = BO = OD. תלמיד טען: ״כל החצאים שווים, ולכן זה ריבוע״. תקנו את המסקנה וההוכחה.

  1. AO = OC וגם BO = OD מוכיחים שהאלכסונים חוצים זה את זה, ולכן ABCD מקבילית.
  2. AC = AO + OC ו־BD = BO + OD; מארבעת השוויונות מתקבל AC = BD. מקבילית בעלת אלכסונים שווים היא מלבן.
  3. אין נתון על מאונכות האלכסונים או על צלעות סמוכות שוות. מלבן שאינו ריבוע מקיים את כל הנתונים, ולכן ריבוע אינו מסקנה הכרחית.

תרגול מודרך

איזה נתון נוסף ל־AO = OC = BO = OD יוכיח ריבוע?

  • AC = BD
  • AB ∥ CD
  • AC ⟂ BD

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

תלמיד כותב: ״ABCD מלבן כי אלכסוניו חוצים זה את זה, כפי שקורה במלבן״. מה הבעיה?

  • אין במלבן חציית אלכסונים
  • חציית האלכסונים מוכיחה רק מקבילית
  • חציית האלכסונים מוכיחה רק טרפז

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.