קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים
פונקציה ריבועית ופרבולה · אתגר והכללה
מנמקים קשר בין ייצוגים, משחזרים כלל מפרטים, בוחנים מספר מפגשים ומבקרים פתרונות במודלים עד כיתה ט׳.
הרחבה לבחירה · מיפוי פדגוגי לחטיבת הביניים על בסיס תוכנית החטיבה; ההרחבות מסומנות לפי מוכנות. אין כאן אימות מלא לכל החרגות תוכנית תשפ״ז. הרמות הן עומק למידה, לא מספר יחידות בתיכון. מנמקים קשר בין ייצוגים, משחזרים כלל מפרטים, בוחנים מספר מפגשים ומבקרים פתרונות במודלים עד כיתה ט׳.
יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.
https://klikedu.app/learn/quadratic-functions?target=5לפני שמתחילים
- הצבה בביטוי וחזקה שנייה, כולל מספרים שליליים.
- נקודות במערכת הצירים ופונקציה קווית.
- פתרון משוואות ריבועיות פשוטות באמצעות שורש או פירוק לגורמים.
- פירוק לגורמים ונוסחאות כפל מקוצר.
1. משחזרים כלל מקודקוד ונקודה
קודקוד (h, k) נותן את המבנה y = a(x − h)² + k אך אינו קובע את a. נקודה נוספת שאינה הקודקוד מאפשרת למצוא את המקדם בהצבה. בסיום בודקים גם את הקודקוד וגם את הנקודה. אם הנקודה הנוספת הייתה הקודקוד עצמו, היא לא הייתה מוסיפה מידע על a.
דוגמה: קודקוד פרבולה (1, −2), והנקודה (3, 6) עליה. מצאו את הכלל.
- כותבים y = a(x − 1)² − 2.
- מציבים את (3, 6): 6 = 4a − 2, לכן a = 2.
- הכלל y = 2(x − 1)² − 2. ב־x = 1 מתקבל −2 וב־x = 3 מתקבל 6.
תרגול מודרך
קודקוד (0, 1) ונקודה (2, 9). מה a?
- 4
- 8
- 2
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
קודקוד (−1, 4) ונקודה (1, 0). מה הכלל?
- y = −(x + 1)² + 4
- y = (x + 1)² + 4
- y = −(x − 1)² + 4
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
2. שלושה ייצוגים לאותה פונקציה
הצורה המפותחת נוחה לזיהוי חיתוך עם ציר y, הצורה המכפלתית מציגה אפסים, וצורת הקודקוד מציגה סימטריה וקיצון. אלו אינם גרפים שונים אם הביטויים שקולים. בודקים שקילות בפתיחת סוגריים, לא רק בנקודה אחת, כי פונקציות שונות יכולות להסכים בקלט מסוים.
דוגמה: השוו x² − 6x + 8, (x − 2)(x − 4), (x − 3)² − 1.
- פתיחת המכפלה נותנת x² − 6x + 8.
- פתיחת הריבוע נותנת x² − 6x + 9 − 1, אותו ביטוי.
- לכן האפסים 2 ו־4, הקודקוד (3, −1) והחיתוך עם ציר y הוא (0, 8).
תרגול מודרך
איזה ביטוי שקול ל־x² + 4x + 3?
- (x + 2)² − 1
- (x + 2)² + 3
- (x − 2)² − 1
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
מה קודקוד y = (x − 1)(x − 7)?
- (4, 9)
- (4, −9)
- (3, −8)
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
3. מסיקים אפסים וקיצון בלי לפתור הכול
צורת הקודקוד מאפשרת לזהות אם יש אפסים לפי גובה הקודקוד וכיוון הפתיחה. פרבולה הפונה מעלה עם מינימום חיובי אינה פוגשת את ציר x; מינימום אפס נותן נגיעה אחת; מינימום שלילי נותן שני מפגשים. בפרבולה הפונה מטה משתמשים באותו רעיון עם מקסימום, תוך היפוך הכיוונים.
דוגמה: כמה אפסים יש ל־y = −2(x − 3)² − 1?
- הריבוע אינו שלילי, ולכן −2(x − 3)² ≤ 0.
- כל הפלטים לכל היותר −1; הקודקוד (3, −1) הוא מקסימום.
- לכן אין אפסים והפונקציה שלילית לכל x.
תרגול מודרך
כמה אפסים יש ל־y = 3(x + 2)²?
- שניים
- אחד
- אין
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
כמה אפסים יש ל־y = −(x − 4)² + 9?
- אחד
- אין
- שניים
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
4. מספר מפגשים עם ישר אופקי
כדי לחקור ישר אופקי y = c אין צורך לפתור מחדש לכל c. משווים את גובה הישר לגובה הקודקוד. בפרבולה הפונה מעלה: מתחת למינימום אין מפגשים, בגובה המינימום מפגש אחד, ומעליו שניים. ההסבר נובע מסימטריה ומהיות הריבוע לא שלילי, ללא שימוש בכלים מעבר לחטיבה.
דוגמה: חקרו את מספר מפגשי y = (x − 2)² + 3 עם y = c.
- משווים: (x − 2)² = c − 3.
- אם c < 3 האגף הימני שלילי ולכן אין פתרון.
- אם c = 3 יש רק x = 2; אם c > 3 יש שני פתרונות סימטריים סביב 2.
תרגול מודרך
כמה מפגשים יש ל־y = −(x + 1)² + 5 עם y = 6?
- 1
- 2
- 0
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
באיזה c יש בדיוק מפגש אחד בין y = 2(x − 4)² − 7 ל־y = c?
- c = −7
- c = 4
- c = 7
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
5. השוואה לישר באמצעות הפרש ריבועי
גם כשישר אינו אופקי, ההפרש בין הפונקציות הוא ביטוי ריבועי. אפשר לכתוב אותו כריבוע ועוד קבוע כדי לקבוע מספר מפגשים או מי מעל מי. אם ההפרש הוא ריבוע, הוא לעולם אינו שלילי ונעלם לכל היותר בקלט אחד. זה נימוק אלגברי לכל הקלטים, חזק יותר מבדיקת כמה נקודות.
דוגמה: השוו y = x² עם y = 4x − 4 לכל x.
- ההפרש הוא x² − (4x − 4) = x² − 4x + 4 = (x − 2)².
- ההפרש אינו שלילי, ולכן הפרבולה אינה מתחת לישר באף קלט.
- שוויון רק ב־x = 2; שני הגרפים נפגשים ב־(2, 4), ובכל קלט אחר הפרבולה מעל הישר.
ההפרש בין הפרבולה לישר הוא (x − 2)² ולכן הפרבולה אינה מתחת לישר. הם שווים רק ב־(2, 4).
y = x²
- y = 4x − 4
תרגול מודרך
כמה מפגשים יש ל־y = x² ול־y = 2x − 3?
- 0
- 1
- 2
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
מתי y = x² נמצא מתחת ל־y = 4x?
- x < 0 או x > 4
- 0 < x < 4
- בכל x
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
6. קודקוד מחוץ לתחום המותר
מרב או מינימום של הנוסחה אינו תמיד מרב או מינימום במצב המתואר. כאשר המודל מוגבל לתחום, בודקים אם הקודקוד מותר. אם התחום כולו מצד אחד של הקודקוד, אפשר להשתמש בעלייה או בירידה ולהשוות את הקצוות הכלולים. גבול שאינו כלול אינו ערך שאפשר לבחור.
דוגמה: שטח A = −(x − 5)² + 25, אך מסיבות תכנון מותר 1 ≤ x ≤ 3. מה השטח המרבי המותר?
- קודקוד הנוסחה ב־x = 5, מחוץ לתחום.
- הפרבולה פונה מטה ועולה עבור x < 5, ולכן עולה בכל התחום המותר.
- הקלט הגדול המותר הוא 3; A(3) = −4 + 25 = 21. זה המרב המותר.
תרגול מודרך
באותו מודל, אם 6 ≤ x ≤ 8, היכן מתקבל המרב?
- x = 8
- x = 6
- x = 5
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
A = −(x − 4)² + 16 בתחום 1 ≤ x ≤ 6. מה המינימום בתחום?
- 12
- 16
- 7
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
7. בודקים פתרון ולא רק מחשבים
פתרון של בעיה ריבועית כולל נוסחה, תחום, פתרונות ובדיקה מול הסיפור. טעות נפוצה היא לחלק בנעלם וכך לאבד פתרון אפס, או להציג כל פתרון אלגברי גם אם אינו מותר. צריך להבחין בין פתרון שהמשוואה מאפשרת לבין פתרון שהמצב מקבל. שתי תשובות יכולות להיות תקפות, ולא תמיד צריך לבחור אחת.
דוגמה: במודל גובה דמיוני h(t) = −t² + 6t, בתחום 0 ≤ t ≤ 6, תלמיד מצא שהגובה 0 רק בזמן 6 כי חילק ב־t. תקנו.
- משווים לאפס: t(6 − t) = 0.
- מכאן t = 0 או t = 6. חלוקה ב־t בלי לבדוק t = 0 איבדה את הפתרון הראשון.
- שני הזמנים בתחום: הגוף בגובה אפס בתחילת המודל ובסיומו.
תרגול מודרך
באותו מודל, באילו זמנים הגובה 8?
- t = 8 בלבד
- t = −2 או t = −4
- t = 2 או t = 4
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
במודל h(t) = −t² + 6t שמוגבל כעת ל־0 ≤ t ≤ 3, באילו זמנים הגובה 8?
- t = 2 בלבד
- t = 4 בלבד
- t = 2 או t = 4
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
בדיקה עצמית
הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.