קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

משוואות ריבועיות: נוסחת השורשים ודיסקרימיננטה

בחירת שיטת פתרון, השלמה לריבוע, דיסקרימיננטה ובדיקת פתרונות מול תחום הגדרה. זהו מסלול הכנה ממוקד, ולא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · משוואות ריבועיות ופירוק, השלמה לריבוע ונוסחת השורשים לפי מוכנות. קשרי וייטה מסומנים כהעמקה; יחידה זו אינה מחליפה את לימוד הפונקציה הריבועית. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/quadratic-equations?target=4

לפני שמתחילים

1. בחירת פירוק בלי לאבד אפס

לפני שימוש בנוסחת השורשים בודקים אם יש גורם משותף. בהיעדר איבר חופשי, ax²+bx = x(ax+b). אין לחלק ב־x, מפני ש־x = 0 עשוי להיות פתרון. לאחר הפירוק מאפסים כל גורם.

דוגמה: פתרו 3x²−15x = 0.

  1. מוציאים 3x: מתקבל 3x(x−5) = 0.
  2. המספר 3 אינו אפס; אחד הגורמים x או x−5 מתאפס.
  3. הפתרונות הם x = 0 או x = 5, שניהם מקיימים את המשוואה המקורית.

תרגול מודרך

מהם כל הפתרונות של 2x²−8x = 0?

  • x = 0 או x = −4
  • x = 0 או x = 4
  • x = 4 בלבד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהם כל הפתרונות של 4x² = 12x?

  • x = 3 בלבד
  • x = −3 או x = 3
  • x = 0 או x = 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. השלמה לריבוע חושפת את המבנה

מוסיפים ומחסרים אותו מספר כדי לכתוב x²+bx = (x+)²−()². כך אפשר לפתור גם בלי לזהות פירוק שלם. לאחר בידוד הריבוע בודקים אם אגף ימין חיובי, אפס או שלילי, ורק אז מוציאים שורש.

דוגמה: פתרו x²−4x−5 = 0 בהשלמה לריבוע.

  1. x²−4x = 5. מוסיפים 4 לשני הצדדים.
  2. (x−2)² = 9 ולכן x−2 = 3 או x−2 = −3.
  3. מתקבלים x = 5 או x = −1.

תרגול מודרך

פתרו x²−6x+5 = 0 בהשלמה לריבוע.

  • x = −1 או x = −5
  • x = 3 בלבד
  • x = 1 או x = 5

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו x²+2x−2 = 0.

  • x = −1 ± 3
  • x = 1 ± 3
  • אין פתרון ממשי

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. נוסחת השורשים ומספר הפתרונות

למשוואה ax²+bx+c = 0 עם a ≠ 0 מגדירים Δ = b²−4ac. כאשר Δ > 0 יש שני פתרונות ממשיים שונים; כאשר Δ = 0 פתרון ממשי יחיד; וכאשר Δ < 0 אין פתרונות ממשיים. הנוסחה היא x = . יש לשמור סוגריים סביב כל המונה והמכנה.

דוגמה: פתרו 2x²−3x−2 = 0.

  1. a = 2, b = −3, c = −2.
  2. Δ = 9−4×2×(−2) = 25.
  3. x = ולכן x = 2 או x = −.
  4. בשני המקרים הצבה במשוואה נותנת אפס.

תרגול מודרך

כמה פתרונות ממשיים שונים יש למשוואה 3x²−6x+3 = 0?

  • פתרון אחד: x = 1
  • שני פתרונות שונים
  • אין פתרונות ממשיים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

כמה פתרונות ממשיים יש למשוואה 2x²+2x+3 = 0?

  • שני פתרונות
  • אין פתרונות ממשיים
  • פתרון יחיד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. משוואת עזר אינה מבטלת ערך אסור

כשמסלקים מכנה אלגברי, התחום של המשוואה המקורית נשאר בתוקף. קובעים אותו לפני הכפל, פותרים את המשוואה הריבועית שנוצרת, ומחזירים רק מועמדים שעומדים בתחום ומקיימים את השוויון המקורי.

דוגמה: פתרו = 0.

  1. תחום ההגדרה הוא x ≠ 2.
  2. כופלים ב־x−2 ומקבלים x²−4 = 0.
  3. המועמדים הם 2 ו־−2; 2 אסור.
  4. נשאר x = −2, ובמקור המונה אפס והמכנה −4.

תרגול מודרך

מהו פתרון המשוואה = 0?

  • x = 3 בלבד
  • x = −3 בלבד
  • x = 3 או x = −3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהו פתרון המשוואה = 0?

  • x = 2 או x = −3
  • אין פתרון
  • x = 2 בלבד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.