קליק · מתמטיקה

משוואות ריבועיות — מהרעיון אל הפתרון

מזהים משוואה ריבועית, פותרים בריבוע ובפירוק בלי לאבד אפס, ומתקדמים להשלמת ריבוע, נוסחת הפתרונות ומספר הפתרונות הממשיים.

https://klikedu.app/learn/quadratic-equations

1. מה משתנה כשמופיע ריבוע?

עד עכשיו פגשנו משוואות שבהן הנעלם מופיע בחזקה הראשונה. במשוואה ריבועית מופיע גם x². אחרי פתיחת סוגריים וכינוס איברים אפשר לכתוב אותה בצורה ax² + bx + c = 0, כאשר a אינו אפס. האותיות a, b ו־c מציינות מספרים קבועים, כולל הסימן שלהם. לא צריך לזכור עכשיו נוסחה לפתרון: קודם נלמד לזהות מה יש לפנינו ולהבין מדוע לפעמים מתאימים שני מספרים שונים.

דוגמה: נכתוב את 2x² + 3 = 5x בצורה מסודרת ונזהה את המקדמים.

  1. מעבירים את +5x לאגף שמאל ומשנים את סימנו ל־−5x: 2x² − 5x + 3 = 0. זו כתיבה מקוצרת של חיסור 5x משני האגפים, ולכן הפתרונות נשמרים.
  2. כעת a = 2, b = −5, c = 3. הסימן מינוס שייך למקדם b.
  3. זו משוואה ריבועית כי המקדם של x² אינו אפס. לעומת זאת, במשוואה 0x² + 2x − 6 = 0 האיבר הריבועי נעלם ונשארת משוואה קווית.

תרגול מודרך

במשוואה x² − 7x + 10 = 0, מהו b?

  • −7
  • 7
  • 10

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

כתבו את 3x² + 2x = 8 בצורה ax² + bx + c = 0.

  • 3x² − 2x + 8 = 0
  • 3x² + 2x + 8 = 0
  • 3x² + 2x − 8 = 0

תשובה: __________________________________________________

2. למה יכולים להיות שני פתרונות?

כאשר מעלים מספר בריבוע, גם מספר חיובי וגם המספר הנגדי לו נותנים אותה תוצאה: 4² = 16 וגם (−4)² = 16. לכן במשוואה x² = 16 יש שני פתרונות. חשוב להפריד בין שני דברים: הסימון 16 מציין את השורש הלא־שלילי, שהוא 4; אבל השאלה אילו מספרים בריבוע נותנים 16 מחייבת לבדוק גם את −4. כל היחידה עוסקת בפתרונות ממשיים בלבד.

דוגמה: נפתור x² − 9 = 0 ונבדוק את שני הפתרונות.

  1. מעבירים את −9 לאגף ימין ומשנים את סימנו ל־+9. מקבלים x² = 9.
  2. גם 3 וגם −3 נותנים 9 כאשר מעלים אותם בריבוע. לכן x = 3 או x = −3.
  3. בדיקה במשוואה המקורית: 3² − 9 = 0 וגם (−3)² − 9 = 0. הסוגריים חשובים: הם מראים שכל המספר השלילי עולה בריבוע.
  4. אם היינו מקבלים x² = 0, היה פתרון אחד, x = 0. אם היינו מקבלים x² = −9, לא היה פתרון ממשי, כי ריבוע של מספר ממשי אינו שלילי.

תרגול מודרך

פתרו x² = 25.

  • x = 5 בלבד
  • x = 25 או x = −25
  • x = 5 או x = −5

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

כמה פתרונות ממשיים יש ל־x² + 4 = 0?

  • שני פתרונות
  • אין פתרון ממשי
  • פתרון אחד

תשובה: __________________________________________________

3. מפרקים ואז משתמשים במכפלה אפס

פירוק לגורמים עוזר להפוך סכום למכפלה. אם מכפלה שווה לאפס, לפחות אחד הגורמים חייב להיות אפס: אילו שני הגורמים היו שונים מאפס, גם המכפלה הייתה שונה מאפס. לכן אפשר לפתור כל גורם בנפרד ולצרף את האפשרויות. הכלל חל כשהמכפלה כולה שווה לאפס; אי אפשר להשתמש בו כך כשהמכפלה שווה ל־6 או כשמופיע רק סכום.

דוגמה: נפתור x² − 5x + 6 = 0 באמצעות פירוק.

  1. נחפש שני מספרים שהמכפלה שלהם 6 והסכום שלהם −5. המספרים הם −2 ו־−3.
  2. לכן x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). אפשר לוודא בפילוג: x² − 3x − 2x + 6.
  3. כעת (x − 2)(x − 3) = 0. לכן x − 2 = 0 או x − 3 = 0, ומקבלים x = 2 או x = 3.
  4. נבדוק: 2² − 5·2 + 6 = 0 וגם 3² − 5·3 + 6 = 0. הפירוק לא היה ניחוש של תשובה; הוא יצר שתי משוואות פשוטות שניתן לפתור.

תרגול מודרך

נתון x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4). מהם פתרונות x² − 7x + 12 = 0?

  • x = 7 בלבד
  • x = 3 או x = 4
  • x = −3 או x = −4

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו x² + x − 6 = 0.

  • x = 2 או x = −3
  • x = −2 או x = 3
  • x = 6 או x = −1

תשובה: __________________________________________________

4. לא מאבדים את הפתרון אפס

כשאין איבר חופשי, לעיתים אפשר להוציא x כגורם משותף. כאן מסתתרת טעות נפוצה: חלוקה ב־x לפני שבדקנו אותו מניחה ש־x אינו אפס. אבל ייתכן שדווקא אפס הוא פתרון חשוב. במקום לחלק בנעלם, נוציא גורם משותף ונפעיל את כלל מכפלה אפס. כך נשמור על כל האפשרויות.

דוגמה: נפתור 2x² − 6x = 0 בלי לאבד פתרון.

  1. לשני האיברים יש גורם משותף 2x, ולכן 2x(x − 3) = 0.
  2. המכפלה שווה לאפס אם 2x = 0 או אם x − 3 = 0. מכאן x = 0 או x = 3.
  3. נבדוק: בהצבת אפס שני האיברים מתאפסים; בהצבת 3 מתקבל 18 − 18 = 0.
  4. אילו חילקנו מיד ב־x, היינו מקבלים 2x − 6 = 0 ורואים רק את 3. לכן חלוקה כזו ללא הפרדת המקרה x = 0 הייתה מאבדת פתרון.

תרגול מודרך

אחרי הפירוק x(x + 5) = 0, מהם הפתרונות?

  • x = 0 או x = −5
  • x = −5 בלבד
  • x = 0 או x = 5

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו 3x² = 12x.

  • x = 4 בלבד
  • x = 0 או x = −4
  • x = 0 או x = 4

תשובה: __________________________________________________

5. גם כשלא רואים פירוק: משלימים ריבוע

לא כל משוואה מתפרקת בקלות לגורמים עם מספרים שלמים. זה לא אומר שאין לה פתרון. אפשר להיעזר בזהות שכבר הכרנו: (x + p)² = x² + 2px + p². כשבונים ריבוע שלם, אפשר לבודד אותו ולחזור לרעיון של שני מספרים נגדיים. אם השורש אינו מספר שלם, אפשר להשאיר אותו בסימון שורש; זו תשובה מדויקת.

דוגמה: נפתור x² − 4x + 1 = 0.

  1. מעבירים את +1 לאגף ימין ומשנים את סימנו ל־−1. מקבלים x² − 4x = −1.
  2. כדי לקבל (x − 2)² צריך להוסיף 4, כי (x − 2)² = x² − 4x + 4. נוסיף 4 לשני האגפים ונקבל (x − 2)² = 3.
  3. מכאן x − 2 = 3 או x − 2 = −3. נוסיף 2 ונקבל x = 2 + 3 או x = 2 − 3.
  4. למה דווקא 4? מחצית המקדם −4 היא −2, והריבוע של −2 הוא 4. ההוספה בשני הצדדים שומרת על המשוואה מאוזנת.

תרגול מודרך

איזה מספר נוסיף לשני האגפים של x² + 6x = 2 כדי לקבל ריבוע שלם?

  • 3
  • 6
  • 9

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו (x − 1)² = 5.

  • x = 6 או x = −4
  • x = 1 + 5 או x = 1 − 5
  • x = 5 או x = −5

תשובה: __________________________________________________

6. נוסחת הפתרונות, צעד אחר צעד

נוסחת הפתרונות מרכזת בתוכה את השלמת הריבוע עבור כל משוואה ax² + bx + c = 0 שבה a אינו אפס. אם מסמנים Δ = b² − 4ac, הנוסחה היא x = , כאשר Δ אינו שלילי. הסימן ± אומר לחשב שתי אפשרויות: פעם לחבר את השורש ופעם לחסר אותו. כל המונה מחולק ב־2a. לפני הצבה בנוסחה כדאי לסדר את המשוואה ולכתוב את המקדמים עם הסימנים שלהם.

דוגמה: נפתור 2x² − 3x − 2 = 0 בעזרת הנוסחה.

  1. כאן a = 2, b = −3, c = −2. נחשב Δ = (−3)² − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25.
  2. השורש הוא 25 = 5. כמו כן −b = 3 ו־2a = 4, ולכן x = .
  3. באפשרות הראשונה: x = = = 2. באפשרות השנייה: x = = − = −.
  4. נבדוק את הפתרון השלילי: 2·(−)² − 3·(−) − 2 = + − 2 = 0. גם שבר שלילי יכול להיות פתרון תקין.

תרגול מודרך

במשוואה x² − 5x + 6 = 0 מתקבל Δ = 1. מהי ההצבה הנכונה בנוסחה?

  • x = 5 ±
  • x =
  • x =

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו x² + x − 2 = 0 בעזרת נוסחת הפתרונות.

  • x = 1 או x = −2
  • x = −1 או x = 2
  • x = 2 או x = −2

תשובה: __________________________________________________

7. כמה פתרונות יש ואיזו דרך לבחור?

המספר Δ שבתוך השורש נקרא הדיסקרימיננטה. הוא מאפשר לדעת כמה פתרונות ממשיים שונים יש עוד לפני חישובם: אם Δ חיובי, החיבור והחיסור נותנים שני פתרונות שונים; אם Δ = 0, שתי האפשרויות מתלכדות לפתרון אחד; אם Δ שלילי, אין פתרון ממשי. אין חובה להשתמש בנוסחה בכל תרגיל: בידוד של ריבוע, גורם משותף או פירוק ברור יכולים להיות קצרים יותר. בכל דרך נשמור על כל הפתרונות ונבדוק אותם.

דוגמה: נשווה שלוש משוואות ונבין את מספר הפתרונות.

  1. ב־x² − 4 = 0 אפשר לבודד x² = 4 ולקבל 2 או −2. גם Δ = 16 חיובי, בהתאם לשני פתרונות שונים.
  2. ב־x² − 4x + 4 = 0 מתקבל Δ = 16 − 16 = 0. המשוואה היא (x − 2)² = 0, ולכן יש רק פתרון ממשי אחד, x = 2.
  3. ב־x² + 4 = 0 מתקבל Δ = −16. אין פתרון ממשי, כמו שראינו גם מכך שריבוע אינו יכול להיות −4.
  4. בסיום שאלו: האם כל הפתרונות שמצאנו מקיימים את המשוואה המקורית? האם חילקנו בנעלם בלי לבדוק אפס? האם שמרנו על שתי אפשרויות השורש כשצריך?

תרגול מודרך

למשוואה ריבועית נתון Δ = 0. מה ניתן להסיק?

  • יש פתרון ממשי אחד
  • יש שני פתרונות ממשיים שונים
  • אין פתרון ממשי

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

כמה פתרונות ממשיים שונים יש ל־x² + 2x + 5 = 0?

  • פתרון אחד
  • שני פתרונות
  • אין פתרון ממשי

תשובה: __________________________________________________

דוגמה מסכמת

נפתור x² − 5x + 6 = 0 באמצעות פירוק.

  1. נחפש שני מספרים שהמכפלה שלהם 6 והסכום שלהם −5. המספרים הם −2 ו־−3.
  2. לכן x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). אפשר לוודא בפילוג: x² − 3x − 2x + 6.
  3. כעת (x − 2)(x − 3) = 0. לכן x − 2 = 0 או x − 3 = 0, ומקבלים x = 2 או x = 3.
  4. נבדוק: 2² − 5·2 + 6 = 0 וגם 3² − 5·3 + 6 = 0. הפירוק לא היה ניחוש של תשובה; הוא יצר שתי משוואות פשוטות שניתן לפתור.

תרגול מסכם

שאלה 1

מהו b במשוואה 2x² − 5x + 3 = 0?

________________________________________________________

שאלה 2

כמה פתרונות ממשיים שונים יש ל־x² = 16?

________________________________________________________

שאלה 3

מה הפתרון החיובי של x² − 9 = 0?

________________________________________________________

שאלה 4

אחד הפתרונות של x² − 5x + 6 = 0 הוא 2. מה השני?

________________________________________________________

שאלה 5

ב־x(x−7)=0, מה הפתרון הנוסף מלבד 7?

________________________________________________________

שאלה 6

איזה מספר מוסיפים ל־x² + 8x כדי לקבל ריבוע שלם?

________________________________________________________

שאלה 7

מה Δ במשוואה x² − 6x + 9 = 0?

________________________________________________________

שאלה 8

כמה פתרונות ממשיים יש ל־x² + 1 = 0?

________________________________________________________

בדיקה עצמית

האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.