קליק · מתמטיקה

משפט פיתגורס

מוצאים יתר או ניצב במשולש ישר זווית, עם שורשים ובדיקה.

https://klikedu.app/learn/pythagoras

1. קודם בודקים זווית ישרה

משפט פיתגורס מתאר קשר בין צלעות של משולש ישר זווית. זווית ישרה היא 90°, ובשרטוט מסמנים אותה לעיתים בריבוע קטן. כדי לחשב צלע בעזרת המשפט חייבים נתון או הוכחה לזווית ישרה; מראה השרטוט לבדו אינו מספיק.

abc
הסימון הריבועי מציין זווית ישרה. a ו־b ניצבים; c הוא היתר שמול הזווית הישרה.

דוגמה: משולש נראה כאילו שתי צלעותיו מאונכות, אבל אין סימון או נתון. האם מותר להתחיל בפיתגורס?

  1. המשפט דורש משולש ישר זווית.
  2. מראה של ציור אינו מוכיח שהזווית 90°.
  3. בלי נתון או הוכחה מתאימים עדיין אין הצדקה להשתמש במשפט.

תרגול מודרך

באיזה משולש מותר להשתמש בפיתגורס למציאת צלע?

  • בכל משולש
  • במשולש שידוע שיש בו זווית של 90°
  • רק במשולש שווה צלעות

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

נתון ש־AB מאונך ל־BC. מה מאפשר הנתון במשולש ABC?

  • להשתמש בפיתגורס
  • להסיק שכל הצלעות שוות
  • להסיק שכל הזוויות 90°

תשובה: __________________________________________________

2. מזהים יתר וניצבים

הניצבים הם שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה. היתר הוא הצלע שמול הזווית הישרה, ואינו נוגע בקודקוד שלה. הוא הארוך ביותר במשולש. סיבוב הציור אינו משנה את התפקידים, ולכן לא בוחרים יתר לפי כיוון הצלע על הדף.

דוגמה: במשולש ABC הזווית B ישרה. מי היתר?

  1. AB ו־BC נפגשות ב־B, ולכן הן הניצבים.
  2. AC נמצאת מול B, ולכן היא היתר.
  3. גם אם נסובב את הציור, AC תישאר היתר.

תרגול מודרך

במשולש ABC הזווית A ישרה. מה היתר?

  • AB
  • AC
  • BC

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ישר זווית היתר באורך 10. איזה אורך אפשרי לניצב?

  • 12
  • 6
  • 10

תשובה: __________________________________________________

3. ריבוע הוא כפל עצמי

הכתיב a² פירושו a × a, ולא פעמיים a. הוא מתאים גם לשטח ריבוע שאורך צלעו a. בפיתגורס עובדים תחילה עם ריבועי האורכים, ולכן חשוב להבחין בין האורך עצמו לבין תוצאת הכפל העצמי שלו.

דוגמה: מהו 5², ומה משמעותו בריבוע שצלעו 5 ס״מ?

  1. 5² = 5 × 5 = 25.
  2. אורך הצלע הוא 5 ס״מ, אבל שטח הריבוע הוא 25 סמ״ר.

תרגול מודרך

מהו 6²?

  • 36
  • 12
  • 64

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

צלע ריבוע היא 9 ס״מ. מה שטחו?

  • 18 סמ״ר
  • 9 סמ״ר
  • 81 סמ״ר

תשובה: __________________________________________________

4. שורש מחזיר מריבוע לאורך

אם ידוע ריבוע האורך, צריך למצוא איזה מספר חיובי, כפול עצמו, נותן אותו. זו פעולת השורש החיובי. למשוואה אלגברית x² = 25 יש פתרונות 5 ו־−5, אבל אורך צלע חיובי ולכן בגיאומטריה נבחר 5.

דוגמה: נתון c² = 25. מה אורך הצלע c?

  1. מחפשים מספר חיובי שריבועו 25.
  2. 5 × 5 = 25, ולכן c = 25 = 5.
  3. 25 הוא ריבוע האורך, ו־−5 אינו אורך אפשרי.

תרגול מודרך

אורך a מקיים a² = 49. מהו a?

  • 49
  • 7
  • −7

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

ריבוע היתר הוא 144. מה אורך היתר?

  • 12
  • 72
  • 144

תשובה: __________________________________________________

5. מחברים את ריבועי הניצבים

נסמן את הניצבים a ו־b ואת היתר c. משפט פיתגורס אומר a² + b² = c²: שטח הריבוע שעל היתר שווה לסכום שטחי הריבועים שעל הניצבים. השוויון הוא בין ריבועים, ולא טענה שאורך היתר הוא סכום אורכי הניצבים.

a²b²c²
הריבועים בנויים על שלוש הצלעות. שטח הריבוע שעל היתר שווה לסכום שני האחרים: c² = a² + b².

דוגמה: ניצבי משולש ישר זווית הם 3 ו־4. כתבו את ריבוע היתר.

  1. מציבים a = 3, b = 4 בנוסחה.
  2. c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
  3. לא מחשבים c = 3 + 4; הנוסחה מחברת ריבועים.

תרגול מודרך

במשולש ישר זווית a ו־b הם הניצבים ו־c היתר. איזה קשר נכון?

  • a + b = c
  • a² − b² = c²
  • a² + b² = c²

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

ניצבים הם 5 ו־12. מהו ריבוע היתר?

  • 17
  • 169
  • 13

תשובה: __________________________________________________

6. מוצאים יתר עד הסוף

כששני הניצבים ידועים, החישוב מתקדם בשלושה צעדים: מעלים כל ניצב בריבוע, מחברים, ואז מוציאים שורש חיובי. השלב האחרון חיוני כי סכום הריבועים נותן c² ולא c. בסיום מצרפים יחידות אורך ובודקים שהיתר ארוך מכל ניצב.

345
במשולש 3–4–5 ריבוע היתר הוא 25, ואורך היתר הוא 5.

דוגמה: הניצבים הם 3 ו־4 ס״מ. מצאו את היתר.

  1. c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
  2. מוציאים שורש חיובי: c = 25 = 5 ס״מ.
  3. 5 גדול מ־3 ומ־4, כמצופה מיתר.

תרגול מודרך

ניצבים הם 6 ו־8. מה אורך היתר?

  • 10
  • 100
  • 14

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

ניצבים הם 8 ו־15. מה אורך היתר?

  • 23
  • 289
  • 17

תשובה: __________________________________________________

7. כשהחסר הוא ניצב מחסרים

אם היתר ידוע וניצב חסר, מתחילים מאותו שוויון a² + b² = c². כדי לבודד את ריבוע הניצב החסר מחסרים משני האגפים את ריבוע הניצב הידוע. רק לאחר החיסור מוציאים שורש חיובי; אין לחסר את האורכים עצמם.

a = ?bc
הסימון הריבועי מציין זווית ישרה. a ו־b ניצבים; c הוא היתר שמול הזווית הישרה.

דוגמה: היתר 13 ס״מ וניצב אחד 5 ס״מ. מצאו את השני.

  1. a² + 5² = 13².
  2. a² = 169 − 25 = 144.
  3. a = 144 = 12 ס״מ.
  4. בדיקה: 5² + 12² = 25 + 144 = 169.

תרגול מודרך

היתר 10 והניצב הידוע 6. איזה חישוב נותן את ריבוע הניצב החסר?

  • 10² + 6²
  • 10² − 6²
  • 10 − 6

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

היתר 17 והניצב הידוע 8. מה אורך הניצב השני?

  • 9
  • 353
  • 15

תשובה: __________________________________________________

8. לא כל שורש הוא מספר שלם

לפעמים סכום הריבועים אינו ריבוע של מספר שלם. במקרה כזה כתיבת השורש היא תשובה מדויקת, ולא חישוב שלא הושלם. לדוגמה, 50 הוא אורך חיובי מוגדר גם בלי לכתוב אותו כעשרוני. קירוב נדרש רק אם השאלה מבקשת אותו.

55√50
משולש עם ניצבים באורך 5: היתר הוא 50, בקירוב 7.07.

דוגמה: הניצבים הם 5 ו־5 ס״מ. כתבו את היתר בדיוק.

  1. c² = 5² + 5² = 25 + 25 = 50.
  2. מוציאים שורש: c = 50 ס״מ.
  3. הכתיב הזה מדויק; אין להחליף אותו ב־50 או ב־10.

תרגול מודרך

ניצבים הם 2 ו־3. מה היתר המדויק?

  • 13
  • 5
  • 13

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

היתר 7 והניצב הידוע 3. מה הניצב השני בדיוק?

  • 58
  • 40
  • 4

תשובה: __________________________________________________

9. מבדילים בין מדויק למקורב

מספר עשרוני מעוגל עשוי להיות נוח למדידה, אך הוא בדרך כלל קירוב לשורש. מסמנים קירוב בסימן ≈. בעיגול לשתי ספרות אחרי הנקודה בודקים את הספרה השלישית: אם היא 5 ומעלה מעלים את השנייה באחת; אחרת משאירים אותה.

דוגמה: מחשבון מציג 13 = 3.60555… . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

  1. שתי הספרות הראשונות אחרי הנקודה הן 60.
  2. הספרה השלישית היא 5, ולכן מעלים את המאיות באחת.
  3. 13 ≈ 3.61. הסימן ≈ מציין שזהו קירוב.

תרגול מודרך

מחשבון מציג 50 = 7.07106… . מה הקירוב לשתי ספרות?

  • 7.1
  • 7.08
  • 7.07

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

ניצבי משולש ישר זווית הם 2 ו־3. איזו תשובה נותנת את אורך היתר המדויק, ללא עיגול?

  • 13
  • 3.61
  • 3.6

תשובה: __________________________________________________

10. בודקים אם האורך הגיוני

בדיקה מהירה יכולה לחשוף טעות עוד לפני חישוב חוזר. היתר חייב להיות ארוך מכל ניצב, אך קצר מסכומם. השורש החיובי מתאים לאורך. אם מתקבל יתר ארוך מדי, ייתכן שחיברנו אורכים במקום ריבועים או שכחנו את השורש בסיום.

דוגמה: ניצבים הם 2 ו־3. בדקו אם היתר 13 ≈ 3.61 הגיוני.

  1. הניצב הארוך הוא 3, ו־3.61 גדול ממנו.
  2. סכום הניצבים הוא 5, ו־3.61 קטן ממנו.
  3. התוצאה נמצאת בטווח הצפוי: 3 < c < 5.

תרגול מודרך

הניצבים הם 5 ו־12. באיזה טווח חייב להיות היתר?

  • 5 < c < 12
  • 12 < c < 17
  • 17 < c

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

לניצבים 6 ו־8 נכתב שהיתר 100. מה הבעיה?

  • היתר צריך להיות קטן מ־14
  • יתר אינו יכול להיות מספר שלם
  • היתר צריך להיות קטן מ־6

תשובה: __________________________________________________

11. מוכיחים זווית ישרה מהצלעות

המשפט ההפוך מתחיל משלוש צלעות ומסיק על הזווית. בוחרים את הצלע הארוכה ביותר, ובודקים אם ריבועה שווה לסכום ריבועי שתי האחרות. אם כן, הזווית שמולה ישרה. אם אין שוויון, המשולש הנתון אינו ישר זווית.

6810
6² + 8² = 10². לפי המשפט ההפוך, הזווית מול הצלע 10 ישרה.

דוגמה: בדקו משולש שאורכי צלעותיו 6, 8 ו־10.

  1. הצלע הארוכה ביותר היא 10.
  2. 6² + 8² = 36 + 64 = 100, וגם 10² = 100.
  3. יש שוויון, ולכן לפי המשפט ההפוך הזווית שמול 10 ישרה.

תרגול מודרך

צלעות משולש הן 5, 12, 13. מה בודקים?

  • 5² + 13² = 12²
  • 5 + 12 = 13
  • 5² + 12² = 13²

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

צלעות משולש הן 4, 5, 6. האם הוא ישר זווית?

  • כן, כי 4 + 5 גדול מ־6
  • לא, כי 4² + 5² אינו 6²
  • כן, כי 6 היא הארוכה

תשובה: __________________________________________________

12. צלע חסרה יכולה להיות שלב ביניים

אם השאלה מבקשת שטח, מציאת הצלע החסרה אינה מסיימת אותה. שטח משולש הוא בסיס כפול הגובה המאונך לו חלקי שתיים. במשולש ישר זווית שני הניצבים מאונכים זה לזה, ולכן אפשר להשתמש בהם כבסיס וכגובה.

דוגמה: היתר 13 ס״מ וניצב אחד 5 ס״מ. מצאו את שטח המשולש.

  1. הניצב החסר מקיים a² = 13² − 5² = 144, ולכן a = 12.
  2. שני הניצבים 5 ו־12 משמשים בסיס וגובה.
  3. S = 5 × = 30 סמ״ר.

תרגול מודרך

ניצבי משולש ישר זווית הם 6 ו־8 ס״מ. מה שטחו?

  • 24 סמ״ר
  • 48 סמ״ר
  • 10 ס״מ

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

היתר 10 ס״מ וניצב 8 ס״מ. מה השטח?

  • 40 סמ״ר
  • 6 ס״מ
  • 24 סמ״ר

תשובה: __________________________________________________

דוגמה מסכמת

היתר הוא 13 ס״מ וניצב אחד הוא 5 ס״מ. מצאו את הניצב השני.

  1. מזהים: c = 13 והניצב הידוע הוא 5.
  2. מציבים: a² + 5² = 13².
  3. מחשבים: a² = 169 − 25 = 144.
  4. מוציאים שורש חיובי: a = 12 ס״מ.
  5. בדיקה: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13².

תרגול מסכם

שאלה 1

הניצבים הם 3 ו־4. מה אורך היתר?

________________________________________________________

שאלה 2

היתר הוא 10 וניצב אחד 6. מה אורך הניצב השני?

________________________________________________________

שאלה 3

הניצבים הם 5 ו־12. מה אורך היתר?

________________________________________________________

שאלה 4

שני הניצבים הם 1. כתבו את אורך היתר המדויק באמצעות שורש.

________________________________________________________

שאלה 5

ניצבי משולש ישר זווית הם 9 ו־12. מה היתר?

________________________________________________________

שאלה 6

היתר 17 וניצב אחד 8. מה הניצב השני?

________________________________________________________

שאלה 7

אלכסון מלבן 13 ואחת הצלעות 5. מה הצלע האחרת?

________________________________________________________

שאלה 8

ניצבי משולש ישר זווית הם 6 ו־8. מה היקפו?

________________________________________________________

בדיקה עצמית

האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.