קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

מנסרה וגליל: נפח ושטח פנים · אתגר והכללה

מנמקים יחסי גדלים, משווים גופים שווי נפח, מחשבים שטחים גלויים בגוף מחובר ומפרשים אפשרויות בפריסה.

הרחבה לבחירה · מיפוי פדגוגי לחטיבת הביניים על בסיס תוכנית החטיבה; ההרחבות מסומנות לפי מוכנות. אין כאן אימות מלא לכל החרגות תוכנית תשפ״ז. הרמות הן עומק למידה, לא מספר יחידות בתיכון. מנמקים יחסי גדלים, משווים גופים שווי נפח, מחשבים שטחים גלויים בגוף מחובר ומפרשים אפשרויות בפריסה.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/prisms-cylinders?target=5

לפני שמתחילים

1. הגדלה בכל הכיוונים: אורך, שטח ונפח

כאשר כל אורכי גוף מוכפלים פי k, שטח בסיס ושטח פנים מוכפלים פי k², והנפח פי k³. נפח הוא שטח בסיס כפול גובה, ולכן יש בו שלושה גורמי אורך. שינוי הגובה בלבד אינו הגדלה אחידה.

דוגמה: מגדילים גליל כך שגם הרדיוס וגם הגובה מוכפלים פי 2. כיצד משתנים שטח הפנים והנפח?

  1. כל שטח בסיס מוכפל פי 2² = 4.
  2. גם שטח המעטפת 2πrH מוכפל פי 2 × 2 = 4, לכן שטח הפנים כולו פי 4.
  3. בנפח πr²H מופיעים שלושה גורמי הגדלה: 2² × 2 = 8.

תרגול מודרך

כל אורכי מנסרה הוכפלו פי 3. פי כמה גדל נפחה?

  • פי 3
  • פי 9
  • פי 27

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

גובה גליל הוכפל פי 2 והרדיוס לא השתנה. מה קרה לנפח?

  • גדל פי 2
  • גדל פי 4
  • גדל פי 8

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. אותו נפח, מידות אחרות

לשני גלילים שווי נפח מתקיים πr₁²H₁ = πr₂²H₂. אם הרדיוס מוכפל פי k, שטח הבסיס מוכפל פי k², ולכן לשמירת הנפח יש לחלק את הגובה ב־k². זו אינה הגדלה אחידה של הגוף.

דוגמה: גליל ברדיוס 2 ס״מ ובגובה 18 ס״מ וגליל ברדיוס 6 ס״מ הם שווי נפח. מה גובה השני?

  1. נפח הראשון π × 2² × 18 = 72π סמ״ק.
  2. שטח בסיס השני π × 6² = 36π סמ״ר.
  3. גובה השני = 2 ס״מ.
  4. הרדיוס גדל פי 3, שטח הבסיס פי 9 והגובה קטן פי 9.

תרגול מודרך

מכפילים רדיוס גליל פי 2 ושומרים על נפחו. מה צריך לקרות לגובה?

  • להקטין לחצי
  • להקטין לרבע
  • להגדיל פי 2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

למנסרה ולגליל אותו נפח. שטח בסיס המנסרה 30 סמ״ר וגובהה 8 ס״מ; שטח בסיס הגליל 60 סמ״ר. מה גובה הגליל?

  • 16 ס״מ
  • 8 ס״מ
  • 4 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. משטח מגע: נפח נשאר, שטח חיצוני נעלם

כאשר מחברים שני גופים לאורך שטח מגע, המשטח המכוסה בכל אחד מהם אינו נחשף בחוץ. לכן מחיבור שטחי הפנים המקוריים מחסרים פעמיים את שטח המגע. הכלל דורש שהמשטחים אכן חופפים בשטח הזה ושאין חפיפה פנימית של הגופים.

דוגמה: גליל סגור ברדיוס 2 ס״מ ובגובה 3 ס״מ מודבק בבסיסו לתיבה 6 × 6 × 4 ס״מ. הבסיס כולו בתוך הפאה העליונה. מה השטח החיצוני של הגוף המאוחד?

  1. שטח פני התיבה 2(6 × 6 + 6 × 4 + 6 × 4) = 168 סמ״ר.
  2. שטח פני הגליל 2π × 2 × 3 + 2π × 2² = 20π סמ״ר.
  3. שטח המגע 4π סמ״ר: תחתית הגליל ועיגול בתקרת התיבה מכוסים.
  4. השטח החיצוני 168 + 20π − 2 × 4π = 168 + 12π סמ״ר.

תרגול מודרך

שטחי פני שני גופים הם 80 ו־70 סמ״ר. מחברים אותם בשטח מגע של 12 סמ״ר ללא חפיפה פנימית. מה השטח החיצוני?

  • 138 סמ״ר
  • 126 סמ״ר
  • 150 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

שתי קוביות בעלות צלע 3 ס״מ מודבקות פאה שלמה לפאה. מה השטח החיצוני?

  • 108 סמ״ר
  • 99 סמ״ר
  • 90 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. אותו מלבן, שני גלילים

אפשר לגלגל מלבן בשני כיוונים: בכל כיוון צלע אחת הופכת להיקף הבסיס והאחרת לגובה. שטח המעטפת נשאר שטח המלבן, אך הרדיוס והנפח עשויים להשתנות. מניחים חיבור קצוות בלי חפיפה, ומוסיפים בסיסים בנפרד אם דרוש גוף סגור.

דוגמה: מלבן במידות 4π ס״מ על 6 ס״מ מגולגל לגליל שהיקף בסיסו 4π ס״מ. מצאו רדיוס, גובה ונפח. מה נשאר קבוע אם מגלגלים בכיוון האחר?

  1. 2πr = 4π ולכן r = 2 ס״מ; H = 6 ס״מ.
  2. V = π × 2² × 6 = 24π סמ״ק.
  3. שטח המעטפת הוא שטח המלבן 4π × 6 = 24π סמ״ר בשני הכיוונים.
  4. בכיוון האחר ההיקף הוא 6 והגובה 4π; לכן לא מצפים לאותו נפח.

תרגול מודרך

מלבן 10π ס״מ על 8 ס״מ מגולגל כך שההיקף הוא 10π. מה נפח הגליל?

  • 80π סמ״ק
  • 200π סמ״ק
  • 800π סמ״ק

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מלבן מגולגל פעם בכל אחד משני הכיוונים בלי חפיפה. מה בהכרח שווה בשני הגלילים?

  • נפח
  • שטח בסיס
  • שטח מעטפת

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. תנאי בין שטחים מוביל למשוואה

אפשר להשתמש בקשר בין שטח המעטפת לשטחי הבסיסים כדי למצוא גובה חסר. כותבים כל שטח באמצעות r ו־H, מציבים את התנאי ומחלקים רק בגודל שאינו אפס. בגליל ממשי r > 0 ולכן מותר לצמצם ב־πr.

דוגמה: בגליל סגור ברדיוס 5 ס״מ, שטח המעטפת שווה לסכום שטחי שני הבסיסים. מה הגובה ומה הנפח?

  1. תנאי השטחים: 2πrH = 2πr².
  2. מציבים r = 5: 10πH = 50π, ולכן H = 5 ס״מ.
  3. הנפח π × 5² × 5 = 125π סמ״ק.
  4. באופן כללי התנאי נותן H = r; הוא אינו אומר שהגובה שווה לקוטר.

תרגול מודרך

בגליל ברדיוס 3 ס״מ שטח המעטפת שווה לשטח בסיס אחד. מה גובהו?

  • 3 ס״מ
  • 6 ס״מ
  • 1.5 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בגליל ברדיוס 4 ס״מ המעטפת שווה לפי 3 מסכום שטחי שני הבסיסים. מה גובהו?

  • 12 ס״מ
  • 6 ס״מ
  • 24 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.