קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

מנסרה וגליל: נפח ושטח פנים · בסיס מודרך

מזהים בסיס וגובה מאונך, מחשבים נפח ומפרידים בין יחידות אורך, שטח ונפח. מכירים את פריסת הגליל.

יסודות בחטיבה · מיפוי פדגוגי לחטיבת הביניים על בסיס תוכנית החטיבה; ההרחבות מסומנות לפי מוכנות. אין כאן אימות מלא לכל החרגות תוכנית תשפ״ז. הרמות הן עומק למידה, לא מספר יחידות בתיכון. מזהים בסיס וגובה מאונך, מחשבים נפח ומפרידים בין יחידות אורך, שטח ונפח. מכירים את פריסת הגליל.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/prisms-cylinders?target=3

לפני שמתחילים

1. שני בסיסים וגובה מאונך

למנסרה שני בסיסים מצולעים חופפים ומקבילים. בגליל ישר הבסיסים הם עיגולים חופפים ומקבילים. גובה הגוף הוא המרחק המאונך בין מישורי הבסיסים. במנסרה ישרה המקצועות המחברים קודקודים מתאימים של הבסיסים מאונכים לבסיסים. אין לבלבל בין גובה משולש הבסיס לבין גובה הגוף.

דוגמה: במנסרה ישרה בסיס משולש שצלעו 6 ס״מ והגובה לצלע זו 4 ס״מ. המרחק בין בסיסי המנסרה 10 ס״מ. מהם שטח הבסיס וגובה הגוף?

  1. שטח משולש הבסיס B = 6 × = 12 סמ״ר.
  2. גובה הגוף H = 10 ס״מ: זה המרחק בין שני המשולשים.
  3. 4 ס״מ משמש לחישוב שטח המשולש, ואינו גובה המנסרה.
מנסרה ישרה עם בסיס משולש: צלע 6, גובה המשולש 4, גובה המנסרה 10; סימון מאונכות ומקרא מפורש.
מנסרה ישרה עם בסיס משולש: צלע 6, גובה המשולש 4, גובה המנסרה 10; סימון מאונכות ומקרא מפורש.

התרשים מתייחס לנתוני הדוגמה הפתורה; משתמשים בנתונים הכתובים ולא מודדים את התמונה.

תרגול מודרך

בסיס מנסרה הוא משולש שצלעו 8 ס״מ וגובהו לצלע זו 3 ס״מ. מה שטח הבסיס?

  • 24 סמ״ר
  • 12 סמ״ר
  • 11 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בגליל ישר רדיוס הבסיס 2 ס״מ והמרחק בין בסיסיו 7 ס״מ. מה גובהו?

  • 2 ס״מ
  • 4 ס״מ
  • 7 ס״מ

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. נפח מנסרה: שכבות של בסיס

נפח מודד את המקום שתופס גוף. במנסרה V = B × H: שטח בסיס כפול גובה הגוף. אם B בסמ״ר ו־H בס״מ, הנפח בסמ״ק. נוסחת הנפח אינה דורשת שסוג הבסיס יהיה מלבן; היא מתאימה גם לבסיס משולש.

דוגמה: מנסרה ישרה שבסיסה משולש ישר זווית עם ניצבים 3 ו־4 ס״מ. גובה המנסרה 9 ס״מ. מה הנפח?

  1. במשולש ישר זווית הניצבים מאונכים, לכן B = 3 × = 6 סמ״ר.
  2. V = B × H = 6 × 9 = 54 סמ״ק.
  3. החלוקה ב־2 שייכת לשטח המשולש; אין לחלק שוב את הנפח ב־2.

תרגול מודרך

שטח בסיס מנסרה 15 סמ״ר וגובהה 8 ס״מ. מה נפחה?

  • 120 סמ״ק
  • 60 סמ״ק
  • 23 סמ״ק

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מנסרה בעלת בסיס משולש שניצביו 5 ו־6 ס״מ, וגובה הגוף 4 ס״מ. מה נפחה?

  • 120 סמ״ק
  • 60 סמ״ק
  • 30 סמ״ק

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. נפח גליל: שטח עיגול כפול גובה

בגליל ישר שטח הבסיס B = πr². לכן נפח הגליל V = πr²H. אם נתון קוטר, מחלקים ב־2 לפני חישוב השטח. אין להכפיל בהיקף: היקף כפול גובה נותן שטח מעטפת, לא נפח.

דוגמה: קוטר גליל 6 ס״מ וגובהו 5 ס״מ. מה נפחו?

  1. הרדיוס r = = 3 ס״מ.
  2. שטח הבסיס B = π × 3² = 9π סמ״ר.
  3. V = 9π × 5 = 45π סמ״ק.

תרגול מודרך

רדיוס גליל 2 ס״מ וגובהו 7 ס״מ. מה נפחו?

  • 14π סמ״ק
  • 28π סמ״ק
  • 56π סמ״ק

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

קוטר גליל 10 ס״מ וגובהו 2 ס״מ. מה נפחו?

  • 50π סמ״ק
  • 200π סמ״ק
  • 20π סמ״ק

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. פריסת גליל: מלבן ושני עיגולים

כאשר פורסים את מעטפת הגליל הישר מתקבל מלבן. צלע אחת שלו היא גובה הגליל H והשנייה היא היקף הבסיס 2πr. לכן שטח המעטפת M = 2πrH. שטח פנים של גליל סגור כולל גם שני בסיסים: S = 2πrH + 2πr².

דוגמה: לגליל סגור רדיוס 3 ס״מ וגובה 4 ס״מ. חשבו מעטפת ושטח פנים.

  1. מלבן המעטפת במידות 6π על 4 ס״מ.
  2. שטח המעטפת 6π × 4 = 24π סמ״ר.
  3. שני בסיסים מוסיפים 2 × 9π = 18π סמ״ר.
  4. שטח הפנים הכולל 24π + 18π = 42π סמ״ר.
פריסת גליל: מלבן שרוחבו 2πr וגובהו H, ושני עיגולים ברדיוס r.
פריסת גליל: מלבן שרוחבו 2πr וגובהו H, ושני עיגולים ברדיוס r.

התרשים מתייחס לנתוני הדוגמה הפתורה; משתמשים בנתונים הכתובים ולא מודדים את התמונה.

תרגול מודרך

רדיוס גליל 2 ס״מ וגובהו 5 ס״מ. מה שטח המעטפת?

  • 10π סמ״ר
  • 20π סמ״ר
  • 28π סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מה שטח הפנים של אותו גליל סגור, ברדיוס 2 ובגובה 5 ס״מ?

  • 28π סמ״ר
  • 20π סמ״ר
  • 24π סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. סמ״ק, מ״ק וליטר

נפח נמדד ביחידות מעוקבות. 1 ליטר = 1000 סמ״ק, ו־1 סמ״ק = 1 מ״ל. מאחר ש־1 מ׳ = 100 ס״מ, מתקיים 1 מ״ק = 100³ = 1,000,000 סמ״ק = 1000 ליטר. לפני חישוב מאחדים את יחידות האורך.

דוגמה: תיבה פנימית במידות 20 ס״מ על 10 ס״מ על 15 ס״מ. כמה ליטרים היא מכילה?

  1. V = 20 × 10 × 15 = 3000 סמ״ק.
  2. כל 1000 סמ״ק הם ליטר, לכן = 3 ליטר.
  3. אין לחלק ב־100: יחס יחידות נפח שונה מיחס יחידות אורך.

תרגול מודרך

נפח כלי 2500 סמ״ק. כמה ליטרים הם?

  • 25 ליטר
  • 2.5 ליטר
  • 0.25 ליטר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נפח מיכל 0.4 מ״ק. כמה ליטרים הם?

  • 4 ליטר
  • 40 ליטר
  • 400 ליטר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.