קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

חוקי חזקות, פישוט שורשים ותחום הגדרה

משלבים חוקי חזקות, מעריכים אפס ושליליים, הוצאת גורם מהשורש והבחנה בין x לערכו המוחלט. זהו מסלול ממוקד, ולא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · חזקות ושורשים; חוקי חזקות ותחום נלמדים לפי מוכנות. מעריכים שבריים כלליים מסומנים כהרחבה מעבר לליבה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/powers-roots?target=4

לפני שמתחילים

1. אותו בסיס: מחברים או מחסרים מעריכים

כפל חזקות בעלות אותו בסיס מחבר מעריכים: am × an = am+n. בכפל חוזר פשוט מצרפים את הגורמים. בחילוק חזקות בעלות אותו בסיס מחסרים מעריכים: = am−n, כאשר a ≠ 0 כדי שהמכנה לא יתאפס. הכללים כאן נבנים עבור מעריכים שלמים, ורק כאשר כל הביטויים מוגדרים: אם מופיע מעריך אפס או מעריך שלילי, נדרוש בסיס שאינו אפס. הם אינם חלים על חיבור חזקות, וגם לא על כפל בסיסים שונים בלי הצדקה נפרדת. אם משמעות הבסיס והמעריך אינה ברורה, אפשר להשלים במסלול בסיס מודרך.

דוגמה: פשטו 2³ × .

  1. במונה מצרפים את הגורמים: 2³ × 2⁴ = 2⁷.
  2. בחילוק מבטלים שני גורמים של 2: = 2⁵. הבסיס 2 אינו אפס.
  3. 2⁵ = 32. חיבור המעריכים התאים לכפל; חיסורם התאים לחילוק.

תרגול מודרך

פשטו x³ × x².

  • 2x5
  • x5
  • x6

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתון x ≠ 0. פשטו .

  • x4
  • x10
  • x^()

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. חזקה של חזקה, מעריך אפס ומעריך שלילי

בחזקה של חזקה מכפילים מעריכים: (am)n = amn עבור המעריכים השלמים הנידונים כאן, כאשר כל הביטויים מוגדרים; אם מופיע מעריך אפס או שלילי, נדרוש a ≠ 0. לדוגמה (a²)³ כולל שלוש קבוצות של שני גורמי a. לבסיס שאינו אפס מגדירים a0 = 1 ו־a−n = כאשר n חיובי שלם; כך חוקי המנה נשמרים. מעריך שלילי אינו אומר שהתוצאה שלילית. לא משתמשים כאן ב־00 או בחזקות שליליות של אפס.

דוגמה: חשבו (2³)² × 2−4.

  1. חזקה של חזקה: (2³)² = 2⁶, כי כופלים את המעריכים 3 × 2.
  2. 2−4 = , ולכן הביטוי הוא .
  3. מקבלים 2² = 4. המעריך השלילי יצר הופכי, ולא סימן מינוס לפני התוצאה.
  4. הבסיס 2 אינו אפס, ולכן כל החילוקים מוגדרים.

תרגול מודרך

מהו הערך של 50?

  • 0
  • 5
  • 1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהו הערך של 2−3?

  • −
  • −8

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מוציאים גורם ריבועי מתוך השורש

למספרים לא־שליליים a ו־b מתקיים ab = a × b. לכן אפשר לפרק מספר למכפלה שיש בה ריבוע שלם, כמו 72 = 36 × 2. מקבלים 72 = 62. אפשר לחבר איברי שורש דומים: 32 + 52 = 82, כמו שלוש יחידות ועוד חמש יחידות מאותו סוג. אי אפשר לחבר 2 ו־3 לשורש אחד של 5. כלל הכפל אינו כלל חיבור.

דוגמה: פשטו 72 − 8.

  1. מפרקים 72 = 36 × 2. שני הגורמים אינם שליליים, ולכן 72 = 62.
  2. מפרקים 8 = 4 × 2, ולכן 8 = 22.
  3. כעת השורשים דומים: 62 − 22 = 42.
  4. התוצאה מדויקת; אין צורך בקירוב עשרוני.

תרגול מודרך

פשטו 50.

  • 52
  • 252
  • 25

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פשטו 27 + 12.

  • 39
  • 93
  • 53

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. שורש של ריבוע ותחום הגדרה

ריבוע של מספר ממשי תמיד לא־שלילי, אבל x² אינו תמיד x. סימן השורש מחזיר מספר לא־שלילי, ולכן x² = |x|. ערך מוחלט |x| הוא המרחק מאפס: הוא x כאשר x ≥ 0, ו־−x כאשר x < 0. למשל |−4| = 4. אם בשורש מופיע ביטוי אחר, דורשים שכולו יהיה לפחות אפס. במכנה נוסף גם האיסור על אפס.

דוגמה: פשטו 9x², ובדקו מה מתקבל עבור x = −2.

  1. 9 ו־x² אינם שליליים, ולכן 9x² = 3x².
  2. x² = |x|, ולכן התשובה הכללית היא 3|x|, ולא תמיד 3x.
  3. עבור x = −2 מתקבל 3 × 2 = 6. בדיקה ישירה: 9 × 4 = 36 = 6.
  4. לביטוי המקורי אין ערכי x אסורים, כי 9x² תמיד לא־שלילי.

תרגול מודרך

מהו תחום ההגדרה הממשי של x − 3?

  • כל x ממשי
  • x ≥ 3
  • x > 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהו תחום ההגדרה הממשי של ?

  • x > 3
  • x ≥ 3
  • x ≠ 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.