קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

חזקות ושורשים: משמעות, סימנים ואומדן

בונים את משמעות החזקה והשורש, מבחינים בין מינוס בבסיס למינוס חיצוני, ומשווים בין שורש לבין פתרונות משוואת ריבוע. מסלול למידה מותאם, לא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

יסודות בחטיבה · חזקות ושורשים; חוקי חזקות ותחום נלמדים לפי מוכנות. מעריכים שבריים כלליים מסומנים כהרחבה מעבר לליבה. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/powers-roots?target=3

לפני שמתחילים

1. חזקה היא כפל חוזר, לא כפל במעריך

בחזקה 3² המספר 3 הוא הבסיס והמספר הקטן 2 הוא המעריך. עבור מעריך שלם חיובי, החזקה היא כפל של הבסיס בעצמו מספר פעמים השווה למעריך: 3² = 3 × 3 = 9. לכן 3² אינו 3 × 2. חזקה עם מעריך 1 שווה לבסיס עצמו. לפני חיבור וחיסור מחשבים חזקות, ואחר כך כפל וחילוק, אלא אם סוגריים מחייבים סדר אחר.

דוגמה: חשבו את 2³ + 3 × 2.

  1. 2³ פירושו 2 × 2 × 2, ולכן ערכו 8.
  2. את הכפל 3 × 2 מחשבים לפני החיבור ומקבלים 6.
  3. לבסוף 8 + 6 = 14. המעריך 3 ספר גורמים; הוא לא הפך את 2³ ל־6.

תרגול מודרך

מהו הערך של 4²?

  • 16
  • 8
  • 6

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

חשבו 3² + 2³.

  • 12
  • 25
  • 17

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. הסוגריים קובעים אם המינוס שייך לבסיס

ב־(−3)² הבסיס כולו הוא −3, ולכן מחשבים (−3) × (−3) = 9. ב־−3² אין סוגריים סביב המינוס: מחשבים את 3² ואז לוקחים את הנגדי, ומקבלים −9. כפל שני מספרים שליליים הוא חיובי. לכן חזקה זוגית של בסיס שלילי חיובית; חזקה אי־זוגית של בסיס שלילי שלילית. לא מסירים סוגריים בלי לבדוק מה הם כוללים.

דוגמה: השוו בין (−2)², −2² ו־(−2)³.

  1. (−2)² = (−2) × (−2) = 4. המינוס נמצא בתוך הבסיס.
  2. −2² = −(2 × 2) = −4. כאן המינוס מופעל אחרי החזקה.
  3. (−2)³ = (−2) × (−2) × (−2) = 4 × (−2) = −8. המעריך אי־זוגי.

תרגול מודרך

מהו הערך של (−4)²?

  • −8
  • 16
  • −16

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהו הערך של −5²?

  • −25
  • 25
  • −10

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. שורש ריבועי: בוחרים את התוצאה הלא־שלילית

השורש הריבועי a הוא המספר הלא־שלילי שריבועו a. למשל 25 = 5, כי 5² = 25. אף שגם (−5)² = 25, הסימן 25 לבדו אינו שווה ל־−5. לעומת זאת למשוואה x² = 25 יש שני פתרונות: 5 ו־−5. בממשיים אפשר להוציא שורש ריבועי רק ממספר שאינו שלילי. 0 = 0.

דוגמה: מה ההבדל בין חישוב 36 לבין פתרון x² = 36?

  1. 36 = 6: סימן השורש מציין את השורש הלא־שלילי.
  2. במשוואה x² = 36 בודקים מספרים שריבועם 36. גם 6 וגם −6 מתאימים.
  3. לכן ערך הביטוי הוא 6, ואילו פתרונות המשוואה הם x = 6 או x = −6.
  4. ההבחנה חשובה: לא מוסיפים ± אוטומטית לפני תוצאה של סימן שורש.

תרגול מודרך

מהו הערך של 49?

  • 7 או −7
  • −7
  • 7

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהם פתרונות x² = 16 במספרים ממשיים?

  • אין פתרון
  • x = 4 או x = −4
  • רק x = 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. מעריכים שורש ומשלבים פעולות

לא כל שורש הוא מספר שלם. כדי לאמוד 20 משווים לריבועים מוכרים: 16 < 20 < 25, ולכן 4 < 20 < 5. השורש הריבועי עולה כשמספר לא־שלילי שבתוכו גדל. בשילוב חזקות ושורשים מחשבים קודם את הערך של כל ביטוי ואז את שאר הפעולות. שורש אינו מתפצל על חיבור: 9 + 16 = 5, בעוד 9 + 16 = 7.

דוגמה: חשבו 9 + 16, והשוו ל־9 + 16.

  1. בביטוי הראשון מחשבים את כל מה שבתוך השורש: 9 + 16 = 25. לכן 9 + 16 = 5.
  2. בביטוי השני יש שני שורשים נפרדים: 9 = 3 ו־16 = 4. לכן הסכום 7.
  3. התוצאות שונות. אין כלל שמאפשר לפרק שורש של סכום לסכום השורשים.

תרגול מודרך

בין אילו שני שלמים עוקבים נמצא 30?

  • בין 5 ל־6
  • בין 4 ל־5
  • בין 6 ל־7

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

חשבו 81 − 2².

  • 7
  • −7
  • 5

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.