חזקות ושורשים — משמעות וחוקי חישוב

בחזקה, הבסיס הוא המספר שחוזר בכפל, והמעריך אומר כמה גורמים כאלה יש. למשל 3⁴ פירושו ארבעה גורמים שכולם 3. המעריך אינו מספר שמכפילים בו את הבסיס פעם אחת; הוא מתאר את אורך שרשרת הכפל.

כאשר בסיס שלילי מוקף בסוגריים, המינוס הוא חלק מכל גורם בכפל. שני גורמים שליליים נותנים מכפלה חיובית. לכן בחזקה זוגית כל המינוסים מתחברים בזוגות, ובחזקה אי־זוגית נשאר מינוס אחד והתוצאה שלילית.

בלי סוגריים סביב המספר השלילי, המינוס שמלפני החזקה נשאר מחוץ לה. מחשבים קודם את החזקה ורק אז לוקחים את הערך הנגדי. לכן (−3)² ו־−3² אינם אותו ביטוי, אף שהם משתמשים באותם מספרים וסימנים.

כאשר כופלים חזקות בעלות אותו בסיס, מצרפים שתי שרשראות של אותו גורם. מספר הגורמים הכולל הוא סכום המעריכים, ולכן הבסיס נשאר והמעריכים מתחברים. התנאי הוא בסיס זהה וכפל בין החזקות; אין מחברים את הבסיסים עצמם.

בחילוק חזקות עם אותו בסיס, גורמים זהים במונה ובמכנה מצטמצמים. מספר הגורמים שנשאר הוא הפרש המעריכים. הבסיס חייב להיות שונה מאפס כדי שהחלוקה תהיה מוגדרת. כאן נתחיל במקרים שבהם במונה יש לפחות כמו במכנה.

בחיבור חזקות אין שרשרת משותפת של גורמים, ולכן אין לחבר מעריכים באופן אוטומטי. מחשבים את החזקות ומחברים את ערכיהן, או מכנסים איברים זהים אם למדו זאת. לפני שימוש בחוק בודקים גם את הפעולה שבין החזקות וגם את הבסיסים.

בחזקה של חזקה, כל עותק של החזקה הפנימית הוא שרשרת גורמים. המעריך החיצוני אומר כמה עותקים כאלה מכפילים. לכן מספר הגורמים הכולל מתקבל מכפל המעריכים, ולא מחיבורם. הסוגריים מראים שהחזקה הפנימית כולה היא הבסיס החדש.

מספר שאינו אפס חלקי עצמו שווה ל־1. אם כותבים את אותו חילוק כחילוק חזקות, הפרש המעריכים הוא אפס. כך מבינים מדוע a⁰ = 1 כאשר a שונה מאפס. התנאי חשוב: אין להשתמש בהסבר או בכלל הזה עבור 0⁰.

השורש הריבועי הראשי של מספר לא־שלילי הוא המספר הלא־שלילי שריבועו נותן אותו. סימן השורש מבקש ערך אחד כזה. למשל 7 וגם −7 נותנים ריבוע 49, אבל √49 מציין רק 7. גם לאפס יש שורש: אפס.

המשוואה x² = 49 אינה שואלת רק על ערך סימן השורש; היא מבקשת כל מספר שריבועו 49. מספר חיובי והנגדי שלו נותנים אותו ריבוע. לכן כאשר אגף ימין חיובי מתקבלים שני פתרונות, ואילו ל־x² = 0 יש פתרון יחיד.

סדר פעולות קובע כיצד לקרוא ביטוי באופן חד־משמעי. מחשבים קודם סוגריים, אחריהם חזקות ושורשים, אחר כך כפל וחילוק ולבסוף חיבור וחיסור. כפל וחילוק מבצעים משמאל לימין, וכך גם חיבור וחיסור בינם לבין עצמם. בכל שלב מחליפים רק את החלק שחישבנו.

כל מה שנמצא בתוך סימן השורש הוא מספר אחד שצריך למצוא לו שורש. בדרך כלל אי אפשר לפצל שורש של סכום לסכום של שורשים. מחשבים את הסכום שבתוך השורש לפני הפעלת השורש, כמו שמכבדים סוגריים בכל ביטוי אחר.

גם בלי מחשבון אפשר למצוא בין אילו מספרים שלמים נמצא שורש. מחפשים ריבוע שלם קטן מן המספר וריבוע שלם גדול ממנו. במספרים לא־שליליים סדר הריבועים נשמר, ולכן גם השורש נמצא בין הבסיסים של שני הריבועים האלה. הסימן < פירושו ״קטן מ־״; למשל 4 < 5 אומר ש־4 קטן מ־5.

בביטוי משולב בודקים תחילה בדיוק מה הבסיס ומה נמצא בתוך השורש. רק אז מחשבים את החזקות והשורשים וממשיכים לפי סדר הפעולות. כל כלל נשאר מקומי לחלק שלו; אין צורך להפעיל חוק חזקה על הביטוי כולו.