קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

פונקציות קוויות עם פרמטרים ומקרים חריגים

חוקרים משפחות של פונקציות קוויות: שינוי השיפוע, מקרים שאינם פונקציה, ישרים מקבילים או מתלכדים, אפסים ותנאי מפגש בתוך תחום נתון. זו העמקה ממוקדת בנושא, ולא כיסוי מלא של בחינת למידה מתקדמת בחטיבה.

הרחבה לבחירה · פונקציה קווית, שיפוע, חיתוכים והשוואת מודלים; משפחות פרמטרים הן אתגר לבחירה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/linear-functions?target=5

לפני שמתחילים

1. משפחה של פונקציות: הפרמטר קובע את השיפוע

במשפחה fₐ(x), האות x היא הקלט והאות a היא פרמטר ממשי: בוחרים ערך אחד של a ומקבלים פונקציה מסוימת. אם fₐ(x) = m(a)x + b(a), התנהגות הפונקציה נקבעת לפי סימן m(a). חשוב לכלול את הערכים שבהם השיפוע אפס: אז מתקבלת פונקציה קבועה, והיא עדיין פונקציה מותרת. b(a) משנה את החיתוך עם ציר y ואינו קובע אם הפונקציה עולה או יורדת. במסלול הזה פונקציה קווית כוללת גם פונקציה קבועה, כלומר משתמשים במשפחת הפונקציות האפיניות.

דוגמה: סווגו את fₐ(x) = (a − 1)x + 2a לעולה, יורדת או קבועה, עבור כל a ממשי.

  1. השיפוע הוא m(a) = a − 1, והאיבר הקבוע ביחס ל־x הוא b(a) = 2a.
  2. אם a > 1, השיפוע חיובי והפונקציה עולה. אם a < 1, השיפוע שלילי והיא יורדת.
  3. אם a = 1, השיפוע אפס ומתקבלת f₁(x) = 2, פונקציה קבועה.
  4. אין כאן חילוק בפרמטר, לכן כל a ממשי מותר. שלושת המקרים מכסים את כולם.

תרגול מודרך

לאילו a הפונקציה fₐ(x) = (3 − a)x − 7 יורדת?

  • a < 3
  • a > 3
  • a ≥ 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהו הסיווג המלא של fₐ(x) = (a² − 4)x + a?

  • עולה לכל a ≠ 2; קבועה ב־a = 2
  • יורדת כאשר a < −2 או a > 2; עולה כאשר −2 < a < 2; קבועה ב־a = ±2
  • עולה כאשר a < −2 או a > 2; יורדת כאשר −2 < a < 2; קבועה ב־a = ±2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. לפני שמבודדים y, בודקים במה מחלקים

במשוואה עם פרמטר המקדם של y עלול להתאפס. אין לחלק בו לפני שבודקים מתי הוא אפס. עבור הערכים האחרים מבודדים y וקוראים את השיפוע. בערך החריג חוזרים למשוואה המקורית: היא עשויה לתאר ישר אנכי, משוואה ללא פתרון או שוויון שמתקיים בכל נקודה, ולכן לא בהכרח פונקציה y של x. שיפוע אפס של ישר אופקי שונה משיפוע שאינו מוגדר בישר אנכי.

דוגמה: בדקו עבור אילו a המשוואה (a − 1)y = (a + 1)x + 2 מתארת פונקציה y של x, ומתי היא קבועה.

  1. אם a ≠ 1 אפשר לחלק ב־a − 1: y = []x + . זו פונקציה קווית לכל x ממשי.
  2. השיפוע אפס בדיוק כאשר a + 1 = 0, כלומר a = −1. ערך זה מותר כי a − 1 = −2 אינו אפס; מתקבל y = −1.
  3. אם a = 1, חוזרים למקור: 0 = 2x + 2, ולכן x = −1. זהו ישר אנכי, שאינו פונקציה y של x ושיפועו לא מוגדר.
  4. לסיכום: a = 1 נותן ישר אנכי; a = −1 נותן פונקציה קבועה; כל a אחר נותן פונקציה בעלת שיפוע שאינו אפס.

תרגול מודרך

במשפחה (a − 2)y = (a + 2)x + 4, איזה a נותן פונקציה קבועה ומהי?

  • a = −2, והפונקציה היא y = −1
  • a = 2, והפונקציה היא y = −1
  • a = −2, והפונקציה היא y = 1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מה מתארת המשוואה (a − 2)y = (a + 2)x + 4 כאשר a = 2?

  • פונקציה קבועה y = −1
  • ישר אנכי x = −1, שאינו פונקציה y של x
  • אין אף נקודה שמקיימת את המשוואה

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. שיפועים שווים מחייבים בדיקת האיבר הקבוע

כדי לסווג את המפגש בין שני ישרים עם פרמטר, מתחילים בתנאי לשוויון השיפועים. בכל ערך שמקיים אותו משווים גם את האיברים הקבועים: אם הם שווים, הישרים מתלכדים; אם הם שונים, הם מקבילים נפרדים. רק בשאר הערכים מותר לחלק בהפרש השיפועים כדי למצוא מפגש יחיד. צמצום גורם בתוצאה אינו מחזיר ערך שהיה אסור בחלוקה; את המקרה הזה פותרים במשוואה המקורית.

דוגמה: סווגו את המפגש של fₐ(x) = (a² − 1)x + a עם g(x) = 3x + 2, כאשר שתי הפונקציות מוגדרות לכל x ממשי.

  1. השיפועים שווים כאשר a² − 1 = 3, כלומר a² − 4 = 0. הפירוק (a − 2)(a + 2) = 0 נותן a = 2 או a = −2.
  2. ב־a = 2 מתקבל f₂(x) = 3x + 2 = g(x): הישרים מתלכדים, וכל נקודה עליהם משותפת.
  3. ב־a = −2 מתקבל f₋₂(x) = 3x − 2: השיפוע שווה לזה של g, אך האיבר הקבוע שונה. הישרים מקבילים נפרדים.
  4. לכל a ≠ 2 וגם a ≠ −2 יש מפגש יחיד. השוואת הפלטים נותנת (a² − 4)x = 2 − a, ולכן x = .
  5. אפשר לצמצם ל־x = −, אבל רק תחת התנאי a ≠ ±2 שכבר נקבע. את y מוצאים בהצבה y = 3x + 2; הנוסחה המצומצמת אינה הופכת את a = 2 למקרה של מפגש יחיד.
אותו שיפוע: התלכדות או שני ישרים נפרדים-4-224-6-4-2246xy0(0, 2)(0, −2)
אותו שיפוע: התלכדות או שני ישרים נפרדים

נתונות fₐ(x) = (a² − 1)x + a ו־g(x) = 3x + 2. כאן מוצגים שני ערכי הפרמטר החריגים שנמצאו בחישוב: ב־a = 2, הגרפים של f₂ ושל g הם אותו ישר; ב־a = −2, הגרף f₋₂(x) = 3x − 2 מקביל לו ונפרד ממנו. חיתוכי ציר y המסומנים נגזרו מהמשוואות.

שני הישרים המוצגים מוגדרים לכל x ממשי. המקרים המוצגים הם a = 2 ו־a = −2 בלבד; ערכי פרמטר אחרים נידונים בטקסט.

  • g(x) = f₂(x) = 3x + 2
  • f₋₂(x) = 3x − 2

תרגול מודרך

לאיזה a הישרים y = (a − 1)x + 2 ו־y = 2x + a מקבילים נפרדים?

  • לכל a
  • רק a = 2
  • רק a = 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

סווגו את y = (a + 1)x + a ואת y = 3x + 2, המוגדרות לכל x ממשי.

  • ב־a = 2 מתלכדים; בכל a אחר יש מפגש יחיד; אין ערך שנותן מקבילים נפרדים
  • ב־a = 2 מקבילים נפרדים; בכל a אחר יש מפגש יחיד
  • ב־a = −2 מתלכדים; בכל a אחר יש מפגש יחיד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. מסווגים אפסים בלי לאבד פונקציה קבועה

אפס של פונקציה הוא קלט שעבורו הפלט שווה לאפס. ב־f(x) = mx + b, אם m ≠ 0 יש אפס יחיד x = −. אם m = 0 ו־b ≠ 0 אין אפסים; אם m = 0 וגם b = 0, הפונקציה היא פונקציית האפס וכל קלט הוא אפס שלה. כשיש פרמטר בודקים תחילה את המקרה m = 0, ורק אחר כך מחלקים. כדי לקבוע אם האפס חיובי או שלילי, בודקים את סימני המונה והמכנה, וגם את הערך שבו המונה אפס.

דוגמה: סווגו את האפס של fₐ(x) = (a − 2)x + a + 1: מתי אינו קיים, ומתי הוא שלילי, אפס או חיובי?

  1. ב־a = 2 מתקבלת הפונקציה הקבועה 3, ולכן אין לה אפסים.
  2. ב־a ≠ 2 יש אפס יחיד x₀ = −. נקודות ההפרדה לבדיקה הן a = −1, שמאפס את המונה, ו־a = 2, שמאפס את המכנה.
  3. אם a < −1, המונה −(a + 1) חיובי והמכנה שלילי, ולכן x₀ < 0. ב־a = −1 מתקבל x₀ = 0.
  4. אם −1 < a < 2, המונה והמכנה שליליים, ולכן x₀ > 0. אם a > 2, המונה שלילי והמכנה חיובי, ולכן x₀ < 0.
  5. אין כאן ערך שנותן את פונקציית האפס: a − 2 = 0 ו־a + 1 = 0 אינם יכולים להתקיים יחד.

תרגול מודרך

לאילו a יש לפונקציה fₐ(x) = (a − 1)x + 2 אפס חיובי?

  • a > 1
  • a < 1
  • a ≤ 1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהו הסיווג המלא של אפסי fₐ(x) = ax + a?

  • לכל a יש אפס יחיד x = −1
  • ב־a = 0 אין אפסים; בכל a אחר האפס הוא x = −1
  • ב־a = 0 כל x הוא אפס; בכל a אחר יש אפס יחיד x = −1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. מפגש אלגברי חייב להיות בתחום המודל

במודל עם פרמטר יש שני סוגי תנאים: הערכים המותרים לפרמטר והקלטים המותרים לפונקציות. מוצאים את המפגש תוך בדיקת ערכי פרמטר חריגים, ואז דורשים שהקלט שהתקבל יהיה בתחום המשותף. בפתרון אי־שוויון עם מכנה שתלוי בפרמטר קובעים תחילה את סימן המכנה. מפגש מחוץ לתחום הזמן אינו פתרון לשאלה על השירות, גם אם הוא נכון עבור הישרים המורחבים. נקודת קצה נכללת רק אם היא מותרת במודל.

דוגמה: שתי השכרות זמינות ל־0 ≤ t ≤ 4 שעות. עלות א היא Cₐ(t) = (a + 1)t + 6 ש״ח ועלות ב היא Cᵦ(t) = 3t + 10 ש״ח, כאשר a ≥ 0. לאילו a קיים זמן מותר שבו המחירים שווים?

  1. משווים מחירים ומקבלים (a − 2)t = 4. אם a = 2 מתקבל 0 = 4, ולכן אין זמן של שוויון.
  2. אם a ≠ 2, זמן המפגש הוא t = . הוא אינו יכול להיות 0, כי המונה 4 אינו אפס.
  3. כדי ש־t יהיה חיובי צריך a > 2. תחת תנאי זה המכנה חיובי, ו־t ≤ 4 שקול ל־4 ≤ 4(a − 2), כלומר a ≥ 3.
  4. ב־a = 3 המחירים שווים ב־t = 4, שהיא נקודת קצה מותרת. ב־a > 3 המפגש נמצא בין 0 ל־4.
  5. לכן התשובה היא a ≥ 3. עבור 0 ≤ a < 2 המפגש בזמן שלילי, ועבור 2 < a < 3 הוא אחרי 4 שעות; שני הסוגים אינם מתאימים לתחום המודל.

תרגול מודרך

שתי עלויות הן Cₐ(t) = at + 5 ו־Cᵦ(t) = 2t + 11, בש״ח, כאשר a ≥ 0 ו־0 ≤ t ≤ 3 שעות. לאילו a יש זמן מותר שבו העלויות שוות?

  • a ≥ 4
  • a > 2
  • 0 ≤ a ≤ 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

עלויות שני שירותים הן Cₐ(t) = (a + 2)t + 4 ו־Cᵦ(t) = 4t + 10, בש״ח. שני השירותים זמינים רק ל־1 ≤ t ≤ 3 שעות, ו־a ≥ 0. לאילו a יש זמן מותר של שוויון מחירים?

  • a ≥ 4
  • 4 ≤ a ≤ 8
  • 2 < a < 8

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.