קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

פונקציה קווית: שיפוע, חיתוכים ומודל

בונים את משמעות הפונקציה, קוראים את השיפוע ואת הערך ההתחלתי, מוצאים חיתוכים עם הצירים ובוחרים תחום מתאים לבעיה. המסלול כולל פונקציות קבועות והוא יחידת למידה ממוקדת, ולא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

יסודות בחטיבה · פונקציה קווית, שיפוע, חיתוכים והשוואת מודלים; משפחות פרמטרים הן אתגר לבחירה. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/linear-functions?target=3

לפני שמתחילים

1. פונקציה נותנת פלט אחד לכל קלט

פונקציה היא כלל שמקשר לכל קלט מותר פלט אחד בלבד. נסמן את הקלט ב־x ואת הפלט ב־y. למשל, בכלל y = 2x + 1 כופלים את הקלט ב־2 ואז מוסיפים 1. זוג הקלט והפלט יוצר נקודה (x, y) על הגרף. כדי לבדוק אם נקודה שייכת לגרף, מציבים את ערך ה־x שלה ובודקים אם מתקבל ערך ה־y שלה. אם לא נאמר אחרת, כל מספר ממשי מותר כקלט בפונקציות מהצורה הזאת.

דוגמה: מצאו את הפלט של y = 2x + 1 כאשר x = 4, ובדקו אם (4, 9) שייכת לגרף.

  1. מציבים את הקלט במקום x: y = 2 × 4 + 1.
  2. כופלים לפני החיבור ומקבלים y = 8 + 1 = 9.
  3. לכן לקלט 4 מתאים הפלט 9, והנקודה (4, 9) שייכת לגרף.
  4. הנקודה (4, 8) אינה שייכת לגרף: באותו קלט 4 הכלל נותן 9, ולא 8.

תרגול מודרך

בפונקציה y = 2x + 1, מהו הפלט כאשר x = 3?

  • 6
  • 7
  • 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

בפונקציה y = −x + 4, איזו נקודה מתקבלת מהקלט x = −2?

  • (−2, 2)
  • (2, 6)
  • (−2, 6)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. קוראים את m ואת b

פונקציה מהצורה y = mx + b מיוצגת בגרף שהוא ישר. m הוא השיפוע: השינוי ב־y כאשר x גדל ב־1. b הוא הפלט כאשר x = 0, ולכן נקודת החיתוך עם ציר y היא (0, b). אפשר לכתוב את האיברים בסדר אחר בלי לשנות את משמעותם. למשל, y = 5 − x הוא y = −1x + 5. במסלול הזה השם פונקציה קווית כולל גם פונקציה קבועה, שבה m = 0; למכלול הזה קוראים גם פונקציות אפיניות.

דוגמה: בפונקציה y = 3x + 2, הסבירו את השיפוע ואת הערך ההתחלתי בעזרת שלושה קלטים.

  1. כאשר x = 0 מתקבל y = 2; לכן b = 2 והחיתוך עם ציר y הוא (0, 2).
  2. כאשר x = 1 מתקבל y = 5, וכאשר x = 2 מתקבל y = 8.
  3. בכל תוספת של 1 לקלט, הפלט גדל ב־3: מ־2 ל־5 ומ־5 ל־8.
  4. לכן m = 3. המספר 2 מתאר את הפלט ההתחלתי, ולא את קצב השינוי.

תרגול מודרך

מהם השיפוע m והערך ההתחלתי b בפונקציה y = −2x + 7?

  • m = −2, b = 7
  • m = 7, b = −2
  • m = 2, b = 7

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהם m ו־b בפונקציה y = 5 − x?

  • m = 5, b = −1
  • m = −1, b = 5
  • m = 1, b = 5

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. עולה, יורדת וקבועה: לפי סימן השיפוע

קוראים עלייה וירידה כאשר מתקדמים משמאל לימין, כלומר כאשר x גדל. אם m חיובי, הפלט גדל והפונקציה עולה; אם m שלילי, הפלט קטן והיא יורדת. אם m = 0, הפלט קבוע והגרף אופקי. למשל, y = 4 היא פונקציה קבועה עם שיפוע אפס. לעומת זאת, x = 4 מתאר ישר אנכי: לאותו x יש עליו ערכי y רבים, ולכן הוא אינו גרף של פונקציה y של x. שיפוע ישר אנכי אינו מוגדר; הוא אינו אפס.

דוגמה: השוו את ההתנהגות של y = −2x + 6 ושל y = 3.

  1. ב־y = −2x + 6 השיפוע הוא −2, ולכן הפונקציה יורדת.
  2. אפשר לבדוק: בקלט 1 הפלט הוא 4 ובקלט 2 הפלט הוא 2. הפלט ירד ב־2 כשהקלט גדל ב־1.
  3. ב־y = 3 אפשר לכתוב y = 0x + 3. כל קלט נותן 3, ולכן זו פונקציה קבועה ושיפועה אפס.
  4. בשני המקרים יש פלט אחד לכל קלט. גם ישר אופקי הוא גרף של פונקציה.

תרגול מודרך

כיצד מתנהגת הפונקציה y = 8 − x כאשר x גדל?

  • עולה
  • קבועה
  • יורדת

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה תיאור נכון לישרים y = 4 ו־x = 4?

  • ל־y = 4 שיפוע אפס; ל־x = 4 שיפוע לא מוגדר והוא אינו פונקציה y של x
  • לשני הישרים שיפוע אפס
  • ל־y = 4 שיפוע לא מוגדר; ל־x = 4 שיפוע אפס

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. חיתוך עם ציר: איזה ערך מאפסים?

בכל נקודה על ציר y מתקיים x = 0, לכן מציבים x = 0 כדי למצוא את החיתוך איתו. בכל נקודה על ציר x מתקיים y = 0, לכן משווים את הפלט לאפס ופותרים עבור x. החיתוך עם ציר y נכתב (0, b); החיתוך עם ציר x נכתב (x, 0). לפונקציה קווית בעלת שיפוע שאינו אפס יש חיתוך יחיד עם כל ציר. פונקציה קבועה שאינה אפס, כגון y = 5, אינה חותכת את ציר x; הגרף y = 0 הוא ציר x עצמו.

דוגמה: מצאו את חיתוכי הפונקציה y = 2x − 6 עם שני הצירים.

  1. לציר y מציבים x = 0 ומקבלים y = −6, לכן הנקודה היא (0, −6).
  2. לציר x מציבים y = 0 ומקבלים 0 = 2x − 6.
  3. מעבירים את −6 לאגף השני עם שינוי סימן: 6 = 2x, כלומר 2x = 6. זה שקול להוספת 6 לשני האגפים. מחלקים ב־2 ומקבלים x = 3.
  4. נקודת החיתוך עם ציר x היא (3, 0). בדיקה: 2 × 3 − 6 = 0.
שני חיתוכים, שני ערכים שמאפסים-4-22468-8-6-4-22468xy0(0, −6)(3, 0)
שני חיתוכים, שני ערכים שמאפסים

נתונה הפונקציה y = 2x − 6. הנקודות (0, −6) ו־(3, 0) התקבלו בחישוב בדוגמה: בראשונה x = 0 ובשנייה y = 0. הישר ממשיך מעבר לחלון המוצג.

כל x ממשי; גבולות התצוגה אינם מגבילים את תחום הפונקציה.

  • y = 2x − 6

תרגול מודרך

מהם חיתוכי y = −x + 4 עם הצירים?

  • עם ציר y: (4, 0); עם ציר x: (0, 4)
  • עם ציר y: (0, 4); עם ציר x: (4, 0)
  • עם ציר y: (0, −4); עם ציר x: (4, 0)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

באיזו נקודה הפונקציה y = 3x + 6 חותכת את ציר x?

  • (2, 0)
  • (0, 6)
  • (−2, 0)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. מודל קווי כולל יחידות ותחום מתאים

בבעיה מילולית מגדירים תחילה מה מייצגים הקלט והפלט ובאילו יחידות. האיבר b הוא הכמות ההתחלתית, ו־m הוא התוספת או הירידה לכל יחידת קלט. תחום ההגדרה אומר אילו קלטים מתאימים לסיפור. זמן יכול להיות גם חלק מדקה, אבל מספר ספרים הוא שלם. אם מיכל מתרוקן, מודל הכמות שנותרה תקף רק עד ההתרוקנות; תוצאה שלילית אינה כמות מים אפשרית.

דוגמה: במיכל 12 ליטרים. מוציאים ממנו 2 ליטרים לדקה בקצב קבוע עד שהוא ריק. כתבו מודל, מצאו את הכמות אחרי 3 דקות ואת תחום הזמן.

  1. נסמן ב־t את הזמן בדקות מתחילת ההוצאה וב־y את כמות המים בליטרים. מתחילים ב־12 ומפחיתים 2 לכל דקה: y = 12 − 2t.
  2. אחרי 3 דקות: y = 12 − 2 × 3 = 6 ליטרים.
  3. המיכל מתרוקן כאשר 12 − 2t = 0, כלומר t = 6 דקות.
  4. המודל מתאר את התהליך בתחום 0 ≤ t ≤ 6, כולל חלקי דקות. ב־t = 7 הביטוי נותן −2, ולכן אינו מתאר עוד את כמות המים.

תרגול מודרך

בחנות דמי אריזה קבועים של 5 ש״ח ועוד 4 ש״ח לכל ספר. אפשר להזמין בין 0 ל־20 ספרים. איזה מודל מתאר את העלות C לפי מספר הספרים n?

  • C = 4n + 5, כאשר n שלם ו־0 ≤ n ≤ 20
  • C = 5n + 4, כאשר n שלם ו־0 ≤ n ≤ 20
  • C = 4n + 5, לכל מספר ממשי n

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מיכל מכיל 24 ליטרים ומתרוקן בקצב קבוע של 3 ליטרים לדקה עד שהוא ריק. איזה מודל ותחום מתאימים לכמות y אחרי t דקות?

  • y = 24 − 3t, לכל t ≥ 0
  • y = 24 − 3t, כאשר 0 ≤ t ≤ 8
  • y = 3t + 24, כאשר 0 ≤ t ≤ 8

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.