קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

בניות בסרגל ובמחוגה · אתגר והכללה

משלבים בניות בסיסיות, בונים מרכז מעגל דרך שלושה קודקודים, ומנתחים מספר פתרונות וחפיפה במסגרת חטיבת הביניים.

הרחבה לבחירה · מיפוי פדגוגי לחטיבת הביניים על בסיס תוכנית החטיבה; ההרחבות מסומנות לפי מוכנות. אין כאן אימות מלא לכל החרגות תוכנית תשפ״ז. הרמות הן עומק למידה, לא מספר יחידות בתיכון. משלבים בניות בסיסיות, בונים מרכז מעגל דרך שלושה קודקודים, ומנתחים מספר פתרונות וחפיפה במסגרת חטיבת הביניים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/geometric-constructions?target=5

לפני שמתחילים

1. בונים נקודה שוות־מרחק משלושה קודקודים

במשולש לא מנוון ABC, חיתוך האנכים האמצעיים לשתי צלעות קובע נקודה O שוות־מרחק משלושת הקודקודים. אם O על האנך האמצעי ל־AB אז OA = OB; אם היא גם על האנך האמצעי ל־AC אז OA = OC. לכן OB = OC, ו־O נמצאת גם על האנך האמצעי ל־BC. הנקודה היא מרכז המעגל העובר דרך שלושת הקודקודים. היא עשויה להיות בתוך המשולש, על צלעו או מחוץ לו; אין להכריח אותה להיות בפנים.

דוגמה: בנו מעגל העובר דרך קודקודי משולש ABC והוכיחו שאותה בחירת רדיוס מתאימה לכולם.

  1. בונים את האנך האמצעי ל־AB ואת האנך האמצעי ל־AC, ומסמנים את מפגשם O. במשולש לא מנוון הצלעות אינן על אותו ישר ולכן האנכים אינם מקבילים.
  2. מן האנך האמצעי ל־AB מתקבל OA = OB; מן האנך האמצעי ל־AC מתקבל OA = OC. לכן OA = OB = OC.
  3. משרטטים מעגל שמרכזו O ורדיוסו OA. שלוש הנקודות A,B,C עליו. אין צורך לבנות אנך אמצעי שלישי.

תרגול מודרך

מדוע נקודת המפגש של שני אנכים אמצעיים שייכת גם לשלישי?

  • כי O תמיד בתוך המשולש
  • כי OA = OB ו־OA = OC גוררים OB = OC
  • כי כל שלושת הישרים נראים נפגשים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשולש ישר־זווית מרכז המעגל דרך הקודקודים נמצא באמצע היתר. האם מותר לפסול בנייה כי המרכז אינו בתוך המשולש?

  • לא, המרכז יכול להיות על צלע
  • כן, המרכז תמיד פנימי
  • כן, אסור שמעגל יחתוך משולש

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. בונים משולש בעזרת חציות זווית ומאונכות

אפשר לבנות זווית של 45° בלי מד זווית: בונים תחילה זווית ישרה וחוצים אותה. לבניית משולש שווה־שוקיים ישר־זווית שבסיסו AB הוא היתר, בונים קרניים היוצרות 45° עם AB ועם BA באותו צד של הבסיס. מפגש הקרניים הוא C. זוויות הבסיס שוות ל־45°, ולכן זווית הראש 90° והשוקיים AC,BC שוות. בחירת אותו חצי־מישור חיונית; קרניים הפונות לצדדים שונים אינן הבנייה המבוקשת.

דוגמה: נתון קטע AB. בנו משולש ABC כך ש־AC = BC ו־∠ACB = 90°, בלי מד זווית.

  1. בונים אנך לישר AB דרך A ואנך דרך B. בוחרים את שתי קרני האנך באותו צד של AB.
  2. חוצים את הזווית הישרה שבין AB והאנך דרך A, ואת הזווית הישרה שבין BA והאנך דרך B. מסמנים את מפגש שתי קרני החצייה C.
  3. ∠CAB = ∠CBA = 45°, ולכן ∠ACB = 180° − 45° − 45° = 90°. מול זוויות הבסיס השוות נמצאות הצלעות BC ו־AC, ולכן הן שוות.

תרגול מודרך

במשולש שנבנה, איזו צלע היא היתר?

  • AB
  • AC
  • BC

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מדוע יש לבחור את קרני האנך דרך A ו־B באותו צד של AB?

  • כדי לשנות את אורך AB
  • כדי שהאנכים לא יהיו מקבילים
  • כדי שקרני חציית הזוויות ייפגשו בצד שנבחר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. קיום ויחידות: שתי תמונות, אותו משולש

בבניית שלוש צלעות יש להפריד בין קיום לבין יחידות עד כדי חפיפה. אי־שוויון המשולש מבטיח קיום. שתי נקודות החיתוך C,D של מעגלים שמרכזיהם A,B נותנות משולשים ABC ו־ABD חופפים לפי צלע־צלע־צלע: AB משותפת, AC = AD כרדיוסים, BC = BD כרדיוסים. הם נמצאים משני צדי AB ומשתקפים ביחס אליו. לכן יש שתי אפשרויות מיקום עבור בסיס קבוע, אך רק צורת משולש אחת עד כדי חפיפה.

דוגמה: בבנייה AB = 7, AC = BC = 5, התקבלו שני חיתוכים C,D. הוכיחו שהמשולשים חופפים ושהישר CD הוא האנך האמצעי ל־AB.

  1. קיום: 0 < 7 < 10, לכן המעגלים בעלי רדיוס 5 ומרחק מרכזים 7 נפגשים בשתי נקודות.
  2. AB משותפת, AC = AD = 5 ו־BC = BD = 5. לכן △ABC ≅ △ABD לפי צלע־צלע־צלע.
  3. AC = BC וגם AD = BD, ולכן C,D שתיהן על האנך האמצעי ל־AB. מכיוון שהן שונות, CD הוא אותו ישר. הטענה האחרונה משתמשת ברדיוסים השווים כאן, ואינה נכונה לכל בניית שלוש צלעות.

תרגול מודרך

בשתי תוצאות בנייה בעלות צלעות 4,5,6, מה נכון?

  • הם אינם חופפים כי מיקומם שונה
  • הם חופפים רק אם כל הזוויות 60°
  • המשולשים חופפים גם אם הם משני צדי הבסיס

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מרכזי המעגלים A,B ורדיוסיהם 4 ו־6. האם ישר החיתוכים שלהם חייב להיות האנך האמצעי ל־AB?

  • כן, כי 4 + 6 זוגי
  • לא, נקודות החיתוך אינן שוות־מרחק מ־A ומ־B
  • כן, בכל שני מעגלים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. מתכננים בנייה ומוכיחים את כל הדרישות

תכנון בנייה מתחיל בתרגום כל דרישה למקום גאומטרי: מרחק קבוע מ־A מתואר על ידי מעגל; שוויון מרחקים מ־A ומ־B מתואר על ידי האנך האמצעי ל־AB. חיתוך המקומות נותן מועמדים, ואחר כך בודקים קיום, מספר אפשרויות והוכחה. אין די בכך שהציור נראה מתאים. נקודת חיתוך על הישר AB עלולה לתת משולש מנוון ויש לפסול אותה כשנדרש משולש.

דוגמה: נתון קטע AB באורך 6 וקטע באורך 5. בנו את כל הנקודות C המקיימות CA = CB = 5, והסבירו כמה משולשים מתקבלים עבור הבסיס הקבוע.

  1. הדרישה CA = CB מציבה את C על האנך האמצעי ל־AB. בונים אותו ומסמנים M אמצע AB; AM = 3.
  2. משרטטים מעגל שמרכזו A ברדיוס 5 המועתק מהקטע הנתון. הוא חותך את האנך האמצעי בשתי נקודות, כי מרחק A מהישר הוא 3 ו־5 > 3.
  3. בכל חיתוך CA = 5 כרדיוס ו־CA = CB בגלל האנך האמצעי, לכן גם CB = 5. שני החיתוכים אינם על AB, ולכן מתקבלים שני משולשים לא מנוונים, חופפים, משני צדיו.

תרגול מודרך

באותה בנייה עם AB = 6, אם הרדיוס 3 במקום 5, מה מתקבל?

  • אין אפילו נקודת חיתוך
  • רק M, ללא משולש לא מנוון
  • שני משולשים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

עם AB = 6 ורדיוס 2, כמה נקודות מקיימות CA = CB = 2?

  • 0
  • 1
  • 2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.