קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

שברים: השוואה, תחום הגדרה וחלק מהיתרה

משווים בלי קירובים, מוצאים מספר בין שברים ומסבירים מה צמצום ושינוי של השלם שומרים ומה הם משנים. רמת למידה של קליק לפי הידע הקודם; ההרחבות אינן חובת לימוד לכל תלמידי החטיבה.

הרחבה לבחירה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/fraction-foundations?target=5

לפני שמתחילים

1. לשברים קרובים ל־1 משווים את מה שחסר

שברים מהצורה , עבור מספר חיובי n, שווים ל־1 − . כשמשווים למשל ו־, אפשר להשוות את הפערים שלהם מ־1 במקום להמיר לעשרוניים. ככל שהפער החיובי קטן יותר, השבר גדול יותר. שיטה זו נשענת על מבנה מסוים; לא משתמשים בה אוטומטית אם אין אותו מונה־חסר או אם המכנים אינם חיוביים.

דוגמה: השוו ו־ בלי קירוב עשרוני.

  1. = 1 − , ואילו = 1 − .
  2. בחלקים של אותו שלם, < כי חמישה־עשר חלקים שווים קטנים מעשרה חלקים שווים.
  3. לכן מחסרים מ־1 פחות במקרה של , ומקבלים > .
  4. בדיקה במכנה 30: = ו־ = . ההפרש המדויק הוא .

תרגול מודרך

מה גדול יותר: או ?

  • השברים שווים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהו ההפרש המדויק − ?

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. בין שני שברים שונים אפשר למצוא שבר נוסף

הממוצע של שני מספרים שונים נמצא ממש ביניהם. אם a < b, אז חצי מן ההפרש b − a חיובי, ולכן a + גדול מ־a וקטן מ־b. הביטוי הזה שווה ל־. כשהמספרים שברים, גם הממוצע שבר. אפשר לחזור על הפעולה, ולכן אין ״השבר הבא״ על ישר המספרים. אין צורך לעגל לעשרוני או להסתמך על ציור בלבד.

דוגמה: מצאו שבר שנמצא בדיוק באמצע בין לבין .

  1. מחשבים את הסכום במכנה 12: + = + = .
  2. מחלקים ב־2: = .
  3. בודקים את הסדר במכנה 24: = < < = .
  4. המרחק לשני הקצוות שווה ל־. גם בין לבין אפשר למצוא ממוצע חדש.

תרגול מודרך

איזה שבר נמצא בדיוק באמצע בין ל־?

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

האם יש שני שברים שונים שאין שום שבר ביניהם?

  • כן, אם המכנים שווים
  • לא, הממוצע שלהם הוא שבר שנמצא ממש ביניהם
  • כן, למשל ו־

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. פישוט מנה אינו מחזיר ערכים שהיו אסורים

במנה מורכבת בודקים גם את המכנים הפנימיים וגם את המחלק כולו. בביטוי , תחילה נדרש x ≠ 0. נוסף לכך המחלק 1 + חייב להיות שונה מאפס, ולכן x ≠ −1. אפשר לפשט את הנוסחה, אבל השוויון לנוסחה הפשוטה תקף רק בתחום המקורי. ביטוי פשוט יותר עשוי להיות מוגדר בנקודה שבה הביטוי המקורי לא הוגדר.

דוגמה: פשטו ושמרו את כל תנאי התחום.

  1. המכנים הפנימיים מחייבים x ≠ 0. המחלק כולו הוא , ולכן הוא אינו אפס רק אם x ≠ −1.
  2. בתחום המותר מחלקים באמצעות כפל בהופכי: () × .
  3. מצמצמים את הגורם x, שמותר לבטל כי x ≠ 0, ומקבלים .
  4. התוצאה נשארת עם שני התנאים x ≠ 0 ו־x ≠ −1. הצבת 0 בנוסחה הפשוטה אינה הופכת אותו למותר בביטוי המקורי.

תרגול מודרך

איזה פישוט ותחום נכונים ל־?

  • , כאשר x ≠ 0 וגם x ≠ −1
  • , כאשר x ≠ 0 וגם x ≠ −1
  • , כאשר רק x ≠ −1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה פישוט ותחום נכונים ל־[] ÷ [1 + ]?

  • , כאשר רק x ≠ 1
  • , כאשר x ≠ 1 וגם x ≠ 2
  • , כאשר x ≠ 1 וגם x ≠ 2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. חלק מן היתרה: עוקבים אחרי הכמות שנשארת

כאשר מוציאים מכמות, נשארים ממנה. אם אחר כך מוציאים מהיתרה, נשארים מהיתרה, כלומר () × () מהכמות המקורית. אין לחבר אוטומטית את שברי ההוצאה, מפני שהשלם השתנה. אם הופכים את סדר שתי ההוצאות היחסיות, כמות היתרה הסופית אינה משתנה: אלה אותם שני גורמי כפל בסדר הפוך. הכמות שהוצאה בכל שלב בנפרד כן עשויה להשתנות.

דוגמה: מוציאים רבע מכמות, ואז שליש מהיתרה. השוו למצב שבו מוציאים שליש מהכמות, ואז רבע מהיתרה.

  1. בסדר הראשון נשארים תחילה , ואחר כך מתוכם: () × () = .
  2. בסדר ההפוך נשארים תחילה , ואחר כך מתוכם: () × () = .
  3. התוצאה זהה בגלל חילופיות הכפל, לא מפני שסכום שברי ההוצאה נשאר אותו דבר.
  4. למשל מתוך 120: בסדר הראשון מוציאים 30 ואז 30; בשני מוציאים 40 ואז 20. בשניהם נשארים 60.

תרגול מודרך

מוציאים מכמות ואחר כך מהיתרה. איזה חלק מהכמות המקורית נשאר?

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מוציאים מכמות ואחר כך מהיתרה. מה יקרה ליתרה הסופית אם נהפוך את סדר שתי ההוצאות היחסיות?

  • היא לא תשתנה: בשני הסדרים נשארים מהמקור
  • היא תגדל
  • היא תקטן

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.