קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

משוואות שבריות עם פרמטרים וערכים חריגים

בודקים תחום שתלוי בפרמטר, מקרים שבהם המועמד אסור, זהויות וחריגים שונים באותה משוואה. זוהי העמקה ממוקדת במשוואות שברים, לא כיסוי מלא של בחינת למידה מתקדמת בחטיבה.

הרחבה לבחירה · מכנים מספריים ובהמשך מכנים אלגבריים. תחום הגדרה והרחבות פרמטרים מחייבים ידע קודם מתאים. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/fraction-equations?target=5

לפני שמתחילים

1. פרמטר במכנה: גם הנתון חייב להיות מותר

במסלול הזה x הוא הנעלם ו־a הוא פרמטר, כלומר מספר שקובעים לפני פתרון המשוואה. נדרשת שליטה בהסרת מכנים, סוגריים ותחום הגדרה; אפשר להשלים במסלול תרגול והעמקה. אם המכנה הוא a, הביטוי מוגדר רק עבור a ≠ 0. זהו תנאי על הנתון, לא איסור על x. מבחינים בין ערך פרמטר שבו המשוואה כלל אינה מוגדרת, לבין משוואה מוגדרת שאין לה פתרון. אין לחלק בביטוי עם פרמטר בלי לבדוק אם הוא אפס.

דוגמה: פתרו את + 1 = 2 לפי ערכי a.

  1. תחילה a ≠ 0, כי a מופיע במכנה. עבור a = 0 המשוואה אינה מוגדרת ולכן אין לה פתרון מותר.
  2. לכל a ≠ 0 מעבירים +1 כחיסור: = 1.
  3. כופלים ב־a, שמובטח שאינו אפס: x = a.
  4. בדיקה: + 1 = 2 עבור a ≠ 0. לא כוללים את המקרה a = 0 בנוסחת הפתרון.

תרגול מודרך

איזה תנאי דרוש כדי שהמשוואה = 3 תהיה מוגדרת?

  • a ≠ 2
  • x ≠ 2
  • a ≠ 0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נתון a ≠ 0. פתרו − 2 = 1.

  • x = 3a
  • x = −a
  • x =

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. מכנה x − a: הערך האסור משתנה

כאשר המכנה הוא x − a, תחום ההגדרה הוא x ≠ a. האיסור משתנה יחד עם הפרמטר. פותרים עבור x תוך שמירת התנאי הזה, ואז משווים את הנוסחה שהתקבלה לערך האסור. לא כל פרמטר יוצר מקרה חריג: לפעמים הנוסחה תמיד רחוקה מהערך האסור, ואז יש פתרון יחיד לכל a.

דוגמה: פתרו את = 1 לכל a ממשי.

  1. תחום: x ≠ a.
  2. בתחום הזה כופלים ב־x − a ומקבלים 2 = x − a.
  3. מעבירים −a כחיבור: x = a + 2.
  4. המועמד תמיד מותר, כי a + 2 אינו שווה ל־a. בדיקה: = = 1. לכן לכל a ממשי יש פתרון יחיד.

תרגול מודרך

מהו תחום ההגדרה של = 2?

  • x ≠ −a
  • x ≠ a
  • a ≠ 0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו = 1 לכל a ממשי.

  • x = a + 3, לכל a
  • x = a − 3, לכל a
  • x = a + 3, רק אם a ≠ 0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. שני מכנים: פרמטר שעלול לפסול את המועמד

כאשר יש שני מכנים, כותבים את שני האיסורים גם אם בערך מסוים של הפרמטר הם מתלכדים. אחרי הכפל במכפלת המכנים פותרים עבור x. כעת בודקים באילו ערכי פרמטר המועמד שווה לאחד הערכים האסורים. ערכים אלה דורשים בדיקה נפרדת במקור. ביטול מכנים אינו הופך מועמד אסור לפתרון.

דוגמה: פתרו את = לפי a.

  1. תחום: x ≠ a וגם x ≠ −1.
  2. בתחום הזה כופלים במכפלת המכנים: x + 1 = 2(x − a).
  3. פותחים ומעבירים אגפים: x = 2a + 1.
  4. המועמד שווה ל־a אם a = −1, וגם שווה ל־−1 אם a = −1. זהו המקרה החריג היחיד.
  5. אם a = −1, המשוואה היא = , ולכן אין פתרון בתחום. אם a ≠ −1, המועמד x = 2a + 1 מותר והוא הפתרון היחיד.

תרגול מודרך

במשוואה = , מה קורה אם a = −1?

  • אין פתרון
  • x = −1
  • כל x חוץ מ־−1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו = .

  • x = 5
  • x = 2
  • x = −1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. אחרי הכפל נשאר רק תנאי על הפרמטר

ייתכן שהנעלם ייעלם לאחר הסרת המכנים, ותישאר דרישה על a בלבד. אם הדרישה נכונה, כל x בתחום המקורי פותר. אם היא שקרית, אין פתרון. זהות בתחום אינה אומרת שכל מספר ממשי מתאים: הערכים שמאפסים מכנה נשארים בחוץ. לעומת זאת, אין צורך לחפש פתרון יחיד כשהאלגברה מראה שכל הערכים בתחום מתאימים.

דוגמה: סווגו את פתרונות = לפי a.

  1. תחום: x ≠ 1.
  2. כופלים ב־x − 1 ומקבלים a = 1. זהו תנאי על הפרמטר, לא פתרון עבור x.
  3. אם a = 1, שני אגפי המשוואה המקורית זהים. כל x חוץ מ־1 פותר.
  4. אם a ≠ 1, השוויון a = 1 אינו נכון ולכן אין פתרון. אין ערך של a שנותן פתרון יחיד.

תרגול מודרך

במשוואה = , נתון a = 3. מהם הפתרונות?

  • כל x חוץ מ־2
  • רק x = 3
  • אין פתרון

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשוואה = , איזה תיאור מלא נכון?

  • אם a = 3: כל x חוץ מ־−2; אחרת אין פתרון
  • אם a = 4: כל x חוץ מ־−2; אחרת אין פתרון
  • לכל a יש פתרון יחיד

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. מסכמים: חריג בחלוקה וחריג בתחום

לפעמים יש שתי סיבות שונות להפרדת מקרים. ראשית, פרמטר במקדם עשוי להתאפס ולכן אסור לחלק בו. שנית, הנוסחה שנמצאה עשויה ליפול על ערך אסור במכנה המקורי. עובדים בסדר: תחום הגדרה, הסרת מכנה, בדיקת מקדם אפס, פתרון במקרה שאינו אפס, ובדיקת המועמד מול התחום. בשלב האחרון חוזרים למקור כדי לוודא שהסיווג שלם.

דוגמה: סווגו את פתרונות = a לפי a.

  1. תחום: x ≠ 2. כופלים במכנה: a − 1 = a(x − 2).
  2. אם a = 0, מתקבל −1 = 0. לכן אין פתרון. זהו מקרה שחייבים לבדוק לפני חלוקה ב־a.
  3. אם a ≠ 0, מחלקים ב־a ומקבלים x − 2 = , ולכן x = 3 − .
  4. המועמד שווה לערך האסור 2 כאשר a = 1. במקרה הזה המשוואה המקורית אומרת = 1, ולכן אין פתרון.
  5. סיכום: אם a = 0 או a = 1 אין פתרון. לכל a אחר יש פתרון יחיד x = 3 − , והוא בתחום.

תרגול מודרך

במשוואה = a, מדוע a = 1 אינו נותן פתרון?

  • המועמד x = 2 אסור במקור
  • אסור לחלק ב־1
  • כל x מותר פותר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במשוואה = a, נתון a = 2. מהו הפתרון?

  • x =
  • x = 2
  • אין פתרון

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.