קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

משוואות עם מכנים אלגבריים ותחום הגדרה

משלבים מכנים מספריים ואלגבריים, סוגריים, שני מכנים שונים ומועמדים שנפסלים. זהו מסלול למידה ממוקד, ולא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · מכנים מספריים ובהמשך מכנים אלגבריים. תחום הגדרה והרחבות פרמטרים מחייבים ידע קודם מתאים. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/fraction-equations?target=4

לפני שמתחילים

1. תחום הגדרה לפני הסרת מכנים

משוואת שברים עשויה לכלול מכנה עם נעלם. לפני כל כפל כותבים אילו ערכים מאפסים מכנה ואוסרים אותם. כל שלבי הפתרון הבאים תקפים רק בתחום שנותר. צריך לדעת לפתוח סוגריים ולרכז איברים דומים; אם אלה לא יציבים, אפשר לחזור למסלול המשוואות הבסיסי. כלל מוביל: איבר מחובר עובר אגף עם שינוי סימן; מכנה מוסר בכפל של שני האגפים.

דוגמה: פתרו את = 3.

  1. תחום: x ≠ 2.
  2. כופלים במכנה בתחום המותר: 2x + 1 = 3(x − 2).
  3. פותחים סוגריים: 2x + 1 = 3x − 6. מעבירים אגפים: 1 + 6 = 3x − 2x, ולכן x = 7.
  4. בודקים: 7 מותר, ובמקור = 3.

תרגול מודרך

מהו תחום ההגדרה של = 1?

  • x ≠ −4
  • x ≠ 4
  • x ≠ 0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו = 2.

  • x = 7
  • x = 1
  • x = 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. שברים וסוגריים: המונה נשאר קבוצה

כאשר מסירים מכנה של שבר שמונהו סכום או הפרש, המונה נשאר בסוגריים אם יש לפניו כופל. לדוגמה, כפל של ב־6 נותן 2(x − 2). אם הכופל שלילי, הוא מכפיל כל איבר במונה: −2(x − 2) = −2x + 4. לא משנים סימן של איבר בגלל עצם הסרת המכנה; הסימנים נקבעים לפי הפעולות.

דוגמה: פתרו את − = 3.

  1. כופלים כל איבר ב־6: 3(x + 1) − 2(x − 2) = 18.
  2. פותחים: 3x + 3 − 2x + 4 = 18. הכפל של −2 ב־−2 נותן +4.
  3. מרכזים: x + 7 = 18. מעבירים +7 כחיסור: x = 11.
  4. בדיקה: − = 6 − 3 = 3.

תרגול מודרך

פתרו + = 4.

  • x = 6
  • x = 5
  • x = 2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו − = 2.

  • x = 7
  • x = 9
  • x = 3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מכנה משותף עם x: שומרים את האיסור

במכנים x ו־2x אפשר להשתמש ב־2x כמכנה משותף. שניהם אינם אפס בדיוק כאשר x ≠ 0. בתוך התחום הזה כפל ב־2x מותר והפיך: אפשר לחלק בו בחזרה. כופלים גם מספר שאין לו מכנה. אחר כך פותרים משוואה ללא שברים ובודקים את התוצאה מול התחום המקורי.

דוגמה: פתרו את + = .

  1. תחום: x ≠ 0. המכנה 2x אינו מוסיף איסור אחר.
  2. כופלים כל איבר ב־2x: 4 + 1 = 5x.
  3. מרכזים: 5 = 5x, ולכן x = 1.
  4. 1 מותר. בדיקה: + = .

תרגול מודרך

פתרו + = 3.

  • x =
  • x = 2
  • x = 0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו − = 5.

  • x =
  • x =
  • x = 0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. שני מכנים שונים: כפל בשניהם

כאשר המכנים x − 1 ו־x + 1 שונים, אפשר לכפול במכפלה שלהם, בתנאי ששניהם אינם אפס. כל שבר מאבד רק את המכנה שלו ונשאר מוכפל במכנה האחר. כך מתקבלת המשוואה 1 × (x + 1) = 2 × (x − 1) מתוך = . זהו מקור הכפל בהצלבה, ולא כלל שמדלג על תחום ההגדרה.

דוגמה: פתרו את = .

  1. תחום: x ≠ 1 וגם x ≠ −1.
  2. כופלים ב־(x − 1)(x + 1): x + 1 = 2(x − 1).
  3. פותחים ומעבירים אגפים: x + 1 = 2x − 2, ולכן x = 3.
  4. 3 מותר; בדיקה: = .

תרגול מודרך

פתרו = .

  • x = 5
  • x = 1
  • x = −5

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו = .

  • x = 5
  • x = 2
  • x = −1

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. מועמד אסור או זהות בתחום

אחרי הסרת מכנים עשויים להופיע כמה מצבים: מועמד מותר שמקיים את המשוואה; מועמד אסור שנפסל; או זהות שנכונה לכל הערכים בתחום. אם המועמד היחיד אסור, אין פתרון. גם שוויון שקרי כמו 1 = 2 אומר שאין פתרון. אם מתקבל שוויון נכון כמו 0 = 0, כל ערך מותר פותר, אבל הערכים האסורים נשארים אסורים. אין למחוק את התחום בגלל שהשברים נעלמו.

דוגמה: פתרו את = .

  1. תחום: x ≠ 1.
  2. כופלים ב־x − 1 ומקבלים x + 1 = 2, ולכן המועמד הוא x = 1.
  3. המועמד אסור במשוואה המקורית. לכן אין פתרון.
  4. לעומת זאת, = 1 נכונה לכל x ≠ 1, ולא רק עבור מספר אחד.

תרגול מודרך

פתרו = .

  • אין פתרון
  • x = 3
  • כל מספר ממשי חוץ מ־3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהם פתרונות = 1?

  • כל מספר ממשי חוץ מ־−2
  • כל מספר ממשי
  • אין פתרון

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.