קליק · מתמטיקה

משוואות עם מכנים מספריים

נפטרים ממכנים בזהירות, פותחים סוגריים ובודקים את הפתרון.

https://klikedu.app/learn/fraction-equations

1. קו השבר מקבץ את כל המונה

המונה הוא הביטוי שמעל קו השבר, והמכנה אומר בכמה מחלקים אותו. קו השבר מתפקד כמו סוגריים סביב כל המונה. לכן מחלק גם את x וגם את 2, ואינו אותו ביטוי כמו x + .

דוגמה: חשבו עבור x = 4.

  1. מציבים במונה כולו: .
  2. מחשבים קודם את המונה: .
  3. מחלקים: התוצאה 2.

תרגול מודרך

אם x = 5, מהו ?

  • 5.5
  • 3
  • 6

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מהו כאשר x = 10?

  • 2
  • 9.5
  • 3

תשובה: __________________________________________________

2. כפל מבטל חלוקה ושומר שוויון

משוואה אומרת ששני האגפים שווים. כדי לבטל חלוקה במכנה קבוע שאינו אפס, כופלים את שני האגפים באותו מספר. בצד של השבר הכפל והחילוק מבטלים זה את זה, אך כל המונה נשאר כפי שהיה.

דוגמה: פתרו = 5.

  1. כופלים את שני האגפים ב־3: x + 2 = 15.
  2. מחסרים 2 משני האגפים: x = 13.
  3. בדיקה: = = 5.

תרגול מודרך

מה מתקבל מכפל שני אגפי = 3 ב־4?

  • x + 4 = 12
  • x + 1 = 3
  • x + 1 = 12

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו = 4.

  • x = 5
  • x = 11
  • x = 7

תשובה: __________________________________________________

3. בוחרים מספר שמתחלק בכל המכנים

מכנה משותף הוא מספר שאפשר לחלק בכל אחד מהמכנים ללא שארית. הכפל בו מאפשר לבטל את כל החלוקות באותו מהלך. המכנה המשותף הקטן ביותר חוסך מספרים גדולים, אבל כל כפולה משותפת חיובית מתאימה ושומרת על הפתרון.

דוגמה: איזה מכנה משותף נוח עבור 2 ו־3?

  1. כפולות של 2: 2, 4, 6; כפולות של 3: 3, 6.
  2. 6 היא הכפולה החיובית המשותפת הקטנה ביותר.
  3. גם 12 מתאים, אבל 6 מוביל לחישוב קצר יותר.

תרגול מודרך

מהו המכנה המשותף החיובי הקטן ביותר ל־3 ול־4?

  • 7
  • 12
  • 24

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

מהו המכנה המשותף החיובי הקטן ביותר ל־4 ול־6?

  • 12
  • 10
  • 24

תשובה: __________________________________________________

4. לכל מכנה נשאר כופל אחר

כאשר כופלים שבר במכנה המשותף, מחלקים את הכופל במכנה של אותו שבר. לכן מכנים שונים משאירים כופלים שונים. לא מוחקים את כל המכנים ומשאירים את המונים בלי שינוי; בודקים מה נשאר מן הכפל בכל איבר.

דוגמה: כפלו את + = 5 ב־6.

  1. באיבר הראשון: 6 × = 3x.
  2. באיבר השני: 6 × = 2x.
  3. גם אגף ימין מוכפל: 6 × 5 = 30.
  4. מתקבלת 3x + 2x = 30.

תרגול מודרך

מה שווה ל־12 × ?

  • 12x
  • x
  • 3x

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

כופלים + = 7 ב־12. איזו משוואה מתקבלת?

  • 4x + 3x = 84
  • 3x + 4x = 7
  • x + x = 84

תשובה: __________________________________________________

5. אחרי המכנים פותרים משוואה רגילה

ביטול המכנים אינו סוף הפתרון: עדיין צריך למצוא את הנעלם. מחברים איברים דומים, כלומר עותקים של אותו x, ואז מחלקים במקדם שאינו אפס. אם יש תוספת מספרית, מבטלים אותה בחיסור שווה בשני האגפים לפני החלוקה.

דוגמה: פתרו + = 5.

  1. כופלים ב־6: 3x + 2x = 30.
  2. מחברים עותקים של x: 5x = 30.
  3. מחלקים את שני האגפים ב־5: x = 6.
  4. בדיקה: + = 3 + 2 = 5.

תרגול מודרך

אחרי ביטול מכנים התקבל 2x + 3x = 20. מהו x?

  • 4
  • 5
  • 20

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו + = 6.

  • x = 2
  • x = 8
  • x = 24

תשובה: __________________________________________________

6. גם איברים שלמים מוכפלים

כפל משוואה פירושו כפל של כל אגף שלם. לפי חוק הפילוג, כל איבר באגף חייב להיות מוכפל, גם אם אין בו שבר. מספר שלם אפשר לחשוב עליו כשבר עם מכנה 1, ולכן אין מכנה שיבטל את הכופל שלו.

דוגמה: פתרו + 4 = 7.

  1. כותבים כפל ליד כל איבר: 3 × + 3 × 4 = 3 × 7.
  2. מצמצמים: x + 12 = 21.
  3. מחסרים 12: x = 9.
  4. בדיקה: + 4 = 7.

תרגול מודרך

כופלים − 2 = 3 ב־4. מה מתקבל?

  • x − 2 = 12
  • x − 8 = 12
  • x − 8 = 3

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו + 3 = 7 באמצעות כפל ב־5.

  • x = 32
  • x = 10
  • x = 20

תשובה: __________________________________________________

7. המונה נשאר קבוצה אחת

אם לאחר צמצום המכנה נשאר כופל, הוא מכפיל את כל המונה. שומרים סוגריים סביב סכום או הפרש, ורק אחר כך מפלגים. השמטת הסוגריים מוקדם מדי גורמת לעיתים להכפלת האיבר הראשון בלבד, ומשנה את ערך השבר.

דוגמה: פשטו 6 × .

  1. = 3, ולכן נשאר 3(x + 1).
  2. מפלגים את 3 לשני האיברים: 3x + 3.
  3. המכנה בוטל, אך שני איברי המונה נשמרו.

תרגול מודרך

מה שווה ל־12 × ?

  • 4x + 2
  • x + 8
  • 4x + 8

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

פשטו 10 × .

  • 4x − 6
  • 4x − 3
  • 2x − 6

תשובה: __________________________________________________

8. מינוס לפני שבר חל על כל המונה

כאשר מחסרים שבר, מחסרים את כל ערכו. אחרי ביטול המכנה המינוס נשאר לפני המונה המקובץ. מינוס לפני סוגריים הוא כפל ב־−1, ולכן הוא הופך את הסימן של כל איבר. במיוחד, חיסור של מספר שלילי הופך לחיבור.

דוגמה: פשטו − × 3.

  1. הכפל ב־3 מבטל את המכנה ומשאיר −(x − 2).
  2. מכפילים ב־−1: −x + 2.
  3. המינוס שלפני השבר הפך את שני סימני המונה.

תרגול מודרך

מה שווה ל־−(x + 4)?

  • −x + 4
  • −x − 4
  • x − 4

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

פשטו −2(x − 3).

  • −2x − 6
  • −2x + 3
  • −2x + 6

תשובה: __________________________________________________

9. מרכזים נעלמים אחרי הצמצום

לפעמים גם לאחר הסרת המכנים נשאר x בשני האגפים. מחסרים אותו ביטוי משני הצדדים, כך שהוא מתבטל מצד אחד והשוויון נשמר. אחר כך מבטלים תוספות ומקדמים. אין לחלק בנעלם, כי עדיין איננו יודעים אם הוא אפס.

דוגמה: פתרו + 1 = + 3.

  1. כופלים כל איבר ב־6: 3x + 6 = 2x + 18.
  2. מחסרים 2x משני האגפים: x + 6 = 18.
  3. מחסרים 6: x = 12.
  4. בדיקה: + 1 = 7 וגם + 3 = 7.

תרגול מודרך

ב־3x + 6 = 2x + 18, מה מתקבל מחיסור 2x בשני האגפים?

  • 3x + 6 = 18
  • x + 6 = 18
  • x + 6 = 2x + 18

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו + 2 = + 5.

  • x = 3
  • x = 28
  • x = 12

תשובה: __________________________________________________

10. מחברים את הצעדים למשוואה אחת

במשוואה עם שני מונים מורכבים, כל צעד שכבר למדנו נשאר נפרד: בוחרים מכנה משותף, שומרים סוגריים, מפלגים ורק אז מכנסים. כתיבה מסודרת מונעת מן המינוס או מן הכופל להיעלם. אין צורך לנחש את התשובה לפני הפישוט.

דוגמה: פתרו − = 3.

  1. כופלים ב־6 ושומרים סוגריים: 3(x + 1) − 2(x − 2) = 18.
  2. מפלגים: 3x + 3 − 2x + 4 = 18.
  3. מכנסים: x + 7 = 18; מחסרים 7 ומקבלים x = 11.
  4. בדיקה: − = 6 − 3 = 3.

תרגול מודרך

איזו שורה מתקבלת מכפל − = 3 ב־6?

  • 3x + 1 − 2x + 2 = 18
  • 3(x + 1) − 2(x − 2) = 18
  • 3(x + 1) − 2(x − 2) = 3

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו − = 3.

  • x = 5
  • x = 10
  • x = 13

תשובה: __________________________________________________

11. בדיקה עם השברים המקוריים

בדיקה במשוואה המקורית בוחנת אם הכפל והסימנים נשמרו לאורך הדרך. מציבים במונים, מחשבים כל שבר, ורק אחר כך מחברים או מחסרים. בדיקה בשורה האחרונה בלבד אינה מספיקה, כי טעות קודמת יכולה להופיע גם בשורה הזאת.

דוגמה: בדקו x = 11 במשוואה − = 3.

  1. השבר הראשון: = = 6.
  2. השבר השני: = = 3.
  3. אגף שמאל: 6 − 3 = 3, כמו אגף ימין.

תרגול מודרך

האם x = 8 מתאים ל־ + 1 = 3?

  • לא, מתקבל 2 = 3
  • כן, מתקבל 3 = 3
  • לא, כי = 2 שונה מ־3

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

בדקו x = 4 ב־ = 3. מה המסקנה?

  • מתאים, כי 4 + 2 = 6
  • מתאים, כי + 2 = 3
  • לא מתאים, כי 2 אינו 3

תשובה: __________________________________________________

12. בודקים שמותר לחלק

חלוקה באפס אינה מוגדרת. ביחידה הזאת המכנים הם מספרים קבועים שאינם אפס, ולכן הכפל בהם מותר. אם בעתיד יופיע משתנה במכנה, צריך לזהות מראש אילו ערכים מאפסים אותו; ערכים אלה אסורים גם אם יופיעו בהמשך החישוב.

דוגמה: מה ההבדל בין לבין ?

  1. בביטוי הראשון המכנה הוא תמיד 3, ולכן אינו אפס.
  2. בשני, x = 2 הופך את המכנה ל־0.
  3. לכן בביטוי השני אסור להציב x = 2.

תרגול מודרך

מה נדרש ממכנה מספרי במשוואה?

  • שיהיה חיובי בלבד
  • שיהיה שווה למונה
  • שיהיה שונה מאפס

תשובה: __________________________________________________

ניסיון עצמאי

איזה ערך אסור בביטוי ?

  • x = −3
  • x = 3
  • x = 5

תשובה: __________________________________________________

דוגמה מסכמת

פתרו: − = 3.

  1. המכנה המשותף הוא 6. כופלים כל איבר ב־6.
  2. מקבלים 3(x + 1) − 2(x − 2) = 18.
  3. פותחים: 3x + 3 − 2x + 4 = 18.
  4. מכנסים: x + 7 = 18, ולכן x = 11.
  5. בדיקה: − = 6 − 3 = 3.

תרגול מסכם

שאלה 1

פתרו: = 4. כתבו את x.

________________________________________________________

שאלה 2

פתרו: + 3 = 8.

________________________________________________________

שאלה 3

פתרו: = 3.

________________________________________________________

שאלה 4

פתרו: + = 10.

________________________________________________________

שאלה 5

פתרו: = 4.

________________________________________________________

שאלה 6

פתרו: = 5.

________________________________________________________

שאלה 7

פתרו: + = 7.

________________________________________________________

שאלה 8

פתרו: 5 − = 2.

________________________________________________________

בדיקה עצמית

האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.