קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

משוואות עם סוגריים, שברים ותחום הגדרה

משוואות בכמה שלבים, כופל שלילי, מכנים מספריים ומכנים עם נעלם. לומדים גם לזהות אפס, אחד או אינסוף פתרונות. זהו מסלול למידה מותאם, לא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · משוואות קוויות; במסלולי ההמשך מופיעים גם תחום הגדרה ופרמטרים לבחירה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/equations?target=4

לפני שמתחילים

1. בדיקת מוכנות: אגפים, מקדם ואיברים דומים

במסלול זה מתקדמים למשוואות בכמה שלבים, שברים ותחום הגדרה. נזכרים: 3x הוא 3 כפול x; 5x − 2x = 3x כי אלה איברים דומים. מעבירים איבר מחובר או מחוסר אגף עם שינוי סימן, שהוא קיצור של אותה פעולת חיבור או חיסור בשני האגפים. כופל מבטלים בחילוק שאינו באפס. אם ההבחנה בין תוספת לכופל עדיין לא ברורה, כדאי להשלים תחילה את שלבי הבסיס במסלול בסיס מודרך ולחזור לכאן.

דוגמה: פתרו את 4x − 3 = x + 9.

  1. מעבירים +x שמאלה כ־−x ואת −3 ימינה כ־+3: 4x − x = 9 + 3.
  2. מרכזים: 3x = 12, ואז מחלקים ב־3: x = 4.
  3. בדיקה במקור: 16 − 3 = 4 + 9 = 13.

תרגול מודרך

פתרו 5x + 2 = 2x + 14. מהו x?

  • 4
  • 12

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו 3x − 7 = x + 5. מהו x?

  • 6
  • −1
  • 12

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. פותחים סוגריים, כולל כופל שלילי

כופל לפני סוגריים מכפיל כל איבר בתוכם: 2(x + 3) = 2x + 6. גם סימן מינוס הוא כופל: −(x − 3) = −x + 3. ב־−2(x − 3), המכפלה (−2) × (−3) היא +6. אחרי פתיחת הסוגריים מחברים רק איברים דומים, ורק אז מעבירים אגפים. קודם מכבדים את הסוגריים; לא מעבירים מתוכם איבר בודד כאילו הכופל אינו קיים.

דוגמה: פתרו את 3(x − 2) − 2(x + 1) = 5.

  1. פותחים כל סוגריים עם הכופל שלהם: 3x − 6 − 2x − 2 = 5.
  2. למה האיבר האחרון שלילי? (−2) × (+1) = −2.
  3. מרכזים: x − 8 = 5. מעבירים −8 כ־+8 ומקבלים x = 13.
  4. בדיקה: 3 × 11 − 2 × 14 = 33 − 28 = 5.

תרגול מודרך

פתרו 2(x + 3) − x = 10. מהו x?

  • 4
  • 7
  • 16

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו 5 − 2(x − 3) = 17. מהו x?

  • −3
  • 3
  • −9

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מכנים מספריים: מכפילים כל איבר

שבר פירושו שכל הביטוי x + 1 מחולק ב־3. כדי להסיר כמה מכנים מספריים, מכפילים את שני האגפים במספר משותף שאינו אפס. למשל 6 מתחלק גם ב־2 וגם ב־3. חובה לכפול כל איבר, גם מספר ללא מכנה. המכנים בשלב הזה הם מספרים קבועים שאינם אפס, ולכן הכפל אינו מוסיף מגבלה על x.

דוגמה: פתרו את − = 2.

  1. מכפילים את כל המשוואה ב־6: 3(x + 1) − 2x = 12.
  2. למה? = 3 ו־ = 2; גם אגף ימין מוכפל: 6 × 2 = 12.
  3. פותחים סוגריים ומרכזים: 3x + 3 − 2x = 12, לכן x + 3 = 12.
  4. מעבירים +3 כחיסור: x = 9. בדיקה: − = 5 − 3 = 2.

תרגול מודרך

פתרו + = 5. מהו x?

  • 6
  • 5
  • 30

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו + 1 = . מהו x?

  • 4
  • −2
  • 2

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. הנעלם נעלם: אין פתרון או אינסוף פתרונות

לא כל משוואה מסתיימת בערך יחיד של x. אם אחרי פעולות מותרות מתקבל שוויון שקרי כמו 0 = 5, אין שום פתרון. אם מתקבל שוויון נכון כמו 0 = 0, כל ערך שמותר במשוואה המקורית הוא פתרון. 0x הוא תמיד 0, ולכן אין לחלק בו או להסיק ממנו x = 0. בשלב הזה אין מכנים עם x, ולכן כל מספר ממשי מותר.

דוגמה: השוו בין 2(x + 1) = 2x + 5 לבין 2(x + 1) = 2x + 2.

  1. בראשונה פותחים: 2x + 2 = 2x + 5. מעבירים את 2x ומקבלים 2 = 5. זה שקר ולכן אין פתרון.
  2. בשנייה פותחים: 2x + 2 = 2x + 2. אחרי ריכוז מתקבל 0 = 0, תמיד נכון.
  3. בשנייה כל מספר ממשי פותר. לא קיבלנו x = 0; קיבלנו ששני האגפים זהים לכל x.

תרגול מודרך

מהי קבוצת הפתרונות של 3x + 4 = 3x − 1?

  • אין פתרון
  • כל מספר ממשי
  • x = 5

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהי קבוצת הפתרונות של 2(x − 3) = 2x − 6?

  • כל מספר ממשי
  • אין פתרון
  • x = 0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. נעלם במכנה: קודם תחום הגדרה

תחום הגדרה הוא אוסף הערכים שעבורם הביטויים במשוואה מוגדרים. אי אפשר לחלק באפס. אם המכנה הוא x − 2, הערך x = 2 אסור. רושמים x ≠ 2 לפני שמכפילים במכנה. הכפל במכנה מותר רק בתחום הזה. פותרים את המשוואה שקיבלנו, ואז בודקים שהמועמד אינו ערך אסור ושהוא מקיים את המשוואה המקורית.

דוגמה: פתרו את = 3.

  1. תחום ההגדרה: x ≠ 2, כי המכנה אינו יכול להיות אפס.
  2. בתחום המותר מכפילים ב־x − 2: 6 = 3(x − 2).
  3. פותחים: 6 = 3x − 6. מעבירים אגפים: 12 = 3x, ולכן x = 4.
  4. 4 אינו ערך אסור. בדיקה במקור: = 3. לכן x = 4 הוא הפתרון.

תרגול מודרך

איזה ערך אסור במשוואה = 1?

  • x = −3
  • x = 3
  • x = 0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

פתרו = 2. מהו הפתרון?

  • x = 3
  • x = −1
  • x = 4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

6. מועמד שנפסל: חוזרים למשוואה המקורית

הסרת מכנים אינה מוחקת את תחום ההגדרה. תוצאה של חישוב היא רק מועמד לפתרון עד שבודקים אותה. לפעמים הפתרון היחיד של המשוואה ללא המכנים הוא ערך אסור במשוואה המקורית; במקרה כזה אין פתרון. גם שבר שבמונה ובמכנה שלו אותו ביטוי שווה ל־1 רק כאשר הביטוי אינו אפס.

דוגמה: פתרו את = .

  1. תחום: x ≠ 1.
  2. בתחום הזה אפשר להכפיל ב־x − 1 ולקבל x + 1 = 2.
  3. מעבירים +1 כחיסור: x = 1. אבל 1 אסור, ולכן הוא נפסל.
  4. מסקנה: אין פתרון. במקור שני המכנים נעשים אפס, ולכן אי אפשר לאשר את 1 בהצבה.

תרגול מודרך

פתרו = .

  • אין פתרון
  • x = 2
  • x = 0

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהם פתרונות = 1?

  • כל מספר ממשי חוץ מ־3
  • כל מספר ממשי
  • אין פתרון

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.