משוואות — צעד אחר צעד

משוואה טוענת ששני ביטויים שווים. ביטוי הוא מספר, אות או צירוף שלהם בעזרת פעולות. כל צד של סימן השוויון נקרא אגף. האות x היא נעלם: מספר שעדיין לא ידוע. פתרון הוא ערך שמחליף את האות ונותן אותו מספר בשני האגפים.

כדי להשאיר את x לבד, מעבירים את האיבר שנוסף לו לאגף השני ומשנים את סימנו. למשל, במשוואה x + 5 = 12 מעבירים את +5 וכותבים x = 12 − 5, ולכן x = 7. למה הסימן משתנה? זו כתיבה מקוצרת של חיסור 5 משני האגפים: משמאל התוספת 5 מתבטלת, ומימין מחסרים 5. אותה פעולה בשני הצדדים שומרת על השוויון. הכלל הזה מתייחס לאיבר שמחובר או מחוסר; כופל של x מבטלים בחלוקה, ולא בשינוי סימן.

חיבור וחיסור של אותו מספר מבטלים זה את זה. אם מחסרים מספר מן הנעלם, מוסיפים אותו לשני האגפים. הביטוי ״מעבירים אגף״ מקצר את הכתיבה הזאת; המספר אינו עובר מעצמו ואינו משנה סימן בלי פעולה.

הכתיבה 3x פירושה 3 כפול x. המספר 3 נקרא המקדם של הנעלם. כדי לבטל כפל במספר שאינו אפס, מחלקים בו את שני האגפים. החלוקה שומרת על השוויון ומבודדת עותק אחד של הנעלם. חילוק של מספר חיובי במספר שלילי נותן תוצאה שלילית.

בביטוי 3x + 6 יש שתי פעולות על x: קודם כפל ב־3, ואחריו חיבור 6. כדי לחזור מהתוצאה אל x נוח ללכת לאחור. תחילה מעבירים את האיבר המחובר +6 לאגף השני ומשנים סימן; אחר כך מחלקים במקדם 3. ההעברה מקצרת חיסור 6 משני האגפים, ולכן שומרת על השוויון. שימו לב: 3 הוא כופל של x, לא איבר שמחובר אליו, ולכן אותו מבטלים בחלוקה ולא בשינוי סימן. זהו סדר נוח; אפשר לבחור סדר חוקי אחר אם פועלים על האגפים בשלמותם.

השבר x3 אומר שחילקו את x לשלושה חלקים שווים. המספר שבו מחלקים, כאן 3, נקרא מכנה. אם יודעים כמה שווה חלק אחד, כופלים בשלוש כדי לשחזר את הכמות. במשוואה כופלים את שני האגפים באותו מכנה, וכך מבטלים את החלוקה בלי לשנות את הפתרון.

איבר הוא חלק בביטוי שמופרד מחלקים אחרים בחיבור או בחיסור. איברים כמו 2x ו־3x סופרים עותקים של אותו נעלם, ולכן יחד הם 5x. מספר רגיל אינו עוד עותק של x, ולכן אינו מתחבר למקדם שלו. פישוט בתוך כל אגף מקל לראות איזו פעולה צריך לבטל.

סוגריים מקבצים סכום שלם. אם יש שני עותקים של x + 3, יש שני עותקים של x וגם שני עותקים של 3. לכן חוק הפילוג מחייב להכפיל כל איבר בסוגריים, ולא רק את האיבר הראשון.

מינוס לפני סוגריים הוא כפל של כל הביטוי ב־−1. לכן כל איבר בתוכם מקבל את הסימן הנגדי: חיובי הופך לשלילי ושלילי לחיובי. כשהכופל הוא −2 או מספר שלילי אחר, מכפילים גם את הגדלים וגם את הסימנים.

כאשר x מופיע בשני האגפים, מחסרים אותו ביטוי משניהם כדי להסיר אותו מאחד הצדדים. לאחר מכן מכנסים איברים דומים וממשיכים בפעולות שכבר הכרנו. לא מוחקים את שני איברי x אם המקדמים שלהם שונים.

במשוואה עם סוגריים ונעלם בשני אגפים, פתיחת הסוגריים מגלה כמה עותקים של x וכמה מספרים יש בכל צד. אחר כך אפשר לרכז נעלמים באגף אחד. הסדר הזה אינו קסם חדש: כל שלב משתמש בפילוג או בפעולה שווה בשני האגפים.

אין חובה לפתוח סוגריים בכל משוואה. כאשר אגף שלם הוא מספר כפול סוגריים, חלוקה במספר עשויה לפשט מיד. בוחרים פעולה חוקית שמקטינה את העבודה, ונותנים לסוגריים להישאר קבוצה אחת כל עוד זה עוזר.

כדי לבטל חלוקה ב־2, אפשר לכפול ב־2; כדי לבטל חלוקה ב־3, אפשר לכפול ב־3. כששני המכנים מופיעים באותה משוואה, נוח לבחור כופל משותף כמו 6, כי 6 מתחלק בשניהם בלי שארית. כופלים את שני האגפים בשלמותם. אם אגף הוא סכום, חוק הפילוג אומר לכפול כל איבר בסכום, כולל מספרים שלמים. 62 = 3 מסביר מדוע 6 × x2 נהפך ל־3x; אין כאן מחיקה שרירותית של המכנה.

בדיקה מתחילה במשוואה כפי שניתנה, כי בשורות הפתרון כבר יכולה להסתתר טעות. מציבים את הערך במקום כל הופעה של x ומחשבים כל אגף בנפרד. שוויון בין שתי התוצאות מאשר שהערך מתאים; אי־שוויון מחייב לחזור ולבדוק.

אחרי פעולות חוקיות הנעלמים יכולים להיעלם ולהשאיר משפט שגוי, למשל 0 = 5. אין ערך שאפשר להציב כדי לתקן סתירה בין מספרים קבועים. במקרה כזה המשוואה אינה מקבלת פתרון, ולא כותבים ש־x שווה לאפס.

אם לאחר פישוט שני האגפים זהים, מתקבל משפט נכון כמו 0 = 0. במקרה כזה אין דרישה לערך יחיד של x. תחום ההגדרה הוא אוסף הערכים שמותר להציב, וכל ערך בו מתאים כאן. במשוואות שלנו, ללא מכנה משתנה או מגבלה אחרת, אלו כל המספרים הממשיים: כל המספרים שעל ציר המספרים.

חלוקה מותרת רק במחלק שאינו אפס. בנעלם איננו יודעים מראש אם תנאי זה מתקיים, ולכן חלוקה בו עלולה למחוק פתרון חשוב. כשאותו נעלם מופיע בשני אגפים, אפשר לעיתים לחסר איברים במקום לחלק בנעלם.