קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים
נתונים, ייצוגים ומדדי מרכז · אתגר והכללה
מסיקים מידע חסר, משלבים קבוצות בזהירות ומנמקים כיצד מדדי מרכז ותרשימים יכולים לספר סיפורים שונים. כל הנתונים דמיוניים.
הרחבה לבחירה · מיפוי פדגוגי לחטיבת הביניים על בסיס תוכנית החטיבה; ההרחבות מסומנות לפי מוכנות. אין כאן אימות מלא לכל החרגות תוכנית תשפ״ז. הרמות הן עומק למידה, לא מספר יחידות בתיכון. מסיקים מידע חסר, משלבים קבוצות בזהירות ומנמקים כיצד מדדי מרכז ותרשימים יכולים לספר סיפורים שונים. כל הנתונים דמיוניים.
יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.
https://klikedu.app/learn/data-representations?target=5לפני שמתחילים
- חיבור וחילוק של מספרים, שברים ואחוזים.
- קריאת צירים וסידור מספרים מהקטן לגדול.
1. מוצאים שכיחות חסרה
ממוצע ידוע יכול לעזור למצוא שכיחות חסרה: סכום הערכים המשוקלל שווה לממוצע כפול מספר הנתונים. הנעלם מופיע לעיתים גם במונה וגם במכנה, ולכן בונים משוואה. בתום הפתרון בודקים שהשכיחות מספר שלם ואינה שלילית, ושהממוצע אכן מתקבל.
דוגמה: לערכים 1 ו־4 שכיחויות 2 ו־n בהתאמה, והממוצע 3. מצאו n.
- סכום הערכים 2 + 4n ומספר הנתונים 2 + n.
- כותבים 2 + 4n = 3(2 + n), ומקבלים n = 4.
- בודקים: = 3; שכיחות 4 היא שלמה ולא שלילית.
תרגול מודרך
לערכים 0 ו־6 שכיחויות 2 ו־n, והממוצע 4. מה n?
- 2
- 6
- 4
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
לארבעה נתונים ממוצע 5. שלושה מהם 2, 4, 7. מה הנתון הרביעי?
- 7
- 5
- 13
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
2. ממוצע משותף אינו תמיד ממוצע הממוצעים
כדי לאחד קבוצות צריך לשקלל כל ממוצע בגודל קבוצתו. סכום הערכים בקבוצה הוא הממוצע כפול מספר הנתונים. רק בקבוצות שוות גודל אפשר לחשב ממוצע פשוט של הממוצעים. אותו עיקרון חל גם על אחוזים: שיעור כולל מחושב מסך המקרים חלקי סך הנתונים, ולא בהכרח מממוצע האחוזים.
דוגמה: בבדיקה דמיונית 10 קופסאות מכילות בממוצע 2 חלקים ו־30 קופסאות בממוצע 6 חלקים. מה הממוצע הכולל?
- בקבוצה הראשונה 10×2 = 20 חלקים, ובשנייה 30×6 = 180.
- ביחד 200 חלקים ב־40 קופסאות.
- הממוצע = 5, ולא 4; לקבוצה הגדולה משקל גדול יותר.
תרגול מודרך
5 פריטים במחיר ממוצע 4 ו־15 במחיר ממוצע 8. מה הממוצע הכולל?
- 7
- 6
- 12
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
בקבוצה של 10 פריטים 50% אדומים ובקבוצה של 30 פריטים 10% אדומים. מה השיעור הכולל?
- 30%
- 20%
- 40%
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
3. אותו ממוצע אינו אותו פיזור
מדד מרכז הוא סיכום חלקי. לשתי רשימות יכול להיות אותו ממוצע ואותו חציון אך פיזור שונה מאוד. טווח הוא ההפרש בין הערך הגדול לקטן, והוא מדד פשוט לפיזור אך מושפע מקצוות. לכן בוחנים גם רשימה או תרשים ולא מסיקים שכל הנתונים דומים רק משום שהממוצעים שווים.
דוגמה: השוו א: 4, 5, 6 לב: 0, 5, 10.
- בשתי הרשימות הסכום 15, ולכן הממוצע 5; גם החציון 5.
- הטווח בא הוא 6 − 4 = 2; בב הוא 10 − 0 = 10.
- בב הנתונים מפוזרים יותר לפי הטווח, אף שמדדי המרכז זהים.
רשימה א: 4, 5, 6. רשימה ב: 0, 5, 10. לשתיהן ממוצע וחציון 5, אך הטווחים 2 ו־10. הנתונים דמיוניים.
תרגול מודרך
לרשימות 2, 4, 6 ו־0, 4, 8 אותו ממוצע. מה שונה?
- החציון: 2 לעומת 0
- הטווח: 4 לעומת 8
- מספר הנתונים
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
מוסיפים 3 לכל ערך ברשימה. מה קורה לממוצע ולטווח?
- שניהם גדלים ב־3
- שניהם נשארים
- הממוצע גדל ב־3 והטווח נשאר
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
4. מבדילים בין נתון לטענה מטעה
לפני שמקבלים טענה מתרשים בודקים אוכלוסייה, כמות כוללת, יחידות, קנה מידה והאם הקטגוריות בלעדיות. גם אחוזים דורשים דיוק: מעבר מ־20% ל־30% הוא תוספת 10 נקודות אחוז, אבל עלייה יחסית של 50% לעומת השיעור המקורי. תמונה שגובהה ורוחבה הוכפלו תופסת שטח פי 4, ולכן עלולה להגזים בהמחשת כמות שהוכפלה רק פי 2.
דוגמה: בשני סקרים דמיוניים שיעור בחירת אפשרות א עלה מ־20% ל־30%. נטען שזו עלייה של 10%. בדקו.
- ההפרש בין השיעורים הוא 30% − 20% = 10 נקודות אחוז.
- ביחס לשיעור הקודם, התוספת היא = 50%.
- לכן יש לומר במפורש 10 נקודות אחוז או עלייה יחסית של 50%; בלי גודל הסקרים לא ניתן לדעת את שינוי מספר הבוחרים.
תרגול מודרך
שיעור עלה מ־40% ל־50%. מה העלייה היחסית?
- 10%
- 50%
- 25%
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
ניסיון עצמאי
כמות עלתה מ־10 ל־20. באיור הוכפלו גם גובה הסמל וגם רוחבו. מדוע הדבר עלול להטעות?
- שטח הסמל גדל פי 4 אך הכמות רק פי 2
- שטח הסמל לא השתנה
- הכמות גדלה פי 4
תשובה ודרך פתרון: _____________________________________
בדיקה עצמית
הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.