קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

מערכת צירים: הזזות, מרחקים ותנאים

משלבים הזזות, מרחק נתון, השלמת מלבן וסדר פעולות בשיקופים. לומדים למצוא את כל הנקודות המתאימות ולבדוק תנאים. זו הכנה ממוקדת, לא תוכנית שנתית מלאה.

תרגול והעמקה בחטיבה · נקודות, רבעים, מרחקים מקבילים לצירים ושיקופים; תנאים עם פרמטרים הם הרחבה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/coordinate-plane?target=4

לפני שמתחילים

1. הזזה: שינוי בשיעורים בלי החלפת הסדר

הזזה מוסיפה שינוי קבוע לכל שיעור: h יחידות אופקית ו־k יחידות אנכית הופכות את (x, y) ל־(x + h, y + k). h שלילי פירושו שמאלה ו־k שלילי פירושו למטה. כדי למצוא את נקודת ההתחלה מתמונה, מבטלים את השינויים באמצעות חיסורם. זו העברת אגפים: אם x + 3 = 7, מעבירים +3 כחיסור ומקבלים x = 4. הזזה אינה שיקוף; היא אינה הופכת אוטומטית את סימן השיעור.

דוגמה: A הוזזה 5 יחידות ימינה ו־3 למטה, והתקבלה A′ = (2, −1). מצאו את A.

  1. נסמן A = (x, y). אחרי ההזזה מתקבל (x + 5, y − 3).
  2. משווים שיעורים לפי הסדר: x + 5 = 2 וגם y − 3 = −1.
  3. מעבירים אגפים: x = 2 − 5 = −3, וכן y = −1 + 3 = 2. לכן A = (−3, 2).
  4. בדיקה: (−3 + 5, 2 − 3) = (2, −1), כפי שנדרש.

תרגול מודרך

מה מתקבל מהזזת (−2, 4) ב־3 יחידות ימינה וב־5 למטה?

  • (1, 9)
  • (1, −1)
  • (−5, 9)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נקודה הוזזה 4 שמאלה ו־2 למעלה והתקבלה (−1, 7). מה הייתה הנקודה המקורית?

  • (3, 5)
  • (−5, 9)
  • (3, 9)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. נקודה במרחק נתון: לעיתים יש שתי אפשרויות

אם מחפשים נקודה על קו אופקי במרחק d מנקודה ידועה, אפשר לנוע d יחידות ימינה או d יחידות שמאלה. כש־d חיובי מתקבלות שתי נקודות שונות. תנאי נוסף כמו ״מימין״ או ״ברבע הראשון״ עשוי להשאיר רק אחת מהן. על קו אנכי בודקים למעלה ולמטה. מרחק אפס נותן את הנקודה עצמה, ומרחק שלילי אינו אפשרי. בודקים גם נקודות על הצירים לפני שמסווגים רבע.

דוגמה: מצאו את כל הנקודות על y = 2 שמרחקן מ־A = (−1, 2) הוא 4. איזו מהן ברבע הראשון?

  1. הקו y = 2 אופקי, ולכן משנים רק את x.
  2. ימינה: x = −1 + 4 = 3. שמאלה: x = −1 − 4 = −5.
  3. כל הפתרונות הם (3, 2) ו־(−5, 2). המרחק של כל אחת מ־A הוא 4.
  4. רק (3, 2) ברבע הראשון, כי שני שיעוריה חיוביים. (−5, 2) ברבע השני.

תרגול מודרך

אילו נקודות על x = 3 נמצאות במרחק 2 מן הנקודה (3, −1)?

  • (5, −1) וגם (1, −1)
  • רק (3, 1)
  • (3, 1) וגם (3, −3)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

נקודה על y = −2 נמצאת 5 יחידות מימין ל־(−4, −2). מהי?

  • (−4, 3)
  • (1, −2)
  • (−9, −2)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מלבן מקביל לצירים: משלימים שיעורים ובודקים אורכים

במלבן שצלעותיו מקבילות לצירים, שתי צלעות אופקיות ושתי צלעות אנכיות. לקודקודים שמחוברים אופקית יש אותו y, ולאלה שמחוברים אנכית יש אותו x. אם ידועים קודקודים נגדיים בעלי שיעורי x שונים ושיעורי y שונים, שני הקודקודים האחרים מתקבלים משילוב שיעור x של אחד עם שיעור y של האחר. אורכי הצלעות הם ההפרשים החיוביים של השיעורים. שטח מלבן הוא אורך כפול רוחב; היקפו הוא פעמיים סכום שני אורכי הצלעות.

דוגמה: A = (−2, 1) ו־C = (4, 5) הם קודקודים נגדיים במלבן המקביל לצירים. מצאו את שני הקודקודים האחרים ואת השטח.

  1. משלבים שיעורים ומקבלים את (4, 1) ואת (−2, 5). כל חיבור אופקי שומר y וכל חיבור אנכי שומר x.
  2. אורך הצלע האופקית הוא 4 − (−2) = 6 יחידות.
  3. אורך הצלע האנכית הוא 5 − 1 = 4 יחידות.
  4. השטח הוא 6 × 4 = 24 יחידות שטח. שני אורכי הצלעות חיוביים, ולכן אכן מתקבל מלבן שאינו מנוון.
קודקודים נגדיים משלימים מלבן מקביל לצירים-4-3-2-1123456-11234567xy064A (−2, 1)B (4, 1)C (4, 5)D (−2, 5)
קודקודים נגדיים משלימים מלבן מקביל לצירים

נתונות A = (−2, 1), C = (4, 5). הנקודות B = (4, 1), D = (−2, 5) והצלעות הן תוצאות ההשלמה. רוחב המלבן 6 וגובהו 4; שטחו 24. המסקנות מתקבלות מהשיעורים, לא ממדידה בתמונה.

תרגול מודרך

קודקודים נגדיים במלבן המקביל לצירים הם (1, −3) ו־(5, 2). מה שני הקודקודים האחרים?

  • (1, 2) וגם (5, −3)
  • (−3, 1) וגם (2, 5)
  • (1, 5) וגם (−3, 2)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

קודקודים נגדיים במלבן המקביל לצירים הם (−3, −1) ו־(2, 3). מה היקף המלבן?

  • 20 יחידות
  • 9 יחידות
  • 18 יחידות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. שתי פעולות: הסדר עשוי לשנות את התוצאה

כשמבצעים כמה שינויים בנקודה, התוצאה של הפעולה הראשונה היא נקודת ההתחלה של השנייה. שיקוף בציר x משנה y ל־−y; הזזה למעלה ב־k מוסיפה k לשיעור y הנוכחי. אם מחליפים את הסדר, לעיתים מקבלים נקודה אחרת. בכתיבה אלגברית שומרים סוגריים: שיקוף אחרי תוספת k נותן −(y + k), ולא −y + k. שני שיקופים באותו ציר מחזירים כל נקודה למקומה.

דוגמה: מתחילים ב־P = (2, 1). השוו שיקוף בציר x ואז הזזה 3 למעלה, לעומת הסדר ההפוך.

  1. בסדר הראשון משקפים: (2, 1) נעשה (2, −1). מזיזים 3 למעלה: מתקבל (2, 2).
  2. בסדר השני מזיזים תחילה למעלה: (2, 1) נעשה (2, 4). משקפים בציר x ומקבלים (2, −4).
  3. התוצאות שונות. בכל שלב משתמשים בשיעורים שכבר התקבלו.
  4. בכתיבה כללית סדר ראשון נותן y′ = −y + 3; סדר שני נותן y′ = −(y + 3) = −y − 3.

תרגול מודרך

משקפים את (−1, 2) בציר y ואז מזיזים 4 ימינה. מה מתקבל?

  • (3, 2)
  • (5, 2)
  • (−3, 2)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מזיזים את (−1, 2) ב־4 ימינה ואז משקפים בציר y. מה מתקבל?

  • (−3, 2)
  • (5, 2)
  • (3, −2)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.