קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

גורם משותף, פירוק בקיבוץ ומשוואות

מעמיקים בגורם חד־איברי, סוגריים משותפים וקיבוץ, ומיישמים פירוק בפתרון משוואות באמצעות מכפלה אפס. זהו מסלול ממוקד, ולא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/common-factor?target=4

לפני שמתחילים

1. גורם משותף עם חזקות וכמה משתנים

מחפשים בנפרד את המחלק המשותף הגדול ביותר של המקדמים ואת הגורמים המשתנים שמופיעים בכל איבר. עבור כל משתנה לוקחים את החזקה הנמוכה ביותר שמופיעה באיברים. למשל, ל־x³ ול־x² משותף x², משום ש־x³ = x² × x. משתנה שאינו מופיע באחד האיברים לא יוצא כגורם משותף של כולם. הפירוק הוא זהות פולינומית ותקף גם כאשר אחד המשתנים הוא אפס.

דוגמה: פרקו באמצעות הגורם המשותף הגדול ביותר: 12x³y² − 18x²y³ + 6x²y².

  1. למקדמים 12, 18 ו־6 גורם משותף גדול ביותר 6.
  2. החזקה המשותפת של x היא x², ושל y היא y². לכן מוציאים 6x²y².
  3. נשארים בהתאמה 2x, −3y ו־1: 6x²y²(2x − 3y + 1).
  4. בדיקה בכפל מחזירה את שלושת האיברים. בפרט האיבר האחרון דורש +1 בסוגריים.

תרגול מודרך

איזה פירוק מוציא את הגורם המשותף הגדול ביותר מ־8x³ − 12x²?

  • 4x(2x² − 3x)
  • 4x²(2x − 3)
  • 4x²(2x − 12)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה פירוק מוציא את הגורם המשותף הגדול ביותר מ־15x³y − 10x²y²?

  • 5x²y(3x − 2y)
  • 5xy(3x − 2y)
  • 5x²y(3x + 2y)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. סוגריים שלמים יכולים להיות גורם

גורם משותף יכול להיות ביטוי שלם, כמו x − 2. אם אותו ביטוי מוכפל בכל אחד מהאיברים, משאירים אותו כיחידה ומוציאים אותו החוצה. אפשר לסמן אותו זמנית באות u: הביטוי 3u + xu מתפרק ל־u(3 + x). חשוב שהסוגריים יהיו אותו ביטוי בדיוק; x − 2 ו־x + 2 אינם אותו גורם. אין צורך לפתוח את הסוגריים כדי לזהות את המבנה.

דוגמה: פרקו את 3(x − 2) + x(x − 2).

  1. הביטוי x − 2 מופיע כגורם בשני האיברים.
  2. מוציאים אותו כיחידה: (x − 2)(3 + x), כלומר (x − 2)(x + 3).
  3. בדיקה מבנית: הכפל ב־3 נותן 3(x − 2), והכפל ב־x נותן x(x − 2).
  4. אין חלוקה ב־x − 2 של משוואה, ולכן לא מוסיפים איסור x ≠ 2. הפירוק נכון גם ב־x = 2.

תרגול מודרך

איזה פירוק נכון של 5(x + 1) − 2x(x + 1)?

  • (x + 1)(5 − 2x)
  • (x + 1)(5 + 2x)
  • (x + 1)(3x)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה פירוק נכון של 4(2x − 1) + x(2x − 1)?

  • (2x − 1)(4x)
  • (2x − 1)(x − 4)
  • (2x − 1)(x + 4)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. יוצרים גורם משותף באמצעות קיבוץ

לפעמים אין גורם אחד משותף לכל האיברים, אבל אפשר לקבץ אותם לזוגות. מפרקים כל זוג, ואז בודקים אם נוצרו סוגריים זהים. אם כן, מוציאים אותם כגורם משותף. כאשר יש חיסור, שומרים את הסימן בכל זוג. גם בביטוי עם x ו־y העיקרון זהה: אלה שני משתנים, ובודקים את זהות הפירוק לכל ערך שלהם.

דוגמה: פרקו את x² + 2x + 3x + 6 באמצעות קיבוץ.

  1. מקבצים: (x² + 2x) + (3x + 6).
  2. מוציאים גורם מכל זוג: x(x + 2) + 3(x + 2).
  3. עכשיו x + 2 משותף: (x + 2)(x + 3).
  4. בדיקה: x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6, כמו הביטוי המקורי אחרי ריכוז איברים.

תרגול מודרך

איזה פירוק מתקבל בקיבוץ של x² + 4x + 2x + 8?

  • (x + 4)(x + 8)
  • (x + 4)(x + 2)
  • (x − 4)(x − 2)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

איזה פירוק נכון של xy − 2x + 3y − 6?

  • (x + 3)(y − 2)
  • (x − 3)(y − 2)
  • (x + 3)(y + 2)

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. מפירוק למשוואה: מכפלה ששווה לאפס

למספרים ממשיים, מכפלה שווה לאפס אם ורק אם לפחות אחד הגורמים שווה לאפס. כדי להשתמש בכלל, קודם מעבירים את כל האיברים לאגף אחד כך שבאגף האחר יישאר 0, ואז מפרקים. העברת איבר אגף עם שינוי סימן היא קיצור לחיבור או לחיסור אותו איבר בשני האגפים. אין להשתמש בכלל כאשר המכפלה שווה למספר שאינו אפס. אין לחלק בגורם עם x בלי לבדוק אם הוא אפס: חלוקה כזאת עלולה לאבד פתרון.

דוגמה: פתרו את 2x² = 6x באמצעות גורם משותף.

  1. מעבירים 6x לאגף שמאל כ־−6x: 2x² − 6x = 0. חיסרנו 6x משני האגפים.
  2. מפרקים: 2x(x − 3) = 0.
  3. 2 אינו אפס, לכן x = 0 או x − 3 = 0. במשוואה השנייה מעבירים −3 כ־+3 ומקבלים x = 3.
  4. בודקים במקור: עבור 0 מתקבל 0 = 0; עבור 3 מתקבל 18 = 18. שני הפתרונות הם 0 ו־3. חלוקה מראש ב־x הייתה מאבדת את 0.

תרגול מודרך

מהם כל פתרונות x² + 4x = 0?

  • רק x = −4
  • x = 0 או x = 4
  • x = 0 או x = −4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מהם כל פתרונות 3x² = 12x?

  • רק x = 4
  • x = 0 או x = 4
  • x = 0 או x = −4

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.