קליק · מתמטיקה
פירוק לגורמים: גורם משותף
מבחינים בין סכום למכפלה, מוציאים גורם מספרי או משתנה ובודקים בפילוג בחזרה. בסיום רואים שימוש בצמצום שבר.
https://klikedu.app/learn/common-factor1. מזהים סכום ומכפלה
איברים הם החלקים שמחוברים או מחוסרים בביטוי; גורמים הם החלקים שמוכפלים זה בזה. בפיתוח כותבים מכפלה כסכום, ובפירוק עושים את הדרך ההפוכה. המטרה היא לשנות את צורת הביטוי בלי לשנות את ערכו עבור ערכי הנעלם.
דוגמה: השוו בין 3(x + 2) לבין 3x + 6.
- ב־3(x + 2) הגורמים הם 3 וכל הביטוי x + 2.
- ב־3x + 6 האיברים הם 3x ו־6.
- פילוג נותן 3 × x + 3 × 2 = 3x + 6, ולכן הצורות שקולות.
תרגול מודרך
איזה ביטוי כתוב כמכפלה של שני גורמים?
- 2x + 8
- 2(x + 4)
- x + 4 + 2
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
כתיבת 5x + 15 בתור 5(x + 3) נקראת מה?
- פירוק לגורמים
- פתרון משוואה
- הצבת מספר
תשובה: __________________________________________________
2. מוציאים מספר משותף
פירוק באמצעות גורם משותף הופך את חוק הפילוג. מחפשים מספר שמחלק כל איבר, כותבים אותו מחוץ לסוגריים, ובפנים כותבים את תוצאות החלוקה. הסימן בין האיברים נשמר, והכפל בחזרה חייב להחזיר בדיוק את הביטוי המקורי.
דוגמה: פרקו 6x + 12 באמצעות הגורם 6.
- מחלקים כל איבר ב־6: = x, וגם = 2.
- כותבים את המנות בסוגריים: 6(x + 2).
- בדיקה: 6 × x + 6 × 2 = 6x + 12.
תרגול מודרך
השלימו 8x + 20 = 4(…).
- 2x + 5
- 2x + 20
- 4x + 5
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
פרקו 10x − 15 עם גורם 5.
- 5(2x + 3)
- 5(2x − 3)
- 5(2x − 15)
תשובה: __________________________________________________
3. מוציאים משתנה משותף
אם בכל איבר מופיע לפחות גורם אחד של x, אפשר להוציא x מחוץ לסוגריים. למשל x² מכיל x כפול x, ולכן אחרי הוצאת x נשאר x בפנים. פירוק הוא זהות בין ביטויים; איננו מחלקים כאן משוואה בנעלם.
דוגמה: פרקו x² + 3x.
- כותבים את הגורמים: x² = x × x ו־3x = x × 3.
- לשני האיברים גורם x, לכן x² + 3x = x(x + 3).
- פילוג בחזרה מחזיר x² + 3x, גם כאשר x = 0.
תרגול מודרך
פרקו x² − 5x.
- x(x − 5)
- x(x − 5x)
- x(x + 5)
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
פרקו 2x² + x באמצעות x.
- x(2x)
- x(2x + x)
- x(2x + 1)
תשובה: __________________________________________________
4. בודקים מספרים ומשתנים בנפרד
כדי לבחור גורם משותף יעיל, בודקים קודם איזה מספר מחלק את כל המקדמים, ואחר כך אילו משתנים משותפים לכל האיברים. אפשר להוציא רק את מספר העותקים של המשתנה שמופיע בכולם. הגורם המשולב מקצר את הפירוק בלי לאבד איברים.
דוגמה: פרקו 12x² + 8x בגורם המשותף הגדול ביותר.
- למקדמים 12 ו־8 המחלק המשותף הגדול ביותר הוא 4.
- בכל איבר יש לפחות x אחד, לכן הגורם הוא 4x.
- 12x² = 4x × 3x ו־8x = 4x × 2.
- מקבלים 4x(3x + 2).
תרגול מודרך
מהו הגורם המשותף הגדול ביותר של 6x² ו־9x?
- 3
- 3x
- 3x²
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
פרקו 15x² − 10x בגורם משותף גדול ביותר.
- 5(3x² − 2x)
- 5x(3x − 2)
- 5x(3x − 10)
תשובה: __________________________________________________
5. הגורם חייב להתאים לכל האיברים
גורם משותף חייב להופיע בכל איבר שמכניסים לאותם סוגריים. אם יש שלושה איברים, בודקים את שלושתם, גם את המספר הקבוע. אין להוציא x כאשר איבר קבוע אינו מכיל אותו, אלא אם משאירים ביטוי מתאים ומגבלות, שאינם מטרת הפירוק הפשוט כאן.
דוגמה: פרקו 6x² + 9x + 3 בגורם מספרי משותף.
- כל שלושת המקדמים מתחלקים ב־3.
- האיבר הקבוע 3 אינו מכיל x, ולכן לא מוציאים x מכולם.
- מקבלים 3(2x² + 3x + 1).
תרגול מודרך
איזה גורם אפשר להוציא מכל האיברים של 4x² + 8x + 12 בלי שברים או מכנים משתנים?
- 4x
- x
- 4
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
השלימו 5x² + 10x + 15 = 5(…).
- x² + 2x + 3
- x² + 2x + 15
- x² + 10x + 3
תשובה: __________________________________________________
6. בודקים פירוק בפילוג בחזרה
פירוק נכון חייב לשחזר את כל האיברים והסימנים של המקור. פותחים את הסוגריים ומשווים ביטוי לביטוי. הצבת מספר יכולה לחשוף טעות, אבל הצלחה עבור מספר אחד בלבד אינה מוכיחה ששני ביטויים שווים לכל ערך של המשתנה.
דוגמה: בדקו את הטענה 10x − 15 = 5(2x − 3).
- פותחים את הפירוק: 5 × 2x + 5 × (−3).
- מקבלים 10x − 15, בדיוק כמו המקור.
- לכן הפירוק נכון לכל x.
תרגול מודרך
מהי בדיקה מלאה לפירוק 6x + 12 = 6(x + 2)?
- לפתוח ולקבל 6x + 12
- לבדוק רק x = 0
- לוודא שמופיעות אותן ספרות
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
איזה תיקון נדרש ל־8x − 12 = 4(2x + 3)?
- להחליף 4 ב־8
- להחליף +3 ב־−3
- לא נדרש תיקון
תשובה: __________________________________________________
7. פירוק עוזר לצמצם שבר
צמצום שבר הוא חלוקה של המונה והמכנה באותו גורם שאינו אפס. אם המונה הוא סכום, מפרקים אותו קודם כדי לחשוף גורם של כל המונה. אי אפשר למחוק איבר יחיד מתוך סכום. כשהגורם כולל משתנה, שומרים את האיסור על ערכים שמאפסים מכנה. הסימן ≠ פירושו ״אינו שווה״; x ≠ 0 אומר שאסור להציב אפס.
דוגמה: פשטו באמצעות פירוק.
- מפרקים את כל המונה: 6x + 12 = 6(x + 2).
- השבר הוא 6.
- מצמצמים את הגורם 6, שאינו אפס, ומקבלים x + 2.
- נראה גם מכנה עם משתנה: בביטוי נדרש x ≠ 0, כי המכנה אינו יכול להיות אפס.
- מפרקים את כל המונה: 2x² + 8x = 2x(x + 4). הביטוי הוא 2x.
- עבור x ≠ 0 מצמצמים את הגורם 2x ומקבלים x + 4. האיסור x ≠ 0 נשאר גם אחרי הצמצום: הביטוי המקורי עדיין אינו מוגדר באפס.
תרגול מודרך
פשטו .
- x + 8
- 4x + 2
- x + 2
תשובה: __________________________________________________
ניסיון עצמאי
פשטו , כאשר x ≠ 0.
- x + 2
- x + 6
- x² + 2x
תשובה: __________________________________________________
דוגמה מסכמת
פרקו 6x + 12 באמצעות הגורם 6.
- מחלקים כל איבר ב־6: = x, וגם = 2.
- כותבים את המנות בסוגריים: 6(x + 2).
- בדיקה: 6 × x + 6 × 2 = 6x + 12.
תרגול מסכם
שאלה 1
השלימו את המספר: 8x + 12 = 4(2x + ___).
________________________________________________________
שאלה 2
כתיבת 5x + 15 בתור 5(x + 3) נקראת מה? בחרו את האפשרות הנכונה וכתבו רק את מספרה: 1. פירוק לגורמים 2. פתרון משוואה 3. הצבת מספר
________________________________________________________
שאלה 3
פרקו 2x² + x באמצעות x. בחרו את האפשרות הנכונה וכתבו רק את מספרה: 1. x(2x) 2. x(2x + x) 3. x(2x + 1)
________________________________________________________
שאלה 4
פרקו 15x² − 10x בגורם משותף גדול ביותר. בחרו את האפשרות הנכונה וכתבו רק את מספרה: 1. 5(3x² − 2x) 2. 5x(3x − 2) 3. 5x(3x − 10)
________________________________________________________
שאלה 5
השלימו 5x² + 10x + 15 = 5(…). בחרו את האפשרות הנכונה וכתבו רק את מספרה: 1. x² + 2x + 3 2. x² + 2x + 15 3. x² + 10x + 3
________________________________________________________
שאלה 6
איזה תיקון נדרש ל־8x − 12 = 4(2x + 3)? בחרו את האפשרות הנכונה וכתבו רק את מספרה: 1. להחליף 4 ב־8 2. להחליף +3 ב־−3 3. לא נדרש תיקון
________________________________________________________
שאלה 7
פשטו , כאשר x ≠ 0. בחרו את האפשרות הנכונה וכתבו רק את מספרה: 1. x + 2 2. x + 6 3. x² + 2x
________________________________________________________
בדיקה עצמית
האם אני יכול/ה להסביר את הרעיון ולפתור שאלה בלי עזרה? אם לא, חוזרים לדוגמה ולרמזים שבאתר.