קליק · אתגר והכללה בחטיבת הביניים

שטחים והיקפים: חסמים ומספר פתרונות

מוכיחים חסם שטח, בודקים קיום ומספר פתרונות, ומצדיקים תחום במודל מסגרת. זהו מסלול למידה מותאם לנושא, ולא הצהרה על כיסוי מלא של תוכנית שנתית.

הרחבה לבחירה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה הוא אתגר והכללה לבחירה לפי מוכנות.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/areas-perimeters?target=5

לפני שמתחילים

1. מוכיחים מתי השטח הגדול ביותר

למלבן בהיקף P>0 סכום הצלעות . נסמן אחת מהן x; השנייה −x. התחום0<x< מבטיח מלבן שאינו מנוון. לכן S=x(−x)=−(x−)². ריבוע אינו שלילי, ולכן S≤, ושוויון מתקבל בדיוק כאשר x=: המלבן ריבוע. זאת הוכחה לכל המלבן בתחום, לא רק בדיקה של כמה דוגמאות.

דוגמה: בין המלבנים שהיקפם28 ס״מ, מצאו שטח מרבי והצדיקו שאין גדול ממנו.

  1. צלעות המלבן הן x ו־14−x, עם0<x<14.
  2. S=14x−x²=49−(x−7)². פתיחת הסוגריים מאשרת את הזהות.
  3. מאחר ש־(x−7)²≥0, השטח לכל היותר49 סמ״ר.
  4. ב־x=7 שתי הצלעות7, וזה בתחום, לכן49 אכן מושג. שוויון אפשרי רק בריבוע7 על7.

תרגול מודרך

למלבן היקף36 ס״מ. מה השטח המרבי?

  • 81 סמ״ר
  • 324 סמ״ר
  • 72 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במלבן בהיקף20 ס״מ, איזה משפט מוכיח שהשטח לכל היותר25 סמ״ר?

  • S=10x ולכן S≤25
  • S=25−(x−5)²≤25
  • כל מלבן הוא ריבוע

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. שטח והיקף: אפס, אחד או שני ערכי צלע

בהיקף P>0 השטח של מלבן לא מנוון חייב לקיים0<S≤. עבור0<S< המשוואה (x−)²=−S נותנת שני ערכי x חיוביים, שהופכים זה לזה את תפקידי האורך והרוחב. לכן יש שני ערכים לצלע המסומנת, אך זוג מידות אחד עד כדי החלפה. בשטח המרבי מתקבל ערך אחד; מעליו אין מלבן. S=0 נותן צלע אפס ונפסל.

דוגמה: מלבן היקפו20 ס״מ ושטחו21 סמ״ר. מצאו את כל הערכים לצלע x, והסבירו מה משמעות שני הפתרונות.

  1. הצלע השנייה10−x והתחום0<x<10. המשוואה x(10−x)=21.
  2. מעבירים אגפים: x²−10x+21=0, או (x−5)²=4.
  3. לכן x=5±2, כלומר3 או7. בשניהם הצלע השנייה חיובית:7 או3.
  4. שני הערכים מתארים אותו זוג מידות3 על7. אם נדרש x להיות הצלע הקצרה, נבחר3 בלבד.

תרגול מודרך

בהיקף24 ס״מ ושטח36 סמ״ר, כמה ערכים שונים יש לצלע x?

  • שניים: x=6 ו־x=−6
  • אחד: x=6 ס״מ
  • אין פתרון

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

האם קיים מלבן בהיקף16 ס״מ ושטח18 סמ״ר?

  • כן; מידותיו2 על9
  • כן; מידותיו4 על4.5
  • לא; השטח המרבי הוא16 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. מסגרת אחידה: המשוואה אינה מספיקה בלי תחום

במלבן חיצוני L על W, כאשר L≥W>0, מסגרת פנימית ברוחב אחיד t משאירה מלבן פנימי (L−2t) על (W−2t). אם רוצים גם מסגרת חיובית וגם פתח פנימי לא מנוון, חייבים0<t<. שטח המסגרת הוא LW−(L−2t)(W−2t). הכפל ב־2 נובע מכך שהמסגרת נמצאת בשני צדדים של כל ממד. פתרון מחוץ לתחום אינו מתקבל גם אם הוא פותר את המשוואה.

דוגמה: מלבן חיצוני10 על8 ס״מ. מסגרת פנימית אחידה בשטח32 סמ״ר. מצאו את רוחב המסגרת.

  1. התחום0<t<4. שטח הפתח80−32=48 סמ״ר.
  2. (10−2t)(8−2t)=48; פותחים:80−36t+4t²=48.
  3. מעבירים אגפים ומחלקים ב־4: t²−9t+8=0, ולכן (t−1)(t−8)=0.
  4. t=1 או8 אלגברית; רק1 בתחום. ב־t=1 הפתח8 על6 ושטחו48, כנדרש.
  5. t=8 אינו רוחב אפשרי: שני הממדים הפנימיים היו שליליים. מכפלת שני שליליים חיובית אינה מצילה את המשמעות הגאומטרית.
מסגרת פנימית אחידה: כל ממד קטן פעמיים10886t = 1ABCDEFGHJ
מסגרת פנימית אחידה: כל ממד קטן פעמיים

המלבן החיצוני10 על8 ס״מ נתון. מוצג הפתרון התקין t=1 לדוגמת מסגרת בשטח32 סמ״ר: הפתח הפנימי8 על6, ושתי מידותיו נגזרות מן החיסור2t בכל כיוון. המסגרת היא האזור בין שני המלבנים; אין להסיק את רוחבה ממדידה על המסך. הקטע JE=1 מדגים רוחב אחד; הרוחב זהה בארבעת הצדדים.

תרגול מודרך

במלבן חיצוני12 על10, מסגרת ברוחב1 ס״מ: מה שטח המסגרת?

  • 22 סמ״ר
  • 80 סמ״ר
  • 40 סמ״ר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מלבן חיצוני14 על6. מה התחום למסגרת חיובית עם פתח מלבני לא מנוון?

  • 0<t<3
  • 0<t<6
  • 0≤t≤3

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. למה לא יכולים להיות שני רוחבים תקינים?

בתחום0<t<, הגדלת t מקטינה ממש את שני הממדים הפנימיים, שעדיין חיוביים. לכן שטח הפתח קטן ממש ושטח המסגרת גדל ממש. אפשר להוכיח זאת בלי נגזרת: אם t₂>t₁, אז S(t₂)−S(t₁)=2(t₂−t₁)[L+W−2(t₁+t₂)]. הגורם הראשון חיובי. מאחר ש־t₁+t₂<W ו־L≥W, גם הסוגריים חיוביים. לכן לכל שטח נתון יש לכל היותר רוחב תקין אחד. זה נימוק ייחוד; קיום בודקים בנפרד.

דוגמה: במסגרת בתוך מלבן10 על8 ס״מ, הוכיחו שלא ייתכנו שני רוחבים בתחום0<t<4 שנותנים אותו שטח.

  1. שטח המסגרת S(t)=36t−4t². נניח0<t₁<t₂<4.
  2. S(t₂)−S(t₁)=(t₂−t₁)[36−4(t₁+t₂)].
  3. t₁+t₂<8, ולכן36−4(t₁+t₂)>4>0. גםt₂−t₁>0.
  4. מכאן S(t₂)>S(t₁), בניגוד להנחה שהשטחים שווים. לכן לכל שטח יש לכל היותר רוחב תקין אחד.
  5. בשטח32 סמ״ר השלב הקודם נתן t=1 בתחום, ולכן במקרה הזה יש בדיוק פתרון אחד.

תרגול מודרך

למסגרת בתוך מלבן L≥W>0, נבחר0<t₁<t₂<. מה קורה לשטח הפתח?

  • הוא קטן ממש
  • הוא גדל ממש
  • אין דרך לדעת

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

במלבן10 על8, משוואת שטח המסגרת80 סמ״ר נותנת t=4 או5. כמה פתרונות למסגרת עם פתח לא מנוון?

  • אחד: t=4
  • אפס
  • שניים: t=4 ו־t=5

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.