קליק · תרגול והעמקה בחטיבת הביניים

זוויות בין ישרים והוכחת מקבילות

משלבים זוויות מתחלפות וחד־צדדיות, מוכיחים מקבילות ובונים משוואה מתאימה. זהו מסלול מותאם בנושא, ולא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

תרגול והעמקה בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה משלב מיומנויות; בדקו את הידע הקודם לפני שמתחילים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/angles-parallels?target=4

לפני שמתחילים

1. זוויות מתחלפות: המיקום קודם לחישוב

זוויות מתחלפות פנימיות נמצאות בין שני הישרים, משני צדיו של הישר החותך. אם הישרים מקבילים הן שוות. אפשר להבין זאת באמצעות זווית קודקודית לזווית פנימית אחת: היא מתאימה לפנימית השנייה, ולכן שווה לה. כך מתאימות וקודקודיות נותנות את משפט המתחלפות. אין לבלבל עם שתי פנימיות באותו צד של החותך, שסכומן 180° במקבילים.

דוגמה: ישר חותך שני ישרים מקבילים. α ו־β מתחלפות פנימיות, α =68°. γ צמודה ל־β. מצאו β ו־γ ונמקו.

  1. α ו־β מתחלפות פנימיות בין מקבילים, לכן β =68°.
  2. β ו־γ צמודות, ולכן סכומן 180°.
  3. γ =180° −68° =112°.
  4. הסיבה לשוויון אינה רק שהזוויות פנימיות; הן גם משני צדי החותך ויש נתון מקבילות.

תרגול מודרך

זוויות מתחלפות פנימיות בין מקבילים: אחת 42°. מה השנייה?

  • 42°
  • 138°
  • 84°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

β מתחלפת פנימית לזווית 113° בין מקבילים, ו־γ צמודה ל־β. מה γ?

  • 113°
  • 67°
  • 23°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. חד־צדדיות פנימיות: למה הסכום 180°?

זוויות חד־צדדיות פנימיות נמצאות בין שני הישרים ובאותו צד של החותך. כאשר הישרים מקבילים, סכומן 180°. כדי להסביר, נחליף אחת מהן בזווית המתחלפת לה בחיתוך השני: היא שווה לה, וצמודה לזווית הפנימית השנייה. לכן הסכום 180°. הזוויות יכולות להיות שונות; הן שוות רק כאשר שתיהן 90°.

דוגמה: ישר חותך שני ישרים מקבילים. הזוויות הפנימיות באותו צד של החותך הן x +20 מעלות ו־2x +10 מעלות. מצאו את x ואת הזוויות.

  1. חד־צדדיות פנימיות בין מקבילים משלימות ל־180°, לכן (x+20)+(2x+10)=180.
  2. מכנסים:3x+30=180. מעבירים +30 אגף בשינוי סימן:3x=180−30=150.
  3. מחלקים ב־3: x=50. הזוויות הן 70° ו־110°.
  4. שתיהן חיוביות וקטנות מ־180°, וסכומן 180°. x עצמו אינו אחת הזוויות כאן.
חד־צדדיות פנימיות בין מקבילים70°110°ABCDPQEF
חד־צדדיות פנימיות בין מקבילים

נתון: AB מקביל ל־CD והחותך עובר דרך P,Q. הזוויות הפנימיות באותו צד של החותך הן x+20 ו־2x+10 מעלות. בפתרון מתקבל x = 50; כאן מוצג המקרה המחושב: ∠BPQ = 70° ו־∠PQD = 110°. המקבילות נתונה; המידות המספריות הן תוצאות.

תרגול מודרך

חד־צדדיות פנימיות בין מקבילים הן 3x ו־2x מעלות. מה הזווית 3x?

  • 36°
  • 108°
  • 72°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

חד־צדדיות פנימיות בין מקבילים הן x+15 ו־x+45 מעלות. מה הזווית הקטנה?

  • 60°
  • 105°
  • 75°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. להוכיח מקבילות: משתמשים במשפט ההפוך

כאשר המקבילות נתונה משתמשים בה כדי למצוא זוויות. כאשר רוצים להוכיח מקבילות, צריך נתון זוויתי מתאים: שוויון זוויות מתאימות, שוויון מתחלפות פנימיות, או סכום 180° של חד־צדדיות פנימיות, מוכיחים ששני הישרים מקבילים. אלה משפטים הפוכים. שוויון של זוויות קודקודיות באותו חיתוך אינו מוכיח דבר על ישר אחר, כי הוא מתקיים בכל חיתוך.

דוגמה: ישר חותך את הישרים l ו־m בנקודות שונות. זוג זוויות מתאימות נמדד 75° בכל חיתוך. האם l ו־m מקבילים? ומה אם רק שתי קודקודיות באותו חיתוך שוות 75°?

  1. במקרה הראשון הזוויות שוות וגם מוגדרות מתאימות בשני החיתוכים.
  2. לפי המשפט ההפוך למתאימות: l מקביל ל־m.
  3. במקרה השני השוויון הוא מקומי לאותו חיתוך. קודקודיות שוות בכל שני ישרים נחתכים.
  4. לכן המקרה השני אינו מספיק כדי לקבוע מקבילות בין l ל־m.

תרגול מודרך

חותך פוגש שני ישרים בנקודות שונות. חד־צדדיות פנימיות הן 112° ו־68°. מה נובע?

  • שני הישרים מאונכים זה לזה
  • אי אפשר להסיק מקבילות
  • שני הישרים מקבילים

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

חותך פוגש שני ישרים בנקודות שונות. זוויות מתחלפות פנימיות הן 52° ו־54°. האם הישרים מקבילים?

  • לא, במקבילים המתחלפות חייבות להיות שוות
  • כן, הן קרובות בגודלן
  • כן, שתיהן חדות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. בחירת המשוואה לפי הקשר הגאומטרי

בתרגיל עם ביטויים בזוויות לא מתחילים תמיד באותה משוואה. מתאימות או מתחלפות בין מקבילים נותנות שוויון; צמודות או חד־צדדיות פנימיות בין מקבילים נותנות סכום 180°. אחרי פתרון בודקים את מידות הזוויות: בזוגות הנידונים כל אחת צריכה להיות גדולה מאפס וקטנה מ־180°. ערך אלגברי אינו מספיק אם הוא יוצר זווית בלתי אפשרית.

דוגמה: בין שני ישרים מקבילים, זוויות מתחלפות פנימיות הן 4x−10 ו־2x+30 מעלות. מצאו את x ואת הזוויות.

  1. מתחלפות בין מקבילים שוות, לכן 4x−10=2x+30.
  2. מעבירים 2x לשמאל ו־−10 לימין, בשינוי סימן:4x−2x=30+10.
  3. 2x=40 ולכן x=20. כל זווית היא 70°:4×20−10=2×20+30.
  4. 70° בתחום התקף. משוואה של סכום 180° הייתה מתארת קשר אחר.

תרגול מודרך

מתאימות בין מקבילים הן 3x+5 ו־5x−25 מעלות. מה x?

  • 15
  • 30
  • 40

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

טוענים ששתי זוויות מתחלפות פנימיות בין מקבילים הן x+170 ו־2x+160 מעלות. האם יש x תקף?

  • כן, x=10 הוא פתרון תקף
  • אין x תקף; השוויון נותן שתי זוויות של 180°
  • כן, x=0 הוא פתרון תקף

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.