קליק · בסיס מודרך בחטיבת הביניים

זוויות: מהיסודות לחוצה זווית ולזוגות זוויות

מתחילים במהי זווית ובחוצה זווית, ממשיכים לצמודות וקודקודיות, ואז למאונכים ולישרים מקבילים. כל רעיון נשען על הקודם. זהו מסלול מותאם בנושא, ולא כיסוי מלא של תוכנית הלימודים השנתית.

יסודות בחטיבה · יסודות ויישומים בחטיבת הביניים. מסלול האתגר מוסיף הכללה והנמקה לפי מוכנות; אין לייחס את כל ההרחבות כחובה לכל כיתה. מסלול זה בונה את היסודות בצעדים מודרכים.

יחידת לימוד עד כיתה ט׳, עם הרחבות מסומנות לבחירה. הרמות הן של קליק; הן אינן מסלולי בגרות או אישור לכיסוי מלא של תוכנית שנתית.

https://klikedu.app/learn/angles-parallels?target=3

לפני שמתחילים

1. זווית היא פתיחה, לא אורך

קרן מתחילה בנקודה ונמשכת בכיוון אחד. שתי קרניים היוצאות מאותה נקודה יוצרות זווית; הנקודה היא הקודקוד. מידת הזווית מתארת את הפתיחה בין הקרניים, במעלות. בכתיב ∠AOB האות האמצעית O היא הקודקוד. הארכת החלקים המצוירים של הקרניים אינה משנה את כיוונן ולכן אינה משנה את המידה. זווית חדה היא בין 0° ל־90°, זווית ישרה בדיוק 90°, וזווית קהה בין 90° ל־180°. בזווית שטוחה המידה 180°.

דוגמה: נתון ∠AOB = 60°. מאריכים את החלקים המצוירים של הקרניים OA ו־OB בלי לשנות את כיווניהן. מה משתנה ומה נשאר?

  1. O הוא הקודקוד, כי הוא האות האמצעית בשם הזווית.
  2. הקרניים נשארות באותם כיוונים, ולכן הפתיחה נשארת 60°.
  3. 60° קטנה מ־90° וגדולה מאפס, ולכן זו זווית חדה.
  4. אורכי הקווים המצוירים אינם נתון על מידת הזווית.

תרגול מודרך

ב־∠PQR איזו נקודה היא הקודקוד?

  • Q
  • P
  • R

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

זווית של 91° היא איזו זווית?

  • ישרה
  • קהה
  • חדה

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

2. חוצה זווית מחלק לשתי זוויות שוות

אחרי שמכירים את מידת הזווית, אפשר לחלק אותה. חוצה זווית הוא קרן שיוצאת מקודקוד הזווית, נמצאת בתוכה ומחלקת אותה לשתי זוויות שוות. בכתיב ∠AOB האות האמצעית O היא הקודקוד. אם OC חוצה את ∠AOB, אז ∠AOC = ∠COB. כדי למצוא כל חלק מחלקים את הזווית השלמה ב־2; כדי לחזור לשלם כופלים חלק אחד ב־2. קרן בתוך זווית אינה בהכרח חוצה זווית: צריך נתון או סימון ששני החלקים שווים.

דוגמה: הקרן OC חוצה את ∠AOB, שמידתה 80°. מה המידה של כל אחת משתי הזוויות שנוצרו?

  1. חוצה זווית יוצר שני חלקים שווים: ∠AOC = ∠COB.
  2. מחלקים את הזווית השלמה בשתיים: 80° ÷ 2 = 40°.
  3. לכן ∠AOC = 40° וגם ∠COB = 40°. בדיקה: 40° + 40° = 80°.
40°40°ABCO
נתון ש־OC חוצה את הזווית. שני החלקים שווים: 40° + 40° = 80°. החצים מסמנים קרניים שנמשכות מעבר לציור.

תרגול מודרך

חוצה זווית מחלק זווית של 100°. מה מידת כל חלק?

  • 50°
  • 100°
  • 200°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

OC חוצה את ∠AOB. נתון ∠AOC = 28°. מה מידת הזווית השלמה ∠AOB?

  • 14°
  • 28°
  • 56°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

3. זוויות צמודות משלימות ל־180°

זוויות צמודות חולקות קודקוד ושוק, והשוקיים האחרות הן קרניים מנוגדות על אותו ישר. פנים הזוויות אינם חופפים, וביחד הן יוצרות זווית שטוחה של 180°. לא כל שתי זוויות סמוכות משלימות ל־180°: צריך לדעת שהשוקיים שאינן משותפות יוצרות ישר. לכן אם אחת הצמודות ידועה, מחסרים אותה מ־180° כדי למצוא את האחרת.

דוגמה: A, O, B נמצאות על ישר, ו־O בין A ל־B. הקרן OC יוצרת ∠AOC = 65°. מצאו ∠COB.

  1. OA ו־OB הן קרניים מנוגדות, ולכן ∠AOC ו־∠COB צמודות.
  2. סכומן 180°: 65° + ∠COB = 180°.
  3. ∠COB = 180° − 65° = 115°.
  4. בדיקה: 65° + 115° = 180°. אין להסיק שהזוויות שוות רק כי הן צמודות.
שתי זוויות צמודות על ישר65°115°AOBC
שתי זוויות צמודות על ישר

נתון: A,O,B על ישר בסדר הזה, ו־∠AOC = 65°. מחושב: ∠COB = 115°, כי שתי הזוויות הצמודות משלימות ל־180°. אורך הקטעים אינו משנה את הזוויות.

תרגול מודרך

שתי זוויות צמודות. אחת מהן 48°. מה האחרת?

  • 48°
  • 132°
  • 42°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

שתי זוויות חולקות שוק וקודקוד, אך אין נתון שהשוקיים האחרות מנוגדות. האם בהכרח סכומן 180°?

  • כן, כל זוויות סמוכות משלימות ל־180°
  • כן, אם הקווים בציור ארוכים
  • לא, חסר תנאי שהשוקיים האחרות יוצרות ישר

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

4. זוויות קודקודיות שוות: גם יודעים מדוע

כאשר שני ישרים שונים נחתכים, הזוויות הנמצאות זו מול זו נקראות קודקודיות. כל שוק של אחת מנוגדת לשוק המתאימה של האחרת. הן שוות מפני ששתיהן משלימות אותה זווית סמוכה ל־180°. לכן שוויון זוויות קודקודיות נובע מתכונת הישרים, ולא מכך שהציור נראה סימטרי.

דוגמה: הישרים AB ו־CD נחתכים ב־O, שנמצאת בין A ל־B ובין C ל־D. ∠AOC = 70°. מצאו ∠BOC ואת ∠BOD.

  1. ∠BOC צמודה ל־∠AOC, ולכן מידתה 180° − 70° = 110°.
  2. ∠BOD צמודה ל־∠BOC, ולכן מידתה 180° − 110° = 70°.
  3. קיבלנו ∠BOD = ∠AOC. אלה זוויות קודקודיות.
  4. הזוויות החדות כאן שוות 70°, והזוויות הצמודות להן 110°. לא כל ארבע הזוויות שוות.

תרגול מודרך

שני ישרים נחתכים. זווית אחת היא 37°. מה הזווית הקודקודית לה?

  • 143°
  • 53°
  • 37°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

שני ישרים נחתכים. זווית אחת 110°. מה מידת זווית הצמודה לה?

  • 70°
  • 110°
  • 250°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

5. מאונכים יוצרים ארבע זוויות ישרות

ישרים מאונכים הם ישרים הנפגשים בזווית ישרה, שמידתה 90°. מסמנים זווית ישרה בריבוע קטן; זהו נתון גאומטרי, לא סימון של אורכים שווים. אם אחת מזוויות החיתוך היא 90°, הצמודה לה היא 180° − 90° =90°, והקודקודיות שוות להן. כך כל ארבע הזוויות ישרות. קווים שנראים מאונכים בלי נתון או הוכחה אינם מספיקים.

דוגמה: הישרים AB ו־CD נחתכים ב־O, שנמצאת בין A ל־B ובין C ל־D, ונתון ∠AOC = 90°. מה יתר זוויות החיתוך?

  1. ∠BOC צמודה לזווית הנתונה, ולכן 180° − 90° =90°.
  2. ∠BOD קודקודית ל־∠AOC, ולכן גם היא 90°.
  3. ∠AOD קודקודית ל־∠BOC, ולכן גם היא 90°.
  4. כל ארבע הזוויות ישרות, ולכן הישרים מאונכים.

תרגול מודרך

בחיתוך שני ישרים זווית אחת 89°. האם הישרים מאונכים?

  • לא, נדרשת זווית של 90° בדיוק
  • כן,89° קרובה מספיק
  • כן, אם הזווית הקודקודית 89°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

מה מוכיח ריבוע קטן המסמן זווית בין שתי שוקיים?

  • שאורכי השוקיים שווים
  • שהזווית 90°
  • שכל הזוויות בציור שוות

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

6. מקבילים וישר חותך: זוויות מתאימות

ישרים מקבילים הם שני ישרים שונים באותו מישור שאינם נפגשים. ישר חותך נפגש עם שניהם בנקודות שונות. זוויות מתאימות נמצאות באותה עמדה יחסית בשני החיתוכים: באותו צד של החותך, ובאותו צד יחסי של כל ישר. כשנתון שהישרים מקבילים, זוויות מתאימות שוות. קודם מזהים את הזוג ואת נתון המקבילות; לא מחליטים על שוויון לפי מראה הציור.

דוגמה: ישר חותך שני ישרים מקבילים. α ו־β הן זוויות מתאימות, ו־α = 60°. γ צמודה ל־β. מצאו β ו־γ.

  1. המקבילות נתונה, והזוג α, β מוגדר כמתאים. לכן β = α = 60°.
  2. γ צמודה ל־β, ולכן β + γ =180°.
  3. γ =180° −60° =120°.
  4. כל מסקנה נומקה בנפרד: שוויון מתוך מקבילות, ואז השלמה ל־180° מתוך צמידות.

תרגול מודרך

ישר חותך שני ישרים מקבילים. זווית 75° וזווית β מתאימות. מה β?

  • 105°
  • 75°
  • 15°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

ניסיון עצמאי

ישר חותך שני ישרים מקבילים. α =130°; β מתאימה לה ו־γ צמודה ל־β. מה γ?

  • 130°
  • 230°
  • 50°

תשובה ודרך פתרון: _____________________________________

בדיקה עצמית

הסבירו את דרך הפתרון ובדקו את התוצאה מול הנתונים והתנאים המקוריים. אפשר לפתוח משוב ורמזים ביחידה המקוונת.